2.3. Задача побудови найкоротших радіальних маршрутів між вузлами мережі перевезень пошти

У поштовому зв’язку радіальні маршрути використовуються, в основному, як магістральні та регіональні маршрути, а в разі нестачі часу для проходження кільцевих маршрутів – також як окружні маршрути.

Задача формулюється так: заданий зв’язний зважений граф, вершини якого відповідають вузлам мережі перевезень пошти, ребра – шляхам, що з’єднують ці вузли, а ваги ребер – протяжностям відповідних шляхів. Знайти найкоротші шляхи, що з’єднують задану початкову вершину з рештою вершин графа.

Розв’язання задачі засновано на формуванні рельєфу графа у виді ваг вершин графа, значення яких дорівнюють значенням протяжностей найкоротших шляхів між ними і початковою вершиною графа.

Початковій вершині В_і надається вага Р_і = 0, решті вершин – нескінченні ваги Р_j = .

На кожному кроці формування рельєфу графа знаходиться раніше неперевірена вершина мінімальної ваги, відносно якої формуються ваги тих неперевірених вершин, що безпосередньо з’єднані з перевірною вершиною. Вага неперевіреної вершини замінюється вагою перевірної вершини, збільшеної на вагу ребра, що з’єднує зазначені вершини, якщо перша перевищує другу.

Разом з формуванням рельєфу формується інформація про значення ваги кожної вершини і про номер вершини, від якої ця вага отримана.

Найкоротші шляхи формуються як послідовності записів зазначеної інформації, прочитані в порядку, зворотному до їхнього формування.

Алгоритм формування рельєфу графа наведений на рис. 8.

Початок

1. Присвоєння початковій вершині

ваги Р_i = 0, присвоєння решті

вершин ваг Р_j = 999

2. Вибір серед неперевірених вершин

графа вершини В_k мінімальної ваги

3. Обчислення ваги = P_k + P_(k,j)

чергової неперевіреної вершини

B_j графа, безпосередньо пов’язаної

з перевірною вершиною B_k

Ні

4.  Р_j

Так

5. Р_j = , запис B_k

6. Всі

вершини B_j, безпосередньо Ні

пов’язані з вершиною B_k,

перевірені

Так

7. Присвоєння перевірній вершині

B_k позначки “перевірена” (*)

Ні 8. Перевірено

n - 1 вершин графа

Так

Кінець

Рисунок 8 – Алгоритм формування рельєфу графа

Алгоритм містить 8 блоків.

У блоці 1 створюється початковий рельєф графа. Початковій вершині В_і присвоюється мінімальна вага Р_і = 0, решті вершин графа B_j (j = 1, 2, … n, j  i) – нескінченні ваги Р_j = , які подаються як надмірні ваги Р_j = 999.

У блоці 2 серед неперевірених вершин вибирається вершина В_k мінімальної ваги Р_k.

У блоці 3 обчислюється вага = Р_k + Р_(k,j) чергової неперевіреної вершини B_j відносно перевірної вершини B_k, що безпосередньо пов’язана з вершиною B_j графа.

У блоці 4 обчислена вага порівнюється з вагою Р_j вершини B_j. При  Р_j виконується перехід до блока 5, при  Р_j – до блока 6.

У блоці 5 вага Р_j замінюється вагою , тобто значення ваги вершини B_j знижується, і запам’ятовується вершина B_k, від якої одержано значення ваги Р_j .

У блоці 6 перевіряється, чи всі вершини В_j графа, безпосередньо пов’язані з перевірною вершиною B_k, перевірені. Якщо “Так” – здійснюється перехід до блока 7, якщо “Ні” – повернення до блока 3.

У блоці 7 перевірній вершині B_k присвоюється позначка “перевірена” (*) і вона виключається з подальшого розгляду.

У блоці 8 перевіряється кількість вершин графа, що вже перевірені. Якщо таких вершин менше n - 1 – здійснюється повернення до блока 2, і процес формування рельєфу графа повторюється, якщо їх n - 1 – рельєф графа сформований і робота алгоритму закінчується.

Алгоритм формування найкоротших шляхів за сформованим рельєфом графа наведено на рис. 9.

Алгоритм містить 5 блоків.

У блоці 1 фіксується поточна перевірна вершина B_l = B_j (j = 1, 2, … n,

j  i).

У блоці 2 виконується зчитування рядка l таблиці рельєфу графа.

У блоці 3 фіксується значення номера попередньої вершини B_k графа та ваги Р_l .

У блоці 4 значення l замінюється значенням k, тобто поточна вершина B_l замінюється поточною вершиною B_k графа.

У блоці 5 порівнюються значення l і i. При l  i виконується повернення до блока 2 і формування шляху між вершинами B_i та B_j графа продовжується. При l = i шлях між вершинами B_i та B_j графа сформований і робота алгоритму закінчується.

Початок

1. l = j (j = 1, 2 …, n, j  i)

2. Зчитування рядка l таблиці

рельєфу графа

3. Запис номера попередньої

вершини B_k графа і ваги P_l

4. l = k

Ні

5. l = i

Так

Кінець

Рисунок 9 – Алгоритм формування найкоротших шляхів

Послідовність кроків формування рельєфу графа рис. 6 відносно вершини 4 наведено в табл. 4 … 11 (B_i – будь-яка вершина, Р_i – вага вершини B_i, * - позначка вершини “перевірена”, B_k – вершина, від якої одержана вага Р_i).

Таблиця 4 – Формування рельєфу графа

Таблиця 5 – Формування рельєфу графа

Таблиця 6 – Формування рельєфу графа

Крок 0: початковий					Крок 1: Рi = 0, Bi = 4					Крок 2: Рi = 2, Bi = 3
Bi	*	Рi	Bk		Bi	*	Рi	Bk		Bi	*	Рi	Bk
1		999			1		4	4		1		3	3
2		999			2		999			2		999
3		999			3		2	4		3	*	2	4
4		0			4	*	0			4	*	0
5		999			5		999			5		999
6		999			6		4	4		6		4	4
7		999			7		3	4		7		3	4
8		999			8		999			8		999

Таблиця 7 – Формування рельєфу графа

Таблиця 8 – Формування рельєфу графа

Таблиця 9 – Формування рельєфу графа

Крок 3: Рi = 3, Bi = 1					Крок 4: Рi = 3, Bi = 7					Крок 5: Рi = 4, Bi = 6
Bi	*	Рi	Bk		Bi	*	Рi	Bk		Bi	*	Рi	Bk
1	*	3	3		1	*	3	3		1	*	3	3
2		7	1		2		7	1		2		7	1
3	*	2	4		3	*	2	4		3	*	2	4
4	*	0			4	*	0			4	*	0
5		999			5		999			5		999
6		4	4		6		4	4		6	*	4	4
7		3	4		7	*	3	4		7	*	3	4
8		999			8		7	7		8		6	6

Таблиця 10 – Формування рельєфу графа

Таблиця 11 – Формування рельєфу графа

Крок 6: Рi = 6, Bi = 8					Крок 7: Рi = 7, Bi = 2
Bi	*	Рi	Bk		Bi	*	Рi	Bk
1	*	3	3		1	*	3	3
2		7	1		2	*	7	1
3	*	2	4		3	*	2	4
4	*	0			4	*	0
5		9	8		5		9	8
6	*	4	4		6	*	4	4
7	*	3	4		7	*	3	4
8	*	6	6		8	*	6	6

Сформовані найкоротші шляхи між вершиною 4 та рештою вершин графа наведено у табл. 12 (в дужках зазначені протяжності відповідних шляхів або їхніх частин).

Таблиця 12 – Перелік найкоротших шляхів

4 (0) – 3 (2) – 1 (3)

4 (0) – 3 (2) – 1 (3) – 2 (7)

4 (0) – 3 (2)

4 (0) – 6 (4) – 8 (6) – 5 (9)

4 (0) – 6 (4)

4 (0) – 7 (3)

4 (0) – 6 (4) – 8 (6)

Наведені алгоритми формування рельєфу графа (рис. 8) і формування найкоротших шляхів за сформованим рельєфом графа (рис. 9) можуть бути використані також для формування шляхів, найкоротших за числом проміжних вершин.

У задачах поштового зв’язку такі шляхи використовуються для перевезень важкої (посилкової) пошти з метою скорочення витрат, пов’язаних з її перевантаженням у транзитних вузлах.

Для одержання зазначених шляхів достатньо прийняти ваги усіх ребер графа, що дорівнюють одиниці.

У табл. 13 … 19 наведено послідовність кроків формування рельєфу графа рис. 6 відносно вершини 4 за умови рівності ваг усіх його ребер одиниці (позначення – такі ж самі, що і в табл. 4 … 11).

Таблиця 13 – Формування рельєфу графа

Таблиця 14 – Формування рельєфу графа

Таблиця 15 – Формування рельєфу графа

Крок 0: початковий					Крок 1: Рi = 0, Bi = 4					Крок 2: Рi = 2, Bi = 3
Bi	*	Рi	Bk		Bi	*	Рi	Bk		Bi	*	Рi	Bk
1		999			1		1	4		1	*	1	4
2		999			2		999			2		2	1
3		999			3		1	4		3		1	4
4		0			4	*	0			4	*	0
5		999			5		999			5		999
6		999			6		1	4		6		1	4
7		999			7		1	4		7		1	4
8		999			8		999			8		999

Таблиця 16 – Формування рельєфу графа

Таблиця 17 – Формування рельєфу графа

Таблиця 18 – Формування рельєфу графа

Крок 3: Рi = 3, Bi = 1					Крок 4: Рi = 3, Bi = 7					Крок 5: Рi = 4, Bi = 6
Bi	*	Рi	Bk		Bi	*	Рi	Bk		Bi	*	Рi	Bk
1	*	1	4		1	*	1	4		1	*	1	4
2		2	1		2		2	1		2		2	1
3	*	1	4		3	*	1	4		3	*	1	4
4	*	0			4	*	0			4	*	0
5		999			5		999			5		999
6		1	4		6	*	1	4		6	*	1	4
7		1	4		7		1	4		7	*	1	4
8		999			8		3	6		8		3	6

Крок 6: Рi = 6, Bi = 8
Bi	*	Рi	Bk
1	*	1	4
2	*	2	1
3	*	1	4
4	*	0
5		3	2
6	*	1	4
7	*	1	4
8		3	6

Таблиця 19 – Формування рельєфу графа

Оскільки на кроці 6 всі вершини отримали ваги, формування рельєфу закінчується.

У табл. 20 наведено найкоротші за числом проміжних вершин шляхи між вершиною 4 та рештою вершин графа.

Таблиця 20 – Перелік найкоротших шляхів

4 – 1

4 – 1 – 2

4 – 3

4 – 1 – 2 – 5

4 – 6

4 – 7

4 – 6 – 8