3. Использование критерии игр(Вальда, Гурвиц) для наилучшего варианта

Критерий Вальда 1: Определение наилучшего варианта решения в условиях неопределенности при наличии седловой точки (критерий гарантированного выигрыша):

З: строим электростанцию. Какой запас топлива необходим?. Если зима теплая – 12 тыс. тонн; средняя – 15 тыс. тонн; холодная – 18 тыс. тонн. Стоимость 1 ед. топлива (тыс.тонн) зима теплая – 10 д.е.; средняя – 12 д.е.; холодная – 14 тыс.тонн.

1. Выбираем критерий – минимизация затрат.

2. Составление платежной матрицы

3. 1 колонка: Все топливо покупаем осенью. 12 т.т*10 д.е. = 120; 15 т.т * 10 д.е = 150; 18 т.т * 10 д.е. = 180. 2 колонка. Оказалось, что зима средняя, оставшееся закупаем по 12 д.е. 12*10+(15-12)*12=156. В остальных случаях докупать не придется. 3 колонка. Зима холодная, нужно 18 т.т., оставшееся закупаем по 14 д.е. 12*10+(18-12)*14=204; 15*10+(18-15)*14=192; в оставшемся случае докупать ничего не приходится.

3. Опр-е maxmin максимальной из минимальных величин. Сначала находим min цифры -204 -192 -180. Из них min -180

4. Опр. minmax min: -120 -150 -180. Из них -180 max.

5. Опр. наличия седловой точки. Если maxmin=minmax – это и есть седловая точка.

6. Принятие решения при наличии седловой точки. 3 вар: закупаем сразу 18 т.т по 10 д.е.

Критерий Вальда 2: Определение наилучшего варианта решения при отсутствии седловой точки. Сколько производить продукции? Продукцию складировать не можем.

Исх информация. Цель max П

1. Построение платежной матрицы 2. Находим maxmin=2тыс. 2 шт. 3. Находим minmax = 29 тыс.4. Опр. наличия седловой точки maxmin не= minmax. Седловой точки нет.

5. Опр. оптимальных частот Р1 и Р2, с кот мы должны использовать те или иные стратегии (12 раз в год – по месяцам).Определение оптимальной смешанной стратегии Р10, Р20

Если противник выдает решение Б1 тепл, наш выигрыш Р1*29000+ Р2*2000 .

Б2 хол выигрыш Р1*2000+ Р2*32000. Р1 + Р2 = 1, Б1: (1 - Р2)*29000+ Р2*2000

Б2: (1 - Р2)*2000+ Р2*32000. В обоих случаях выигрыш должен быть одинаковый. Мы их приравниваем. Решаем равенство. Получаем Р2=9/19 Р1=10/19. Т.е. первое решение принимаем немного чаще, чем второе.

6. Опр. прибыль при Р1 и Р2 П= (1 - Р2)*29000+ Р2*2000= 16210 д.е./мес.

7. Опр. сколько продуктов производит: (500m+1200n)*10/19 + (2000m+600n)*9/19

m = 500*10/19+2000*9/19=1211 ед.; n=1200*10/19+600*9/19=916 ед.

Гурвица: K=1 – расчет на худшее – критерий Вальда. V=maxi minj aij

K=0 – расчет на лучшее/

По Гурвицу G=k*min aij +(1-k)*max aij. i – индекс строки, j – индекс столбца.

критерий Вальда. V=maxi minj aij – осторожный подход

при использовании критерия Гурвица берем k пессимизма. Берем разные значения и посмотрим, что получится.

k=0 G= (1-k)*max aij. i (ищем max значения в платежной матрице по строкам)

k=1 G=k*min aij (ищем min значения по строкам)

k=0,25 G=0,25*min aij + 0,75*max aij. Заполняем новую матрицу – выбираем лучшие варианты по столбцам для каждого значения k.

4. Использование критериев теории игр (Сэвидж, Лаплас) для выбора наилучшего варианта.

Критерий Сэвиджа

1. Построение платежной матрицы. 3 варианта реконструкции и 3 варианта обстановки.

V=maxi minj aij – критерий Вальда

G=k*min aij +(1-k)*max aij – критерий Гурвица

S= mini maxj Pij – критерий Сэвиджа. P – потери, мы их минимизируем.

Выделяем по столбцам максимальные значения.

2. Строим матрицу потерь. Допустим, мы решили, что случится обстановка О3. Выбрали 1 вариант реконструкции (так как у В1 max значение 0,40), а случилась О1, это В4. Мы ошиблись на какую-то вероятность. Вычитаем из max значения все остальные значения в столбце Р=0,80-0,25=0,55; 0,80-0,75=0,05; 0,80-0,35=0,45; 0,80-0,80=0. Далее определяем таким же образом max потери для каждого столбца.

В полученной матрице выбираем по строкам max. Из max значения выбираем min =0,45 – это Вариант3.

Критерий Лапласа

L = min_i _jⁿP_ij * 1/n, 1 / n = v_jср , v_jср =1/3=0,333

n – количество вариантов обстановки, vсрj – средняя вероятность наступления той или иной обстановки.

1. Построение платежной матрицы.

2. Построение матрицы потерь.

3. Каждый элемент матрицы потерь умножаем на вероятность наступления события vjср (0,333). Суммируем по строкам. Из полученных сумм определяем минимальное значение. 0,22 – это Вариант 4

5. Матричные модели

Модель плана предприятия

Предприятие производит 3 вида продукции. Каждый из них используется для выпуска других видов продукции и на собственные нужды. Необходимо с учетом этих связей определить сколько нужно элЕ, если известен удельный расход элE на пр-во I продукта, II и III..

Строим матричную модель удельных расходов.

Валовой продукт D1- сколько нужно произвести I продукта, чтобы хватило и на II и на III и на заказы. Получаем систему уравнений:

1 продукт (строка): D11+D12+D13+..D150+D1К = D1

2 продукт : ……. ……. аналогично

Но D11, D12, D13 .. не известны. Тогда используем удельный расход а12=D12/D2.

Теперь балансовое уравнение можно написать по-другому:

а11*D1+a12*D2+a13*D3+..+ D1К = D1

…………

Эти ур-я 50 штук можно описать с помощью векторов: A*D+DК=D; или D(E-A)= DК , где Е – единичная матрица. Получили матрицу коэффициентов полных затрат или вектор конечной продукции D=(E-A)-1 * DК. Теперь ее остается только решить 