1.6 Потенциал поля системы зарядов
Пусть система состоит из неподвижных точечных зарядов q1, q2, … Согласно принципу суперпозиции в любой точке поля напряженность Е=Е1+ Е2+., где Е1 - напряженность поля заряда q1 и т.д. Тогда можно записать, используя формулу (1.8):
где
т.е. принцип суперпозиции оказывается
справедливым и для потенциала. Таким
образом, потенциал системы неподвижных
точечных зарядов
где ri - расстояние от точечного заряда q, до интересующей нас точки поля. Здесь также произвольная постоянная опущена. Это полностью соответствует тому факту, что всякая реальная система зарядов ограничена в пространстве, поэтому ее потенциал на бесконечности можно принять равным нулю.
Если заряды, образующие систему, распределены непрерывно, то, как обычно, мы считаем, что каждый элементарный объем dV содержит "точечный" заряд ρdV, где ρ - объемная плотность заряда в месте нахождения объема dV. С учетом этого формуле (1.10) можно придать иной вид
где интегрирование проводится или по всему пространству, или по той его части, которая содержит заряды. Если заряды расположены только на поверхности S, то
где σ - поверхностная плотность заряда; dS - элемент поверхности S. Аналогичное выражение будет и в том случае, когда заряды распределены линейно.
Итак, зная распределение зарядов (дискретное, непрерывное), мы можем в принципе найти потенциал поля любой системы.
1.7 Связь между потенциалом и напряженностью поля
Электрическое поле, как известно, полностью описывается векторной функцией Е (r). Зная ее, мы можем найти силу, действующую на интересующий нас заряд в любой точке поля, вычислить работу сил поля при каком угодно перемещении заряда и другое. А что дает введение потенциала? Прежде всего, оказывается, зная потенциал φ (r) данного электрического поля, можно достаточно просто восстановить и само поле Е (r). Рассмотрим этот вопрос более подробно.
Связь между φ и Е можно установить с помощью уравнения (1.8). Пусть перемещение dl параллельно оси X, тогда dl =Ei dx, где i - орт оси X; dx - приращение координаты х. В этом случае
где
- проекция вектора E на орт i (а не на
перемещение dl). Сопоставив последнее
выражение с формулой (1.8), получим
где символ частной производной подчеркивает, что функцию φ (х, у, z) надо дифференцировать только по х, считая у и z при этом постоянными.
Рассуждая аналогично, можно получить соответствующие выражения для проекций Е у и Е z. А определив Еx, Еy, Еz легко найти и сам вектор Е
Величина, стоящая в скобках, есть не что иное, как градиент потенциала φ (grad φ). Т.е. напряженность Е поля равна со знаком минус градиенту потенциала. Это и есть та формула, с помощью которой можно восстановить поле Е, зная функцию φ (r).
1.8 Эквипотенциальные поверхности
Введем понятие эквипотенциальной поверхности - поверхности, во всех точках которой потенциал φ имеет одно и то же значение. Убедимся в том, что вектор Е направлен в каждой точке по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону уменьшения потенциалаφ. В самом деле, из формулы (1.13) следует, что проекция вектора Е на любое направление, касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. А это значит, что вектор Е нормален к данной поверхности. Далее, возьмем перемещение dxпо нормали к поверхности в сторону уменьшения φ, тогда φ<0 и согласно (1.13) Ex>0, т.е. вектор Е направлен в сторону уменьшения φ, или в сторону, противоположную вектору grad φ.
Эквипотенциальные поверхности наиболее целесообразно проводить так, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была бы одинаковой. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно наглядно судить о значении напряженности поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще ("круче потенциальный рельеф"), там напряженность поля больше.
Далее, ввиду того, что вектор Е всюду нормален к эквипотенциальной поверхности, линии вектора Е ортогональны этим поверхностям.