Раздел 2 уравнения математической физики
Тема 2.1 Основные уравнения математической физики.
Дифференциальные уравнения в частных производных и их решения. Общие понятия и определения. Линейные уравнения второго порядка. Классификация уравнений в частных производных. Приведение к каноническому виду линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Характеристическое уравнение и его общий интеграл. Граничные и начальные условия.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения в частных производных, порядок уравнения, решение уравнения, общее решение, частное решение, однородное уравнение, линейное уравнение, характеристическое уравнение, волновое уравнение, уравнение теплопроводности, дополнительные условия, начальные условия, граничные условия, канонический вид уравнения.
В теоретической физике очень важную роль играют дифференциальные уравнения в частных производных. Связано это с тем, что любой физический закон наиболее точно может быть выражен только в виде уравнения, и такое представление является самым общим (фундаментальным), т.е. на его основе можно описывать все явления и экспериментальные факты. Более того, правильно записанное дифференциальное выражение физического закона позволяет предсказывать еще не открытые явления.
Надо отметить, что многие физические законы (например, законы квантовой механики) очень сложны, необычны и поэтому не поддаются наглядному описанию с помощью моделей или классических аналогий. В этих случаях их описание на основе уравнений является единственно возможным и строгим. Только такой способ описания позволяет нам, как говорил Л. Д. Ландау, понять вещи, которые мы уже не в силах вообразить.
Уравнение, связывающее искомую функцию, независимые переменные и частные производные искомой функции по этим независимым переменным, называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Порядком дифференциального уравнения в частных производных называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.
Решением (интегралом) дифференциального уравнения в частных производных называется функция, которая, будучи подставленной в уравнение вместо искомой функции и ее частных производных, обращает это уравнение в тождество по всем независимым переменным в рассматриваемой области.
Уравнение называется линейным, если все производные и сама неизвестная функция входят в это уравнение в первой степени.
Процесс нахождения всех решений дифференциального уравнения в частных производных называется интегрированием этого уравнения. Общее решение дифференциального уравнения в частных производных зависит от произвольных функций, число которых равно порядку этого уравнения.
Любое решение дифференциального уравнения в частных производных, входящих в состав общего решения, называется частным решением этого уравнения.
Для того чтобы найти интересующее нас решение дифференциального уравнения в частных производных, надо присоединить к уравнению некоторые дополнительные условия, которым оно удовлетворяет.
Наиболее
часто в физике используются дифференциальные
уравнения в частных производных второго
порядка. Общий вид такого уравнения для
независимых
переменных имеет следующий вид:
.
Если искомая функция зависит только от двух независимых переменных, то такое уравнение примет вид
.
(1)
В
данном уравнении если
,
то уравнение называется однородным,
если же
,
то уравнение называется неоднородным.
В зависимости от значения коэффициентов,
стоящих при старших производных,
уравнения подразделяются на несколько
типов. Если
,
то дифференциальное уравнение в частных
производных называется уравнением
гиперболического типа; если
,
то – уравнением эллиптического типа;
если
,
то – параболического типа.
Для того, чтобы привести дифференциальное уравнение в частных производных к каноническому виду, надо составить его характеристическое уравнение
,
(2)
которое распадается на два уравнения
(3)
,
(4)
и найти их общие интегралы.
Интегральные кривые уравнения (2) или, что то же самое, уравнений (3) и (4), называются характеристиками уравнения (1).
Если
уравнение (1) гиперболического типа, то
интегралы
уравнений
(3) и (4) вещественны и различны. Они
определяют два различных семейства
вещественных характеристик уравнения
(1). С помощью замены переменных
уравнение
(1)
приводят к каноническому
виду уравнения гиперболического типа:
.
Если
же уравнение (1) параболического типа,
то уравнения (3) и (4) совпадают, и мы
получаем один общий интеграл
характеристического уравнения (2):
,
определяющий одно семейство вещественных
характеристик уравнения (1). Произведя
замену переменных по формулам
,
где
—
такая
функция, что
в
рассматриваемой области, приведем
уравнение (1) к виду
,
называемому каноническим видом уравнения параболического типа.
Наконец, если уравнение (1) эллиптического типа, то общие интегралы уравнений (3) и (4) комплексно-сопряженные:
,
где
- вещественные
функции, определяющие два семейства
мнимых характеристик уравнения (1).
Произведя замену переменных по
формулам
приведем уравнение (1) к виду
,