Методичні рекомендації для самостійного вивчення предмету «дискретна математика»

Модуль № 1: «ОСНОВИ ДИСКРЕТНОЇ МАТЕМАТИКИ».

З ПРИКЛАДАМИ РОЗВ’ЯЗАННЯ АНОЛОГІЧНИХ

ЗАВДАНЬ

Теми для самостійного опрацювання:

1. Об’єднання та перетин множин. Різниця множин, доповнення множини.

2. Пряма сума та прямий добуток множин. Потужність прямого добутку множин.

3. Взаємнооднозначні співвідношення та потужність множин. Теорема Кантора.

4. Поняття відповідності. Область визначення та область значення.

5. Відповідність.

6. Відображення.

7. Відношення. Властивості відношень.

8. Типи відношень та грані на множинах.

9. Функціональне співвідношення.

10. Поняття відношення, бінарні відношення.

11. Завдання відношень. Властивості відношень: рефлексивність, симетричність, транзитивність.

12. Відношення еквівалентності.

13. Відношення порядку.

14. Відображення та функції.

15. Зворотні функції. Способи завдання функцій..

16. Властивості бінарних алгебраїчних операцій: асоціативність, комутативність, дестрибутивність. Поняття алгебри.

17. Гомоморфізм та ізоморфізм. Напівгрупи й групи.

18. Кільця, поля, їх простіші властивості. Ідеали.

19. Поняття алгебри логіки. Логічні функції: заперечення, кон’юнкція, диз’юнкція, додавання за модулем 2, еквівалентність, імплікація, стрілки Пірса, штрих Шефера. Суперпозиція та формули.

20. Розкладання функцій за змінними. Досконала диз’юнктивна нормальна форма.

21. Булева алгебра функцій та еквівалентні перетворення в ній.

22. Основні властивості булевих операцій: асоціативність, комутативність, дистрибутивність, ідемпотентність, подвійне заперечення, властивості констант, правила де Моргана, закон протиріччя, закон виключення третього.

23. Булева алгебра та теорія множин.

24. Висловлювання. Алгебра висловлювань.

25. Побудова доведень в логіці висловлювань.

26. Визначення предикатів та кванторів. Операції над предикатами та кванторами.

27. Визначення та формули.

28. Правдиві формули та еквівалентні співвідношення.

29. Методи доведення в логіці предикатів.

Приклади розв’язання задач з дискретної математики

1. Доведіть, що A(B\A)=.

Розв’язок

Дану задачу можна розв’язати двома способами: аналітично та а допомогою діаграм Ейлера-Вена.

Спосіб 1. Проведемо доведення від супротивного. Припустимо x:(xA(B\A))(x)  (xA)(xB\A)(x)  (xA)(xA)(xB)(x). Отримали протиріччя. Отже припущення невірне, а твердження задачі вірне.

Спосіб 2.

Очевидно, що A(B\A)=

2. Доведіть зліченість множини всіх раціональних чисел;

Розв’язок

Будь-яке раціональне число можна подати у вигляді дробу . Кожен такий дріб можна поставиту у відповідність послідовності натуральних чисел таким чином: множині чисельників поставити у відповідність парні натуральні числа, а множині знаменників – непарні. Формально , , .

3. Побудувати таблиці істинності наступних висловлювань: 1) xy z; 2) x y  z.

Розв’язок

x	y	z	xy z	x y  z
0	0	0	0	1
0	0	1	0	1
0	1	0	0	0
0	1	1	0	1
1	0	0	0	1
1	0	1	1	1
1	1	0	0	1
1	1	1	0	1

4. Побудувати контактні схеми для висловлювання (a  b  c)  (d  e  f).

Розв’язок

5. Побудувати граф та скласти матрицю суміжностей:

a1  a6	a5  a6
a2  a5	a6  a4
a3  a5	a4  a5

Розв’язок

граф матриця суміжностей

6. Прапор складається з 11 горизонтальних смуг червоного білого та блакитного кольору, причому будь-які дві сусідні смуги мають бути різних кольорів. Скількома способами можна розфарбувати прапор.

Розв’язок

Для вибору кольору першої смуги існує 3 (три) способи, а для вибору кольору інших смуг по 2 (два) способи. Тобто всього існує 32¹⁰ = 3072 способи.

7. Випишіть множини всіх нечітких підмножин для E={x₁, x₂}, M={0; 1/3; 2/3; 1}.

Розв’язок

А₁ = {(x₁|0), (x₂|1/3)}, А₂ = {(x₁|0), (x₂|2/3)}, А₃ = {(x₁|1/3), (x₂|0)}, А₄ = {(x₁|1/3), (x₂|1/3)}, А₅ = {(x₁|1/3), (x₂|2/3)}, А₆ = {(x₁|1/3), (x₂|1)}, А₇ = {(x₁|2/3), (x₂|0)}, А₈ = {(x₁|2/3), (x₂|1/3)}, А₈ = {(x₁|2/3), (x₂|2/3)}, А₉ = {(x₁|2/3), (x₂|1)}, А₁₀ = {(x₁|1), (x₂|1/3)}, А₁₁ = {(x₁|1), (x₂|2/3)}

Множини А₁ = {(x₁|0), (x₂|0)} = , А₂ = {(x₁|0), (x₂|1)}={x₂}, А₃ = {(x₁|1), (x₂|0)} ={x₁},А₄ = {(x₁|1), (x₂|1)}=E – є чіткими множинами

8. Побудувати ДНФ для виразу .

Розв’язок

Застосовуючи закони де Моргана, даний вираз можна перетворити до такого виразу:

Застосовуючи закон подвійного заперечення отримуємо таку формулу:

Розкриваємо дужки за допомогою законів дистрибутивності:

Враховуючи закони , , остаточно знаходимо:

9. Показати, що функція S(n) = n +1 обчислюється на машині Поста.

Розв’язок

Подамо число n в двійковій системі числення, тобто в алфавіті X = {0,1}, запишемо його на інформаційну стрічку і встановимо активну клітинку, в якій міститься перший символ числа (його старший двійковий розряд). Тоді алгоритм функціонування машини Поста має такий вигляд

1. якщо в активній клітинці 0, то перейти до п. 2), інакше перейти до п. 3);

2. змістити активну клітинку на один крок праворуч і перейти до п. 1);

3. якщо в активній клітинці 1, то перейти до п. 2), інакше перейти до п. 4);

4. змістити активну клітинку на один крок праворуч і перейти до п. 5);

5. якщо в активній клітинці 0, то перейти до п. 6), інакше, перейти до п. 7);

6. записати в активну клітинку 1 і виконати наказ СТОП;

7. записати в активну клітинку 0 і перейти до п. 8);

8. змістити активну клітинку на один крок ліворуч і перейти до п. 9);

9. якщо в активній клітинці 0, то перейти до п. 6), інакше, перейти до п. 10);

10. Якщо в активній клітинці , то перейти до п. 6), інакше, перейти до п. 7).

10. Синтезувати автомат, який представляє подію S = (xy){x}.

Розв’язок

Будуємо автомати А(x) та A(y).

Будуємо автомати А(xy) та A({x}).

Вилучаємо тупикові стани.

Будуємо автомат А(S), користуючись правилом побудови автомати A(S*T).