1.2. Уравнения строительной механики

В практике расчетов динамики и прочности конструкций обычно используются расчетные модели так называемых элементов строительной механики. К этим элементам относятся брус, пластина и оболочка. В свою очередь брус, работающий на изгиб, называют балкой. Если он работает только на растяжение, его называют стержнем, и, наконец, брус, работающий на кручение, носит название вала.

Расчетные соотношения для элементов строительной механики принципиально можно получить путем сложной процедуры, применяя асимптотические методы из уравнений теории упругости. Однако, проще и нагляднее это сделать путем ввода ряда допущений, переходя от физической модели к ее расчетной схеме и математической модели. При этом допущения формулируются из условия компромисса в стремлении сохранить по возможности основные свойства физической модели и одновременно получить математическую модель в виде уравнений, имеющих решение в квадратурах.

Эта цель, как правило, достигается для простейших моделей, позволяющих получить расчетные дифференциальные уравнения не выше четвертого порядка с постоянными коэффициентами, гармонические или бигармонические уравнения. Однако, переменные по координатам характеристики объекта расчета, приводящие к появлению в уравнениях переменных коэффициентов, или определенного вида граничные условия ( например, для бигармонических уравнений отличные от условий Навье) приводят к необходимости использования для решения задачи приближенных методов.

Ниже это будет показано на примерах.

Уравнения изгиба, колебаний и устойчивости балки переменного сечения при наличии осевой силы. Балкой, как известно, принято называть работающее на изгиб упругое тело, один размер которого (длина) значительно больше двух других. При рассмотрении балки вводится гипотеза плоских сечений, т.е. предположение о том, что нормальные до деформации к продольной оси балки из однородного материала сечения остаются после изгиба плоскими и нормальными к изогнутой оси. Отсюда следует, что нормальные напряжения при изгибе пропорциональны изгибающему моменту и по высоте сечения изменяются по линейному закону –

Здесь М – изгибающий момент в сечении, z – расстояние от нейтральной оси балки, I – главный центральный момент инерции сечения относительно оси оу (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Деформация элемента балки при изгибе

Изгибающий момент в свою очередь пропорционален кривизне изогнутой оси –

(1.19)

Произведение модуля упругости материала на главный центральный момент инерции EI называют изгибной жесткостью.

Зависимость (1.19) представляет собой основное уравнение изгиба балки – уравнение изогнутой оси. Из этого уравнения следует, что расчетной схемой балки является изогнутая ось, продольным координатам которой приданы характеристики материала и сечений балки.

Из курса «Сопротивление материалов» следуют известные формулы Журавского, связывающие изгибающий момент с перерезывающей силой Q и распределенной нагрузкой q –

Отсюда для балки переменного сечения под действием статической распределенной нагрузки –

При динамическом нагружении распределенная сила инерции –

,

где массовая плотность материала балки, площадь поперечного сечения.

В результате с учетом сил инерции д’Аламбера уравнение колебаний балки переменного сечения имеет вид –

.

В случае действия на балку осевой силы необходимо учитывать изгибную составляющую этой силы, возникающую за счет деформации оси (рис. 1.6).

Рис. 1.6. К учету осевой силы

Как это следует из рисунка, поперечная составляющая осевой силы –

.

Интенсивность этой силы – распределенная нагрузка – равна

.

Уравнение колебаний принимает вид –

. (1.20)

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением в частных производных с переменными коэффициентами. Оно имеет четвертый порядок по координате x и второй – по времени.

Для корректной постановки задачи требуется дополнить его четырьмя граничными и двумя начальными условиями.

Понятно, что из-за переменности коэффициентов решение этого уравнения в квадратурах невозможно.

В уравнении (1.20) знак минус соответствует растягивающей осевой силе. Если балка испытывает действие сжимающей силы, этот знак должен быть изменен на плюс. Таким образом, уравнение устойчивости балки переменного сечения под действием силы сжатия приобретет в обозначении вид –

. (1.21)

Уравнения теории изгиба пластин. Наиболее полное представление о напряженно-деформированном состоянии при изгибе тонких пластин дает тория Кармана, основанная на трех следующих допущениях.

1. Совокупность точек нормали к срединной плоскости недеформированной тонкой пластины остается на прямой, нормальной к деформированной срединной поверхности пластины после ее изгиба.

2. Усилия, действующие в срединной поверхности пластины, могут оказывать влияние на ее прогибы, вызванные действием поперечной нагрузки.

3. Прогибы пластины в свою очередь оказывают влияние на усилия, действующие в ее срединной поверхности.

Рис. 1.7 . Система координат пластины

Рис. 1.8. Равновесие элемента пластины

Первое из этих допущений носит название гипотезы прямых нормалей. В теории изгиба пластин ей принадлежит такое же место, какое занимает гипотеза плоских сечений в теории изгиба балок.

В результате рассмотрения условий равновесия элемента пластины, работающей в области упругих деформаций, связанных с напряжениями законом Гука, расчетные соотношения в перемещениях записываются в виде следующей системы уравнений –

(1.22)

(1.23)

Здесь D – цилиндрическая жесткость.

Постановка задачи расчета пластины предусматривает решение в совокупности с граничными условиями.

Для определения функции w можно задать на каждой из кромок пластины по два граничных условия.

Рассмотрим эти граничные условия:

1. Если кромки пластины при х = сопst свободно оперты на жесткий контур, то на них должно быть –

и

причем в силу первого из этих граничных условий второе обратится в условие

Таким образом, в рассматриваемом случае при x=const –

.

2. Если на краях x = const прогибы пластины и опорный момент М₁ заданы в функциях от у, то на этих краях –

W=f(y) и

где и две заданные функции от у. Таким образом, в этом случае на кромках х = соnst заданными являются, в сущности, значения функции w и

3. Если на кромках х = соnst пластина жестко заделана на жестком контуре, то на этих кромках должно быть –

4. Если на кромках x = соnst заданы прогиб пластины и угол поворота, то на этих кромках решение должно быть подчинено условиям –

где и две заданные функции от у.

5. Если на кромках х = соnst пластина упруго заделана на жестком контуре, причем во всех точках кромки изгибающий момент пропорционален углу поворота пластины, то на этой кромке –

где коэффициент податливости заделки пластины, а двойные знаки в правой части соответствуют: верхний той кромке, внешняя нормаль к которой направлена в сторону положительной оси ОХ, а нижний – кромке, внешняя нормаль к которой направлена в обратную сторону.

6. Если кромка х = соnst является совершенно свободной, то одно из граничных условий для нее является очевидным и может быть выписано в форме равенства на всем протяжении этой кромки. Второе граничное условие требует в этом случае несколько более детального рассмотрения. На первый взгляд может показаться, что на свободной (ничем не подпертой) кромке, параллельной оси ОУ, решение должно быть подчинено, помимо граничного условия еще граничным условиям –

N₁ = T₁ = 0.

Это, однако, противоречит тому количеству граничных условий, которым при заданной нагрузке может быть подчинено решение уравнений равновесия: общий интеграл этих 4 уравнений можно подчинить на каждой кромке пластины двум и только двум граничным, а не трем условиям, как то, казалось бы, следует сделать на свободной кромке.

Следует заметить, что полученное противоречие не является неожиданным, а совершенно естественно.

Действительно, из курса «Теория упругости» известно, что при решении всякой задачи теории упругости необходимо в каждой точке тела удовлетворить двум группам условий: уравнениям равновесия и условиям сплошности. Очевидно, что коль скоро в основу приближенной теории изгиба пластин положена кинематическая гипотеза (гипотеза прямых нормалей), уравнения сплошноcти удовлетворятся сами собой. Что же касается условий равновесия, то всем им точно удовлетворить нельзя, ибо в противном случае имелось бы точное, а не приближенное решение задачи; рассматриваемые сейчас граничные условия и являются теми условиями равновесия, которые при приближенном решении задачи нельзя совершенно точно удовлетворить, т. е. решение нужно подчинить двум условиям, а не трем.

Конечно, при этом поставленная задача не решается точно, но на основании принципа Сен-Венана можно утверждать, что произведенная замена скручивающих моментов вызовет возмущение напряженного состояния только вблизи кромок пластины.

Система дифференциальных уравнений (1.22)-(1.23) нелинейна и требует для получения решения использования приближенных методов.

Ограничиваясь рассмотрением такого частного случая, когда прогибы пластины настолько малы, что не оказывают влияния на величину усилий и , действующих в срединной плоскости, можно получить дифференциальное уравнение –