Простейшие

• полный перебор

• случайный перебор

• жадные алгоритмы

  • метод ближайшего соседа

  • метод включения ближайшего города

  • метод самого дешёвого включения

• метод минимального остовного дерева

• метод имитации отжига

Все эффективные (сокращающие полный перебор) методы решения задачи коммивояжёра — методы эвристические. В большинстве эвристических методов находится не самый эффективный маршрут, а приближённое решение. Зачастую востребованы так называемые any-time алгоритмы, то есть постепенно улучшающие некоторое текущее приближенное решение.

Существуют также постановки, в которых задача коммивояжера становится NP-полной. Обычно такие постановки выглядят следующим образом: существует ли на заданном графе G такой обход, что его стоимость не превышает x. Часто на ней проводят обкатку новых подходов к эвристическому сокращению полного перебора.

На практике применяются различные модификации более эффективных методов: метод ветвей и границ и метод генетических алгоритмов, а также алгоритм муравьиной колонии.

Метод ветвей и границ[

Основная статья: Метод ветвей и границ

Можно найти точное решение задачи коммивояжёра, то есть «вручную» вычислить длины всех возможных маршрутов и выбрать маршрут с наименьшей длиной. Однако даже для небольшого количества городов решать задачу таким способом практически невозможно. Для простого варианта, симметричной задачи с  городами, существует   возможных маршрутов, то есть для 15 городов существует 43 миллиарда маршрутов и для 18 городов уже 177 триллионов. То, как стремительно растет продолжительность вычислений, можно показать на следующем примере. Если бы существовало устройство, находящее решение для 30 городов за час, то для двух дополнительных городов требуется в тысячу раз больше времени; то есть, более чем 40 суток.

Задача коммивояжера для трех городов: красная пунктирная плоскость   отсекает все недопустимые решения с максимум одним ребром. Все точки в красном политопе удовлетворяют этому неравенству, и единственная допустимая точка это (1, 1, 1).

Методы дискретной оптимизации, в частности ветвей и границ, позволяют находить оптимальные или приблизительные решения для достаточно больших задач.

В геометрической интерпретации, эти методы рассматривают задачу как выпуклый политоп, то есть многомерный многоугольник в  -мерном единичном кубе  , где   равно количеству ребер в графе. Каждое ребро этого единичного куба соответствует маршруту, то есть вектору с элементами 0/1, что удовлетворяет описанным выше линейным неравенствам. Гиперплоскости, описываемые этими неравенствами, отсекают такие ребра единичного куба, которые не соответствуют ни одному маршруту.

На рисунке рядом показано применение метода для задачи с тремя узлами. В соответствие трем возможным ребрам между вершинами сопоставляются бинарные переменные   и  . В этом случае существует лишь один возможный маршрут, а именно тот, что проходит через три вершины. Этот маршрут удовлетворяет неравенству  , которое утверждает, что маршрут должен проходить через минимум две вершины. Кроме этого маршрута, что соответствует вектору (1,1,1), неравенству удовлетворяют также все точки в отмеченной красным части этого неравенства. Плоскости, проходящие через красные линии, отсекают все углы, отвечающие несуществующим маршрутам с максимум одним ребром, а именно, ноль-вектор (0, 0, 0), единичные векторы (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Сильное неравенство   отсечет от единичного куба все, кроме единственной допустимой точки (1, 1, 1). В этом отдельном случае тот же эффект можно получить тремя неравенствами типа (1).

Для определения допустимого ребра с наименьшей длиной следует решить наборы задач линейной оптимизации, отсекающие секущими плоскостями ненужные части единичного куба и попытаться разделить единичный куб на меньшие политопы методом ветвей и границ.

Однако этого метода для быстрого поиска маршрутов обычно недостаточно. Основное преимущество точных методов заключается в том, что имея достаточно времени, они вычисляют кратчайший маршрут. Имея нижнюю границу для оптимальных решений, можно оценить то, насколько отличается найденный маршрут от оптимального. Например, имея нижнюю границу на уровне 100, и после нахождения маршрута длиной 102, оптимальный маршрут может находиться в пределах от 100 до 102. Так называемый интервал оптимальности, или максимальное относительное расстояние между длиной оптимального маршрута и кратчайшим известным маршрутом составит (102—100)/100 = 2 %, то есть длина найденного маршрута 102 максимум на 2 % отличается от оптимальной. Когда длина вычисленного маршрута равна длине предыдущего, считается, что найденное решение является оптимальным. Для поиска маршрутов приемлемой длины точные методы могут комбинироваться с эвристическими.

Метод ветвей и границ для решения задачи коммивояжёра был предложен в 1963 году группой авторов (Дж. Литл, К. Мурти, Д. Суини, К.Кэрол).^[1]

Метод эластичной сети[править | править исходный текст]

См. также: Упругая карта и Выпуклая оболочка

История[править | править исходный текст]

В 1987 году его использовали Дурбин (Durbin) и Уиллшоу (Willshaw), указавшие аналогию с механизмами установления упорядоченных нейронных связей^[2].

Каждый из маршрутов коммивояжера рассматривался как отображение окружности на плоскость (в каждый город на плоскости отображается некоторая точка этой окружности). Соседние точки на окружности должны отображаться в точки, по возможности ближайшие и на плоскости.

Алгоритм[править | править исходный текст]

Начинается с установки на плоскость небольшой окружности. Она неравномерно расширяющейся, становясь кольцом, проходящим практически около всех городов и устанавливая т.о. искомый маршрут. На каждую движущуюся точку кольца оказывает действие две составляющие: перемещение точки в сторону ближайшего города и смещение в сторону соседей точки на кольце так, чтобы уменьшить его длину. Город в итоге связывается с определенным участком кольца по мере расширения.

Литература[править | править исходный текст]

• Ананий В. Левитин Глава 3. Метод грубой силы: Задача коммивояжера // Алгоритмы: введение в разработку и анализ = Introduction to The Design and Analysis of Algorithms. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 159-160. — ISBN 0-201-74395-7

• Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-е изд. —М.: «Вильямс», 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1

• В.И. Мудров Задача о коммивояжере. — М.: «Знание», 1969. — С. 62.