89. Основные этапы разработки математических моделей станков и станочных комплексов

Математическая модель – это совокупность математических объектов и отношений между ними адекватно отображающие физические свойства создаваемого объекта. В качестве математических объектов выступают числа, переменные множества, матрицы…

В общем случае методика получения мат. моделей состоит из:

1) выбора свойств объекта, которые подлежат отражению в модели.

2) сбора исходной информации о выбранных свойствах объекта. Источниками сведений могут служить экспериментальные данные и знания инженера, который разрабатывает модель.

3) синтеза структуры мат. модели. Структура мат. модели – это общий вид математических соотношений моделей без конкретизации числовых значений, фигурирующих в ней параметров. Структура модели может быть представлена в эквивалентной форме, например, в виде эквивалентной электрической схемы.

4) расчета числовых значений параметров мат. модели. Задача – минимизировать погрешности модели заданной структуры.

По степени абстрагирования мат. модели делятся на мат. модели микроуровня (с распределенными параметрами), мат. модели макроуровня (с сосредоточенными параметрами), мат. модели метауровня. Метауровень соответствует начальным стадиям проектирования, на которых осуществляется научно-технический поиск и прогнозирование, разработка технологического решения. На макроуровне объект прогнозирования рассматривают как динамическую систему с сосредоточенными параметрами. На микроуровне объект представляется как сплошная среда с распределенными параметрами. На микроуровне проектируют неделимые по функциональным признакам элементы технологической системы, называемые базовыми.

Методы получения мат. моделей на метауровне. Использование мат. моделей в виде систем ДУ в частных производных возможно для простых технологических систем, но даже в этом случае порядок аппроксимируемых уравнений может достигать размеров 10⁶, поэтому при моделирование на метауровне выделяют крупные элементы, которые потом рассматривают как неделимые единицы. Поведение большинства станков можно охарактеризовать с помощью фазовых переменных. Законы функционирования элемента подсистемы задаются уравнениями, связывающими разнородные фазовые переменные, относящиеся к данному элементу.

Методы получения мат. моделей на микроуровне. Проектирование многих МРС связано с необходимостью анализа непрерывных процессов, математическим описанием которых являются дифференциальные уравнения в частных производных. Так как эти ДУ ЧП множество решений, то для получения единственного решения необходимо задавать краевые условия. Искомое ДУ вместе с краевыми условиями носит название дифференциальной краевой задачи и представляет собой математическую модель исследуемого объекта. Граничные условия в краевых задачах можно задавать различными способами. На рассматриваемой области можно задавать: 1) значение искомой функции; 2) значения производных по пространственным координатам от искомой функции; 3) уравнение баланса потоков.

Точное решение краевых задач удаются получить лишь для немногих частных случаев, поэтому общий способ их решения при мат. моделировании заключается в использовании различных приближенных моделей. В настоящее время наиболее широкое распространение получили модели на основе интегральных моделей и модели на основе метода сеток. Основная идея получения моделей на основе интегральных моделей заключается в переходе от исходного ДУ ЧП к эквивалентному интегральному уравнению, подлежащему дальнейшим преобразованиям. Сущность метода сеток состоит в аппроксимации искомой непрерывной функции совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некоторых точках области. Применение метода сеток позволяет свести дифференциальную краевую задачу к системе алгебраических уравнений. В общем случае алгоритм метода сеток состоит из трех этапов: 1) построение сетки в заданной области; 2) получение системы алгебраических уравнений относительно узловых значений; 3) решение полученной системы алгебраических уравнений.

В настоящее время широкое распространение получили два метода сеток: 1) метод конечных элементов; 2) метод конечных разностей. Эти два метода отличаются друг от друга на первом и втором этапах.

В методе конечных элементов исходная область определения функций определяется с помощью сетки, в общем случае неравномерной, подобными элементами. Искомая непрерывная функция аппроксимируется кусочно-непрерывной функцией, определяемой на множестве конечных элементов. Аппроксимация может задаваться произвольным образом, но чаще всего для этих целей используются полиномы, которые подбираются так чтобы обеспечить непрерывность искомой функции в узлах на границах элементов.

Алгоритм метода конечных разностей состоит из этапов, традиционных для метода сеток:

1. Построение сетки в заданной области. В узлах определяются приближенные значения φ_i искомой функции φ, совокупность значений φ_i называют сеточной функцией.

2. Замена дифференциального оператора в исходном ДУ разностным аналогом L_j, функция аппроксимируется в φ_j.

3. Решение полученной системы алгебраических уравнений.