1.2. Геометрический смысл производной

Рассмотрим геометрический смысл производной.

На рис. 1 изображен график непрерывной функции . Точка M₀ на графике имеет координаты (x₀, ). Прямая M₀P является секущей для линии .

Предельное положение секущей М₀Р при Р→М₀ называется касательной прямой к графику функции в точке М₀.

Угол между касательной прямой и положительным направлением с осью Ox равен .

Геометрическое истолкование производной состоит в том, что угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀ равен значению производной этой функции в точке x₀:

. (1.1)

Из курса аналитической геометрии известно, что уравнение прямой имеет вид: . Откуда уравнение касательной M₀K имеет вид:

. (1.2)

Рис. 1

Пример 1.1. Составить уравнение касательной к параболе в точке, где .

Решение.

Подставляя в уравнение параболы заданную абсциссу точки касания , найдем её ординату:

.

Для определения углового коэффициента касательной находим производную :

.

Вычисляем значение в точке :

.

Подставляя значения в уравнение (1.2), получим уравнение касательной

.

Пример 1.2. Составить уравнение касательной, проведенной к кривой , параллельно прямой .

Решение.

По условию, касательная к заданной кривой параллельна прямой , следовательно угловые коэффициенты этих прямых должны быть равны.

Угловой коэффициент касательной для кривой:

.

Найдем угловой коэффициент прямой. Для этого сведем уравнение к виду , где - угловой коэффициент прямой.

, .

Приравняем угловые коэффициенты и решим полученное квадратное уравнение:

, , .

Найденные корни являются абсциссами точек, через которые проходят касательные к графику функции . Найдем ординаты этих точек:

,

.

Составим уравнения касательных по формуле (1.2) получим:

, ,

, .

2. Правила дифференцирования. Производная сложной функции

2.1. Правила дифференцирования

Правила дифференцирования позволяют находить производные суммы (разности), произведения и частного двух функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

Замечание 1. Свойство 2 выполняется для алгебраической суммы любого количества функций.

Замечание 2. Из свойства (3) легко вывести формулу для производной от произведения нескольких функций. Например,

Аналогичный вид имеет формула для произведения любого числа множителей.

Пример 2.1. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций: а) ;

б) .

Решение.

а) Используя таблицу производных, первое и второе свойства получим: ;

б) Вводя дробные и отрицательные показатели, преобразуем данную функцию:

.

Тогда, используя производную степенной функции, свойства 1 и 2 будем иметь:

Пример 2.2. Найти производную функции :

Решение.

Воспользовавшись свойством 3 получим:

Пример 2.3. Найти производную функции .

Решение.

Для решения первого примера используем свойство 4 производных.

2.2. Производная сложной функции

Рассмотрим дифференцирование сложной функции.

Пусть является сложной функцией, где функция – промежуточный аргумент. Покажем, как найти производную сложной функции, зная производную для функции (её будем обозначать через ) и производную для функции .

Теорема 1. Если функция имеет производную в точке x, а функция имеет производную в точке ( ), то сложная функция в точке x имеет производную , причем = .

Иначе, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента.

Пример 2.4. Найти производную функции .

Решение.

.

Пример 2.5. Найти производную функции

.

Решение.

.