Раздел 3 специальные функции

Тема 3.1 Специальные функции

Цилиндрические функции. Сферические функции. Полиномы Чебышева-Эрмита и Чебышева-Лагерра. -функция Дирака.

Ключевые слова: цилиндрические функции, функция Бесселя, функция Неймана, сферические функции, шаровые функции, дельта-функция Дирака, полиномы.

Специальные функции: цилиндрические функции (функция Бесселя, функция Неймана и др.), сферические функции, шаровые функции, дельта-функция Дирака.

Интегралы уравнения Бесселя называются цилиндрическими функциями или функциями Бесселя:

,

где - бесселева функция первого рода порядка .

Если есть целое число ( ), то решение уравнения Бесселя выражается формулой

,

где - функция Бесселя второго рода, которую еще называют функцией Неймана.

Уравнение Лапласа в сферических координатах имеет следующий вид:

. (1)

Следуя методу Фурье, ищем решение этого уравнения в виде произведения

. (2)

Для функций получим уравнения

, (3)

. (4)

Последнее уравнение – уравнение в частных производных. К нему еще раз применяем метод Фурье:

. (5)

Тогда получим уравнения

, (6)

. (7)

Решение уравнения (6) в показательной форме выражается формулой

.

Так как функция удовлетворяет условию цикличности , то значение не может быть произвольным, а обязательно является целочисленным: . Уравнение (7) называют обобщенным уравнением Лежандра. Если ввести новую независимую переменную и обозначить , то обобщенное уравнение Лежандра принимает обычный вид:

(8)

При это уравнение имеет более простую форму уравнения Лежандра:

. (9)

Интеграл уравнения (7) имеет вид:

,

где - присоединенные полиномы Лежандра, вычисляемые по формуле Родриго

.

Здесь - полиномы Лежандра.

Решение уравнения (3) имеет вид .

Следовательно, конечными решениями уравнения (4) являются сферические функции:

.

Произведение радиальной функции на любую сферическую функцию является частным ограниченным решением уравнения Лапласа:

.

Функции называют шаровыми. Общее решение уравнения Лапласа имеет вид:

.

Список рекомендуемой литературы Основная литература

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учебник. 7-е изд. — М.: Изд-во МГУ, 2004. — 798 с.

2. Несис Е.И. Методы математической физики. – М.: Просвещение, 1977.

3. Болсун А.И., Гронский В.К., Бейда А.А. Методы математической физики.– Минск: «Вышейшая школа», 1988.

4. Белевец П.С., Кожух И.Г. Задачник-практикум по методам математической физики. – Минск: «Вышейшая школа», 1989.

5. Левин В.И. Методы математической физики. – М.: Учпедгиз, 1960.

Дополнительная литература

1. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике: Учебное пособие. 2-е изд., испр. и доп. — М.: Изд-во МГУ, 2004, 416 с.

2. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики. – М.: МЦНМО, 2001.

3. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. – М.: Физматлит 2003.

4. Владимиров В.С., Вашарин А.А. Сборник задач по уравнениям математической физики. – М.: Физматлит, 2001.

5. Голоскоков Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов. – СПб.: Питер, 2004. – 544 с.

6. Треногин В.А. Методы математической физики. – М.: РХД 2002.

7. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. – М: Наука. 1984, 313с.

8. Арфкен Г. Математические методы в физике. – М.: Атомиздат. 1970, 705-708 с.

9. Положий Г.Н. Уравнения математической физики. – М.: Высшая школа, 1964, 560 с.

10. Михлин С.Г. Курс математической физики. – М: Наука. 1968,569-575 с.

11. Бицадзе А.Б. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1982, 336 с.

12. Владимиров В. С. Что такое математическая физика? — Препринт, Математический институт им. В. А. Стеклова РАН. — М.: МИАН, 2006, 20 с.

13. Математическая физика. Энциклопедия / Гл. ред. Л. Д. Фаддеев. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1998, 691 с.

14. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1988, 512 с.

15. Кошляков Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической физики. – М.: Высшая школа, 1970.

16. Очан Ю.С. Сборник задач по методам математической физики. М.: Высш.школа, 1967, 195с.

17. Семянистый В.И., Цукерман В.Д. Задачник-практикум по математической теории поля – М.: Просвещение, 1976, 136с.

18. Мисюркеев И.Д. Сборник задач по методам математической физики. М.: Просвещение, 1975, 167с.

19. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Метод разделения переменных в математической физике. СПб.: Книжный Дом, 2009.

20. Шапиро Д.А. Конспект лекций по математическим методам физики. Часть 1 (Уравнения в частных производных. Специальные функции. Асимптотики). Новосибирск: НГУ, 2004.

21. Шапиро Д.А. Конспект лекций по математическим методам физики. Часть 2 (Представления групп и их применение в физике. Функции Грина). Новосибирск: НГУ, 2004.

22. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: Физматлит, 2003.

23. Емельянов В.М., Рыбакина Е.А. Уравнения математической физики. Спб.: Лань. 2008, 192с.

24. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. Спб.: Лань. 2010, 368с.

25. Михлин С.Г. Курс математической физики. Спб.: Лань. 2010, 576с.

26. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Спб.: Лань. 2010, 576с.