7.4. Выпуклость графика функции, точки перегиба

Пусть – функция, дифференцируемая на интервале . Рассмотрим кривую, являющуюся графиком функции .

Кривая, заданная функцией , называется выпуклой вверх на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Кривая называется выпуклой вниз на интервале , если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

Точкой перегиба называется точка на кривой, где меняется направление её выпуклости.

Теорема 4 (достаточные условия выпуклости графика функции).

Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна, т. е. , то кривая на этом интервале выпукла вверх; если во всех точках интервала - , то кривая на этом интервале выпукла вниз.

Пример 7.8. Определить направление выпуклости и точки перегиба кривой .

Решение:

Ищем точки х из области определения функции, в которых или не существует.

^.

Вторая производная равна нулю в точках . Эти точки являются искомыми, так как область определения и область непрерывности данной кривой есть вся ось абсцисс. Других точек х, которые могли бы быть абсциссами точек перегиба, нет, так как существует всюду.

Исследуем найденные точки, определяя знак слева и справа от каждой из них. Результаты исследования запишем в таблицу, подобную той, которая составляется при отыскании точек экстремума (табл. 3).

Таблица 3

x		0	(0, 1)	1
		0		0
	выпукла вверх	нет перегиба	выпукла вверх	точка перегиба	выпукла вниз

Выполним построение (рис. 6).

Рис. 6

7.5. Асимптоты

При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки в бесконечность). При этом важным случаем является тот, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Если , то прямая является асимптотой графика функции (при ). Эта асимптота параллельна оси Ox и называется горизонтальной асимптотой (рис. 7). Аналогично, прямая является асимптотой графика функции y = f(x) при , если .

Рассмотрим асимптоты, параллельные оси Oy.

Прямая x=x₀ называется вертикальной асимптотой, если хотя бы один из односторонних пределов , , является бесконечным (рис. 8).

Рис. 8

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот нужно найти точки разрыва функции второго рода.

Пример 7.9. Найти вертикальные асимптоты для функции .

Решение.

Функция определена и непрерывна во всех точках числовой оси, за исключением точки x₀=2, в которой функция терпит разрыв, =–, =+. Следовательно, прямая х=2 является вертикальной асимптотой для графика y= . Кроме того, = 0 и = 0, следовательно, прямая y=0 является горизонтальной асимптотой при и при рис. 9.

Рис. 9

Рассмотрим асимптоты, которые не параллельны координатным осям (рис. 10). Будем называть их наклонными асимптотами.

Прямая называется наклонной асимптотой функции , если функцию можно представить в виде

, (7.1)

где , при .

Определим числа k и b.

Поделим обе части равенства (7.1) на и перейдем к пределу при :

Откуда

. (7.2)

Определим коэффициент .

Равенство (7.1) перепишем в виде:

Перейдем к пределу , получим.

.

. (7.3)

Если хотя бы один из пределов (7.2), (7.3) не существует, то при кривая не имеет наклонной асимптоты.

Аналогично решается вопрос об асимптотах при .

Замечание. Если, , то будет являться горизонтальной асимптотой. Т. е. отдельно находить горизонтальные асимптоты нет необходимости, они будут найдены при нахождении наклонных асимптот (при k=0).

Пример 7.10. Найти асимптоты линии .

Решение.

Функция определена, непрерывна на бесконечном интервале поэтому вертикальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты. Для этого вычислим пределы (7.1), (7.3) при и при :

= = ,

так как (проверьте это по правилу Лопиталя). Отсюда следует, что при наклонных асимптот нет.

= , так как ,

отсюда . Далее, значит, b=0.

Итак, прямая есть наклонная асимптота при для графика функции (рис.11).