4. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

В электрических цепях нередко встречаются токи и напряжения (далее коротко – сигналы) довольно сложной формы. Эта сложность временной зависимости затрудняет не только расчеты, но и визуальное восприятие самого сигнала, понимание характера («физики») процессов, протекающих в элементах цепи. Из-за этого общего, так сказать «глобального» рассмотрения сигнала, часто становится непонятным какие свойства этого сигнала объективно выступают как наиболее важные, на которые требуется обращать внимание, а какие являются второстепенными, малосущественными и их можно игнорировать. Вполне естественно, что был потребен математический аппарат, который бы позволял «раскладывать сложное явление на составные части» и, благодаря этому, давать характеристику изучаемому процессу в наиболее важном отношении, наиболее рациональным способом описывать его нужные свойства.

В 1807 году Жан Батист Фурье (1768-1830) высказал смелое предположение о том, что любую произвольную периодическую функцию, причем даже такую, которая содержит разрывы, можно представить рядом в виде суммы, с определенными коэффициентами (коэффициентами Фурье), периодических, связанных между собой косинусоид и синусойд. Косинусоиды и синусоиды с частотами, кратными частоте первой гармоники, в рядах Фурье получили название гармоник. При этом ряд Фурье, теоретически, имеет бесконечное число членов гармоник, но на практике оно всегда конечно.

В некотором смысле идеи, лежащие в основе такого предположения Фурье, восходят к древнему Вавилону, когда люди интуитивно сводили произвольное и, казалось бы, достаточно сложное колебание, к системе отдельных гармонических колебаний и, особенно, к соображениям о консонансах (созвучиях) в музыке: колеблющаяся струна может звучать слитно, согласованно, издавая одновременно тоны различной частоты.

Фурье был в большей мере физиком и инженером (свои идеи он изложил в конкурсной работе по теории теплоты), чем математиком и доказательство высказанных предположений не удовлетворили даже его современников. В последствии исходное утверждение Фурье о том, что функция (для нас это физическая величина, изменяющаяся во времени, сигнал) может быть представлена в виде комбинации простых гармоник и охарактеризована как упорядоченная и счетная система коэффициентов, было сформулировано корректно, строго доказано и изучение рядов Фурье можно считать одним из наиболее плодотворных глав математики.

С позиций современной математики утверждениям Фурье можно придать и некий наглядный «геометрический смысл».

Известно, что в прямоугольной (декартовой) системе координат, имеющей 3 координатные взаимно-перпендикулярные оси с ортами , вектор можно представить проекциями на оси. При этом каждая проекция вектора на ось равна скалярному произведению орта оси на вектор. Мы уже отмечали, что в линейном метрическом пространстве сигнал можно также представить неким вектором. Тогда по аналогии, сигнал (конечной мощности и энергии) может быть охарактеризован своими проекциями на некие ортогональные координатные оси, «направление» которых задается специальными, как говорят, базисными функциями. Набор этих ортогональных функций составляет координатный базис. Напомним, что функции ортогональны, если их скалярное произведение, а, следовательно, и взаимная энергия равны нулю. Если быть еще более точным, то следует отметить, что используемые в качестве направлений функции должны быть не только ортогональными, но и нормированными (средняя мощность базисной функции должна быть равна единице). Поэтому правильнее говорить, что координатный базис должен быть ортонормированным.

Таким образом, «геометрически» получается, что ряд Фурье это такое разложение произвольного сигнала, при котором коэффициенты ряда Фурье есть проекции на базисные направления.

Величины коэффициентов в выражениях разложения функции (сигнала) при тригонометрическом или ином представлении ряда получили название спектра. Эти коэффициенты характеризуют интенсивность элементарных гармоник, или, другими словами, величина каждого коэффициента показывает насколько значителен вклад каждой гармоники в формирование сигнала. Разложение сигнала на элементарные гармоники с целью определения их интенсивности называют спектральным анализом сигнала или преобразованием Фурье (ПФ).

В настоящее время применение методов спектрального анализа весьма многообразно. В различных областях электротехники и электроники возникают особые, специфические вопросы, при решении которых применяются ПФ. В частности, при обработке изображений вычисление ПФ является одной из наиболее часто встречающихся операций.

Сегодня, кроме тригонометрических ортогональных функций, широко применяются в качестве базисных и другие ортогональные системы функций. В связи с развитием компьютерных методов вычислений особое значение для ускорения обработки информации приобрело использование систем кусочно-постоянных функций, основными среди которых являются функции Уолша и Хаара.

Классическое ПФ является традиционным математическим аппаратом для анализа стационарных процессов. Однако, с позиций точного представления произвольных сигналов ПФ имеет ряд ограничений и недостатков.

ПФ, обладая хорошей локализацией по частоте, мало информативно по времени. Отдельные особенности сигнала, например, короткие всплески или провалы, разрывы, ступеньки или пики вызывает незначительные изменения частотного образа сигнала во всем интервале частот. Особенности вариации мгновенных значений сигнала как бы «размазываются» по всей частотной оси, что делает их обнаружение по спектру практически невозможным. Кроме того, ясно, что такая плавная базисная функция, как синусоида, в принципе не может представлять перепады сигналов с бесконечной крутизной, хотя такие сигналы (например, прямоугольные импульсы) применяются весьма широко. При этом единственным приспособлением к представлению быстрых изменений сигналов, таких как пики, перепады и пр. является резкое увеличение числа гармоник, которые оказывают влияние на форму сигнала.

Большой «ложкой дегтя» при преобразовании Фурье оказывается злополучный эффект Гиббса. Точное восстановление сигнала после ПФ, в условиях практически неизбежного ограничения числа гармоник, теоретически (и, тем более, практически) невозможно.

Проблемы спектрального анализа сигналов с локальными особенностями частично решаются переходом к так называемому кратковременному или оконному преобразованию Фурье. Идея этого преобразования проста: временной интервал разбивается на ряд промежутков – временных окон. Окно скачками перемещается и за некоторое число таких перемещений позволяет «просмотреть» весь сигнал. В каждом окне выполняется свое спектральное разложение, так что вместо обычно одной спектрограммы мы теперь получает набор спектрограмм. В результате получается частотно-временное описание сигнала. Естественно, что поскольку каждое окно охватывает небольшой участок по времени, точность описания локальных изменений сигнала может быть повышена. Часто используются окна Гаусса или иные окна, обеспечивающие малые искажения спектра из-за граничных явлений и уменьшающие проявление эффекта Гиббса.

Казалось бы, раз оконное преобразование Фурье дает нам возможность с высокой детальностью представлять спектры быстроизменяющихся сигналов, то достаточно им и ограничиться. Однако ситуация не так проста! Она упирается в известный принцип неопределенности Гейзенберга. Согласно ему невозможно получить одновременно высокое частотное и высокое временное разрешение. Выбирая окно с малой шириной по времени, мы получаем высокое временное разрешение, но низкое частотное разрешение. Взяв окно с большой шириной во времени, получаем хорошее разрешение по частоте, но плохое во времени. Оконное преобразование оперирует с окнами, имеющими одинаковую ширину, а потому данное противоречие для него неразрешимо.

Таким образом, недостаток оконного преобразования Фурье состоит в том, что используется фиксированное окно и, следовательно, фиксированное разрешение по времени и частоте для всех точек плоскости преобразования, которое не может быть адаптировано к локальным свойствам сигнала.

Кардинальное решение задачи анализа сложных с локальными особенностями сигналов кроется в применении вейвлет-преобразований.

Довольно грубо можно представить вейвлеты (в переводе с английского – короткие или маленькие волны) как некоторые функции, способные осуществлять преобразование Фурье не по всей временной оси, а локально, по месту своего расположения. Вполне естественно, что кроме изменения «средней частоты» маленькие волны должны перемещаться к тому месту сигнала, в котором должно осуществляться «локальное преобразование» Фурье, и масштабироваться.

Вейвлет-преобразование (ВП) имеет существенное преимущество перед ПФ, прежде всего за счет свойства локальности у вейвлетов. В ВП операция умножения на окно как бы содержится в самой базисной функции, которая сужает и расширяет окно. Кроме того, появляется возможность адаптивного к сигналу выбора параметров окна. Подвижное частотно-временное окно одинаково хорошо выделяет и низкочастотные, и высокочастотные характеристики сигналов. Это свойство дает ВП большое преимущество при анализе локальных свойств сигналов.

За короткий срок теория ВП получила революционное развитие. Причина успеха обусловлена тем, что новый аппарат пригоден для представления нестационарных и сложных сигналов, свойства которых меняются во времени или пространстве. Он давно ожидался теоретиками и практиками. Число текущих публикаций неуклонно растет и не поддается учету из-за огромного числа практических применений. Из последних достижений следует отметить то, что новый Международный стандарт сжатия изображений JPEC-2000 предусматривает сжатие при помощи разложения по вейвлетам. Одним из вариантов ВП является анализ сигналов со многими уровнями; параметры соответствующей системы приведены в стандартах Экспертной группы по движущимся изображениям MPEG-4. Такое ВП обеспечивает сжатие информации более чем в 300раз. Подтверждением значимости ВП является и тот факт, что фирмой Analog Devices разработаны и выпускаются однокристальные дешевые микросхемы, основанные на ВП и предназначенные для сжатия и восстановления изображений в реальном масштабе времени.

4.1. Основы общей теории спектральных представлений сигнала

4.1.1. Понятие спектра сигнала

Электрические сигналы обычно задают в виде некоторой временной функции u(t). Такое представление позволяет определить форму сигнала и судить о локальных изменениях (об искажениях), которые происходят с сигналом при прохождении через электрическую цепь.

Вместе с тем, как доказано в математике, любую временную функцию u(t), отвечающую определенным требованиям (условиям Дирихле), можно представить в виде совокупности составляющих, определяемых с помощью ряда или интеграла Фурье.

Если система действительных функций является ортонормированной (т. е. она представляет ортонормированный базис), то произвольная кусочно-непрерывная функция u(t), для которой выполняется условие , может быть представлена в виде обобщенного ряда Фурье по системе функций

. (4.1)

Здесь коэффициенты С_n определяются по формуле

. (4.2)

Совокупность коэффициентов С_n называется спектром сигнала u(t) в ортогональной системе . Спектр полностью определяет сигнал.

Обобщенный ряд Фурье обладает следующим важным свойством: при заданной системе функций и фиксированном числе слагаемых ряда он обеспечивает наилучшую аппроксимацию u(t) в смысле минимума среднеквадратической ошибки. Если ортогональная система функций к тому же является полной, то с увеличением числа членов ряда среднеквадратическую ошибку можно сделать сколь угодно малой.

Выбор наиболее рациональной ортогональной системы функций зависит от цели, преследуемой при разложении функции u(t) в ряд. Если требуется провести как можно более точное разложение, то, как правило, используют ортогональную систему основных тригонометрических функций – синусов и косинусов. Если необходимо свести к минимуму число членов ряда (при заданной допустимой погрешности аппроксимации), то используют разнообразные системы функций Уолша, Хаара и многие другие.

Спектры сигналов, используемых в электротехнике и электронике, при всем их многообразии могут быть разделены на два вида – дискретные и сплошные.

Дискретные спектры (от лат discretus – разделенный, прерывистый) состоят из дискретного ряда гармонических колебаний. Обычно с помощью таких спектров характеризуют периодические негармонические сигналы, которые широко используются в электронике в цепях питания, синхронизации, развертки.

Дискретные спектры изображают графически. Поскольку каждая спектральная составляющая характеризуется частотой, амплитудой и начальной фазой, то графически дискретный спектр изображают в виде двух графиков на которых по горизонтальной оси в некотором масштабе отложены частоты гармоник, а по вертикальной оси представлены в виде отрезков линий либо амплитуда, либо начальная фаза спектральных составляющих. Первый график называют спектром амплитуд (амплитудным спектром). А второй – спектром фаз (фазовым спектром).

Периодические сигналы являются в известном смысле идеализацией. Они, по определению, являются бесконечно протяженными во времени. Реально существующие сигналы всегда имеют конечную длительность, поэтому, строго говоря, они не являются периодическими сигналами.

Вместе с тем, если рассматривать бесконечный временной интервал как период, то в принципе любой сигнал конечной длительности можно условно считать повторяющимся на бесконечности. Признаком периодичности сигнала является его повторяемость через интервал Т, поэтому сигнал конечной длительности можно рассматривать как периодический сигнал с периодом .

Отсюда вытекает, что спектр сигнала конечной длительности содержит спектральные составляющие, интервал между которыми стремится к нулю. Такой спектр с бесконечно малыми интервалами между смежными составляющими называют сплошным.

Следует помнить, что сигналы конечной длительности имеют сплошные спектры. Для удобства их обычно представляют в виде графика спектральной плотности.