Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Кубанский Государственный Технологический Университет»
Кафедра информационных систем и программирования
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ УПРАВЛЕНИЯ
Часть 2
Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Информационные системы и технологии» для студентов всех форм обучения специальностей 230700.62 – «Прикладная информатика»
Краснодар 2013
УДК 681.31 (031)
Составители: Лойко В.И.
Кушнир Н.В.
Кушнир А.В.
Информационные технологии управления
Часть 2. Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Информационные системы и технологии» для студентов специальностей 230700.62 –Прикладная информатика – Краснодар: изд. КубГТУ, 2013. -26 с.
Приведены теоретические основы и задания к практическим занятиям по решению на ЭВМ задач одномерной оптимизации и управления запасами с использованием информационных технологий. Предназначены для студентов КубГТУ, изучающих курс " Информационные системы и технологии".
Библиогр.6 назв.
Рецензенты: д.т.н.,проф. Ключко В.И.
д.т.н., проф. Видовский Л.А.
Кубанский государственный технологический университет,
2013
Практическое занятие 5. Моделирование задач линейного программирования.
1. Цель и порядок выполнения работы
Цель работы - овладеть приемами моделирования задач линейного программирования (ЛП) и научиться работать с программой решения задач ЛП.
Порядок выполнения работы:
ознакомиться с описанием работы;
выполнить работу по указанному варианту;
оформить отчет.
2. Общие сведения
2.1.Формулировка общей задачи и суть симплексного метода.
Задача ЛП в общем виде формулируется следующим образом.
Найти экстремум (максимум или минимум функции),
при ограничениях
Xj=0, j=1,n ,
где Xj - искомые переменные;
Cj - нормы показателя эффективности;
Aij - коэффициенты затрат-выпуска;
Bi - обьемы ресурсов или производства;
j - номер переменной;
i - номер ресурса или продукции
Решение задач производится симплексным методом, суть которого состоит в том, что:
а) находят опорное, т.е. базисное решение;
б) исследуют его на оптимальность;
в) в случае, если решение не оптимально, находят улучшенное решение и т.д. пока полученное решение не удовлетворит условиям оптимальности.
3. Подготовка задачи ЛП к решению в приложении EXCEL.
Для того, чтобы решить задачу ЛП средствами EXCEL, ее модель должна быть приведена к каноническому виду, т.е. система ограничений должна быть представлена в виде уравнений. После этого создается форма в приложении EXCEL и с помощью средства EXCEL поиск решения с учетом ограничений находят решение задачи.
Например, требуется определить площади посевов двух зерновых культур А и В, при которых максимизируется прибыль от реализации урожая. При этом введены ограничения на производство:
1) суммарная площадь посевов культур А и В не должна превышать 500 га.;
2) расход трудовых ресурсов не должен превысить 36000 чел-час;
Затраты труда на 1 га культуры А составляют 60 чел-час, а культуры В - 80 чел-час.
Прибыль, получаемая с одного га площади культуры А, составляет 100 тыс.руб, а культуры В - 120 тыс.руб.
Модель этой задачи в соответствии с указанными двумя ограничениями на производство и критерием оптимизации (максимум прибыли) запишется следующим образом:
X1+X2 <= 500 (ограничение по площади);
60X1+80X2 <= 36000 (ограничение по труду);
Z = 100X1+ 120X2 --> max (функция прибыли).
где X1 - искомая площадь посевов культуры А;
X2 -искомая площадь посевов культуры В.
Для приведения неравенства к уравнению, необходимо в него ввести дополнительную переменную со знаком "+" , если неравенство типа "<=", и со знаком "-", если ">=". Таким образом , в первое ограничение вводим дополнительную переменную X3 , обозначающую недоиспользованную площадь, во второе - X4 , обозначающую недоиспользованный фонд труда. При этом, во всех уравнениях системы (включая целевую функцию - функцию прибыли) должны присутствовать все переменные системы. Это достигается тем, что в уравнение, где данная переменная отсутствует, она вводится с нулевым коэффициентом.
Учитывая вышеизложенное, получим модель задачи в канонической форме:
1 X1 + 1 X2 + 1 X3 + 0 X4 <= 500
60X1 + 80X2 + 0 X3 + 1 X4 <=36000
Z = 100 X1+120 X2 + 0 X3 + 0 X4
4. Анализ полученного решения
После получения решения на ЭВМ , необходимо дать его описание и анализ.
Например, для вышеполученного решения, учитывая, что оно является базисным (т.е. небазисные переменные всегда равны нулю), можно заключить следующее:
Площадь посевов культуры А составляет 200 га (Х1 =200), а культуры В - 300 га (Х2 = 300). При этом достигается максимально возможная прибыль Z = 56000 тыс.руб. Недоиспользованных ресурсов нет, т.к. Х3 = 0, Х4 = 0.
5. Варианты заданий
ВАРИАНТ 1
Есть три вида станков: А1,А2,А3. На этих станках последовательно обрабатываются детали четырех видов:В1,В2,В3,В4. Известно сколько часов каждая деталь изготавливается на каждом станке, сколько может проработать каждый станок и какая прибыль может быть получена при продаже одной детали каждого типа. Данные сведены в табл. 1.
Требуется найти оптимальный план работы станков, т.е. установить, сколько деталей и каких видов надо выпустить, чтобы получить максимальную прибыль.
ТАБЛИЦА 1
Станки |
Норма времени станка на выпуск одной детали в час |
Фонд времени работы станка, ч. |
|||
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
||
А1 |
2 |
4 |
0 |
8 |
12 |
А2 |
7 |
2 |
2 |
6 |
8 |
А3 |
5 |
8 |
4 |
3 |
48 |
Прибыль |
3 |
4 |
3 |
1 |
|
Повторите решение, уменьшив фонд времени станка А3 до 24 часов. Сравните с 1-м решением и объясните полученное различие.
ВАРИАНТ 2
Задача та же, что в варианте 1, но с дополнительными условиями:
а)изделий В1 должно быть не менее изделий В2;
б)изделий В3 должно быть не менее, чем в два раза больше изделий В2.
ВАРИАНТ 3
Составить питательную смесь из трех видов продуктов В1, В2, В3, причем в смеси должно быть не менее заданных величин содержания питательных веществ А1,А2,А3. Задана цена за единицу каждого вида продуктов. Данные сведены в табл.3.
Требуется найти оптимальный состав питательной смеси, т.е. в каком количестве должны входить в смесь заданные продукты, чтобы стоимость смеси была минимальной.
ТАБЛИЦА 3
Станки |
Норма времени станка на выпуск одной детали в час |
Фонд времени работы станка, ч. |
||
В1 |
В2 |
В3 |
||
А1 |
0 |
2 |
1 |
20 |
А2 |
2 |
4 |
0 |
8 |
А3 |
10 |
4 |
2 |
60 |
Цена за ед. продукта, р. |
5 |
4 |
2 |
|
Повторите решение, увеличив цену за ед. продукта В3 до 6 руб.
Сравните с первым решением и объясните полученное различие.
ВАРИАНТ 4
Составить оптимальную питательную смесь из продуктов В1, В2, В3, в которую должны входить вещества А1, А2, А3, А4 в заданных ограничениях, и миниминизирующую их стоимость.
Данные приведены в таблице 4
ТАБЛИЦА 4
Питательные вещества |
Виды продуктов |
Ограничения по содержанию веществ |
||
В1 |
В2 |
В3 |
||
А1 |
2 |
4 |
6 |
>=20 |
А2 |
3 |
1 |
0 |
=4 |
А3 |
5 |
8 |
3 |
>=25, <=35 |
А4 |
2 |
0 |
4 |
>=40 |
Цена за ед. продукта, р. |
4 |
2 |
3 |
|
Повторите решение, заменив в табл. 4 нули на цифру 5. Сравните с первым решением и объясните полученное различие.
ВАРИАНТ 5
На станции формируются пассажирские и скорые поезда. Они отличаются по количеству вагонов разных типов, в которых разное количество мест. Количество вагонов разного типа ограничено. Требуется найти такое количество пассажирских и скорых поездов, чтобы общее число мест в них было максимальным.
Данные сведены в табл.5.
ТАБЛИЦА 5
Показатели |
Типы вагонов |
||||
Кол-во вагонов |
Багажн. |
Почтовый |
Плацк. |
Куп. |
Мяг. |
Скорый |
1 |
- |
5 |
6 |
3 |
Пассаж. |
1 |
1 |
8 |
4 |
1 |
Кол-во мест в вагоне |
- |
- |
58 |
40 |
32 |
Кол-во вагонов на станции |
12 |
8 |
84 |
70 |
21 |
Повторите решение, увеличив количество мягких вагонов на станции до 40 шт. Сравните полученный результат с предыдущим и объясните различие.
ВАРИАНТ 6
Составить план жилищного строительства. Задана потребность в квартирах по типам. Предназначенные к сооружению типы домов различаются по стоимости и по количеству квартир разного типа. Требуется определить, сколько домов и каких типов надо возвести, чтобы удовлетворить заданную потребность в квартирах с минимальными затратами.
Данные в табл.6.
ТАБЛИЦА 6
Типы квартир |
Виды домов |
Требуется квартир данного типа |
|||
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
||
А1 |
10 |
0 |
40 |
20 |
1000 |
А2 |
25 |
15 |
10 |
0 |
800 |
А3 |
20 |
10 |
50 |
40 |
2400 |
А4 |
0 |
50 |
100 |
0 |
2000 |
А5 |
40 |
0 |
20 |
25 |
1470 |
Сто-сть дома, мл. руб. |
840 |
840 |
360 |
45 |
|
Повторите решение, увеличив потребность в квартирах А4 в 2 раза. Сравните с предыдущим решением и объясните отличие.
ВАРИАНТ 7
Фирма производит два продукта А и В. Каждый продукт должен быть обработан каждой из машин I,II,III. Время обработки, фонд времени машин в неделю и прибыль от изделий А и В приведены в табл.7.
Надо определить недельные нормы выпуска изделий А и В, максимизирующие прибыль.
ТАБЛИЦА 7
Тип машины |
Вид продукта |
Фонд времени машины |
|
А |
В |
||
I |
0.5 |
0.25 |
40 |
II |
0.4 |
0.3 |
36 |
III |
0.2 |
0.4 |
36 |
Прибыль (тыс.р.) |
5 |
3 |
|
Повторите решение, увеличив норму прибыли продукта В до 5 тыс.р. Сравните полученное решение с предыдущим и объясните различие.
ВАРИАНТ 8
Предприятию требуется уголь с содержание фосфора не более 0,03 % и с долей зольных примесей не более 3,25 %.Можно приобрести три сорта угля А,В,С с показателями, сведенными в табл.8. Как их смешивать, чтобы получить минимальную цену и удовлетворить ограничениям на содержание примесей.
ТАБЛИЦА 8
Сорт угля |
Содержание фосфора,% |
Содержание золы,% |
Цена, т.руб. за тонну |
А |
0,06 |
2 |
30 |
В |
0,04 |
4 |
30 |
С |
0,02 |
3 |
45 |
Повторите решение, увеличив допустимое содержание фосфора в смеси до 0,06 %. Сравните с предыдущим решением и объясните результат сравнения.
ВАРИАНТ 9
Требуется составить питательную смесь из трех продуктов А1,А2,А3 с содержанием вещества В1 не менее 10% и вещества В2 не более 0,5% .Содержание этих веществ в продуктах и их цена указаны в табл.9.
Как составить смесь, чтобы получить минимальную цену и удовлетворить ограничениям на содержание веществ?
ТАБЛИЦА 9
Продукт |
Содержание вещества В1,% |
Содержание вещества В2,% |
Цена в тыс.р за 1 кг. |
А1 |
15 |
0,8 |
1,5 |
А2 |
6 |
0,1 |
0,8 |
А3 |
9 |
0,4 |
1 |
Повторите решение, увеличив содержание вещества В1 в продукте А2 до 12%. Сравните с предыдущим решением и объясните различие.
6.Контрольные вопросы
6.1. Сформулируйте общую задачу ЛП.
6.2. Что такое основные, дополнительные, базисные переменные ?
6.3. Что такое базисное решение ?
6.4. В чем суть алгоритма симплексного метода ?
6.5. Как привести систему ограничений к каноническому виду ?
6.6. В чем состоит анализ решения задачи ?