Тема 2.3 Уравнения параболического типа.

Физические задачи, описываемые уравнениями параболического типа. Уравнения теплопроводности и диффузии. Методы решения уравнений параболического типа.

Ключевые слова: уравнения параболического типа, уравнение теплопроводности, уравнение диффузии, интеграл Фурье, одномерное уравнение, двумерное уравнение.

К уравнениям параболического типа относится уравнение теплопроводности. Оно может быть одномерным, двумерным или трехмерным, однородным или неоднородным. Уравнением теплопроводности описываются различные процессы выравнивания: распространение теплоты, диффузия одного вещества в другое, движение вязкой жидкости и целый ряд других явлений, происходящих в физике и технике.

Рассмотрим простейший процесс такого типа – охлаждение бесконечного стержня. В начальный момент времени температура неравномерно нагретого длинного стержня задана функцией . Требуется найти распределение температур для любого . Стержень очень длинный, поэтому температурные условия на его концах можно не учитывать. При отсутствии тепловых источников температура различных точек стержня определяется уравнением

.

Для решения задачи воспользуемся методом разделения переменных. Представив решение в виде , получим

.

Решение этих уравнений имеет вид:

.

В результате получаем следующее семейство частных решений уравнения

.

Чтобы получить решение, удовлетворяющее начальному условию, надо взять суперпозицию частных решений, соответствующих различным значениям :

,

.

Тема 2.4 Уравнения эллиптического типа.

Физические задачи, описываемые уравнениями эллиптического типа. Методы решения уравнений эллиптического типа. Формулы Грина.

Ключевые слова: уравнения эллиптического типа, метод функции Грина, уравнение Лапласа, уравнение Пуассона, функция влияния.

К уравнениям эллиптического типа относятся уравнения Пуассона и Лапласа, стационарное уравнение Шредингера. Уравнение Лапласа описывает различные стационарные состояния: стационарное распределение температур, стационарное распределение давлений и т.д. Для уравнения Лапласа ставятся следующие краевые задачи:

1. Задача Дирихле. Найти функцию , удовлетворяющую внутри области уравнению Лапласа и на границе области краевому условию

,

где - известная функция, определенная на поверхности .

2. Задача Неймана. Найти функцию , удовлетворяющую внутри области уравнению Лапласа и на границе области краевому условию

,

где - нормальная производная функции , т.е. производная, взятая в направлении внешней нормали к поверхности , - известная функция, определенная на поверхности .

3. Смешанная задача. Найти функцию , удовлетворяющую внутри области уравнению Лапласа и на границе области краевому условию

,

где - некоторые постоянные, - известная функция, определенная на поверхности .

Для решения уравнений эллиптического типа можно использовать распространенные методы решения: метод разделения переменных, метод функции Грина. Метод функции Грина состоит в том, что сначала находят некоторое специальное решение задачи такого же типа, а затем через него в квадратурах выражают интеграл исходной задачи.

В качестве примера рассмотрим задачу из электростатики. Пусть - потенциал электростатического поля, создаваемого во всем пространстве электрическими зарядами, распределенными с плотностью в заданном конечном объеме . В этом случае краевое условие имеет вид , а искомое решение удовлетворяет уравнению Пуассона

.

Поле полностью определяется распределением заряда , поэтому решение ищем в виде

,

где - решение задачи для точечного источника, т.е. поля, создаваемого точечным единичным зарядом. Распределение такого заряда выражается функцией

,

где - точка, в которой находится заряд. Поэтому удовлетворяет уравнению

.

Функция Грина представляет собой потенциал электростатического поля в точке , создаваемый единичным точечным зарядом, помещенным в точку с радиусом-вектором . Следовательно, в рассматриваемом случае функцию Грина согласно знаниям из электростатики можем записать в виде

.

Тогда решение задачи для произвольного распределения заряда определяется по формуле

,

Эта формула имеет простой смысл: она выражает принцип суперпозиции.