3.3. Теорія ігор.

3.3.1. Предмет і задачі теорії ігор. Основні поняття

Одна з основних проблем ДО - проблема прийняття рішення в умовах невизначеності. Останні можуть стосуватися: умов виконання операції; дій сторін, що беруть участь в операції; цілей операції.

Для обґрунтування рішень в умовах невизначеності відпрацьовані спеціальні математичні методи, частина яких розглядається в теорії ігор (ТІ). Ці методи допомагають провести кількісний аналіз ситуації і виробити рекомендації для прийняття рішення. В окремих, найбільш простих, випадках вони дають змогу знайти оптимальний розв'язок. У більш складних - детальніше розібратися в складній ситуації і оцінити кожен із можливих розв'язків з різних позицій, порівняти їх недоліки та переваги і прийняти рішення, якщо не єдино правильне, то, принаймні, до кінця продумане.

Отже, основна задача ТІ - обґрунтування рішення в умовах невизначеності.

Під час розв'язання чималої кількості практичних задач ДО доводиться аналізувати ситуації, де є дві або більша кількість сторін з різними інтересами. Такі ситуації називаються конфліктними. Останні виникають у різних сферах людської діяльності, зокрема, спорті, економіці, військовій справі тощо. Необхідність аналізу таких ситуацій привела до створення математичного апарату, яким є ТІ. Теорія ігор безпосередньо є математичною теорією конфліктних ситуацій. Одним з її основних завдань є відпрацювання рекомендацій з раціонального способу дії учасників конфлікту.

Кожна конфліктна ситуація є достатньо складною і залежить від великої кількості різноманітних (суттєвих і несуттєвих) факторів. Для реалізації можливості математичного аналізу ситуації необхідним є вилучення з розгляду багатьох неістотних факторів. У результаті такого вилучення формується спрощена схематизована модель ситуації. Остання називається грою.

В залежності від кількості можливих стратегій ігри діляться на скінченні та нескінченні.

Оптимальною називається стратегія, яка при багаторазовому повторенні гри забезпечує даному гравцю максимально можливий середній виграш.

Отже, з урахуванням наведених понять ТІ, можна зробити висновок, що важливим завданням ТІ є відпрацювання рекомендацій для гравців, тобто визначення оптимальної для них стратегії.

Розглянемо скінченну гру, в якій гравець А має m стратегій , а гравець B має n стратегій . Таку гру називають грою

3.3.2. Метод розв’язку скінченої гри з сідловою точкою

Розглянемо гру , платіжна матриця якої має вигляд (3.31), і визначимо метод її розв'язку. Розв'язання гри полягає в визначенні оптимальних стратегій гравців.

Нехай гравець А вибрав деяку стратегію . Тоді в найгіршому випадку (наприклад, якщо його вибір стане відомим гравцю B) він одержить виграш, рівний . Передбачаючи таку можливість, гравець А повинен вибрати таку стратегію, щоб максимізувати свій мінімальний виграш, тобто стратегію, яка забезпечує . Число

(3.32)

називається нижньою ціною гри. Величина  - максимальний гарантований виграш гравця А.

Стратегія , яка забезпечує отримання , називається максимінною.

Гравець B, вибираючи стратегію, виходить з наступного принципу: при виборі деякої стратегії його програш не перевищить максимального із значень елементів j-го стовпця матриці (3.31), тобто буде меншим або рівним . Розглядаючи множину для різних значень j, гравець B, природно, вибере таке значення j, при якому його максимальний програш мінімізується, тобто таку стратегію , яка забезпечить . Число

(3.33)

називається верхньою ціною гри.

Стратегія яка забезпечує отримання β, називається мінімаксною.

Фактично виграш гравця А при розумних діях гравців обмежений нижньою і верхньою ціною гри. Якщо ж ці вирази рівні, тобто

чи (3.34)

то гра називається грою з сідловою точкою, а число ν - ціною гри.

Елемент в матриці гри є одночасно мінімальним у стрічці та максимальним у стовпці називається сідловою точкою.

Сідловій точці відповідають оптимальні стратегії гравців. Отже, їх сукупність - це розв'язок гри, який має наступну властивість: якщо один із гравців дотримується своєї оптимальної стратегії, то для іншого відхилення від його оптимальної стратегії не може бути вигідним.