3.2. Теорія черг

Предметом вивчення у теорії черг є системи масового обслуговування (СМО). У системах масового обслуговування розглядаються черги і вирішуються питання по обслуговуванню потоку замовлень від людей, приладів, подій (рис. 3.2.).

Рис. 3.2. Модель n - канальної СМО

Замовлення на виконання робіт поступають у випадкові моменти часу, а обслуговуючі пристрої виконують замовлення (обслуговують їх) за випадковий термін. Кількість замовлень є статистично оціненою величиною.

Таким чином, СМО має дві головні ознаки: обслуговуючий пристрій і чергу.

СМО розрізняються:

1. За конструкцією обслуговуючого пристрою: Одноканальна, багатоканальна.

2. За дисципліною черги. Найбільше розповсюджено правило: перший прийшов - перший обслуговуєшся. Але у СМО розглядаються й інші варіанти обслуговування, наприклад: замовлення за пріоритетом; відсутність черги (якщо для обслуговування черги немає вільного каналу або якщо СМО зайнята, то замовлення не обслуговується і зникає).

При аналізі СМО намагаються одержати такі характеристики - середню довжину черги; середній термін обслуговування; середній час, за який обслуговуючий пристрій не працює.

Для отримання математичної моделі СМО потрібно знати:

• конструкцію СМО;

• математичний опис потоку замовлень, що надходять до СМО; опис дисципліни черги, способу обслуговування;

• математичний опис обробки замовлень.

3.2.1. Рівняння для аналізу систем масового обслуговування

Основні рівняння СМО

Закон Бернуллі. В основі аналізу СМО лежить біноміальний закон Бернуллі, який дозволяє розраховувати ймовірність появи події "А" точно К разів при n незалежних спостереженнях (тільки для дискретних випадкових взаємно несумісних незалежних подій):

(3.5)

(3.6)

де - кількість незалежних спостережень;

- ймовірність появи подій "А" точно К разів при незалежних спостереженнях;

- ймовірність появи однієї події "A";

- ймовірність протилежної події (не появи події "А");

К - кількість появи події "А" при n спостереженнях;

- сполучення по К елементів із n спостережень.

Властиво­сті сполучення:

У принципі закон Бернуллі (і закони Лапласа та Пуассона, що з нього випливають) може використовуватись для визначення конструк­ції СМО - кількості каналів обслуговування та середнього терміну об­слуговування одного замовлення.

Якщо прийняти то отримаємо повну групу взаємно несумісних подій, для якої сума відповідних ймовірностей

(3.7)

Формула Лапласа. Подальші перетворення формули Бернуллі дозволяють отримати формулу Лапласа:

(3.8)

де,

Із формули Лапласа випливає, що при або при (тут - найімовірніша кількість подій "А") отримуємо:

(3.9)

і ймовірність найімовірнішого числа подій К0 дорівнює:

(3.10)

З точністю до (тобто з ймовірністю 0,997) можна вважати, що всі події відбудуться, якщо виконується умова , або .

Диференційні рівняння СМО

Стан Si СМО визначається :

• в одноканальній СМО з очікуванням - довжиною черги і;

• у багатоканальній СМО з відмовами - кількістю зайнятих каналів і (у цій СМО черги немає: якщо всі канали зайняті, то замовлення не обслуговується і зникає);

• у багатоканальній СМО з очікуванням — числом зайнятих каналів плюс довжиною черги.

Для побудови диференційного рівняння СМО для деякої і-ї вершини графа використовують правило Колмогорова для і -го стану з імовірністю існування :

Граф станів СМО описується диференційними рівняннями:

………………………………………………

………………………………………………

з якої випливає інша система рівнянь:

………………………………………………

……………………………………………….

Значний інтерес для СМО викликає не динаміка, а статика. У статичному режимі всі похідні дорівнюють нулю, і тому отримуємо:

………………………………………….….

………………….

де,

Рішення цієї системи рівнянь для статики має вигляд:

Звідси отримуємо ймовірність простоювання СМО:

3.2.2. n-канальна система масового обслуговування з відмовами

Розглянемо множину станів системи: - усі канали вільні, жодне замовлення не обслуговується; - зайнятий лише один канал (який не важливо), обслуговується одне замовлення; …; - зайнято (які саме – не важливо), обслуговується замовлень; … ; - зайнято каналів, обслуговується замовлень

Ймовірність перебування СМО у - стані (одночасної роботи каналів) знаходимо за формулою:

(3.12)

де,

Ймовірність відсутності замовлень P₀ знаходиться з виразу суми ймовірностей для повної групи взаємно несумісних подій

(3.13)

(3.14)

Ймовірність обслуговування замовлень

Ймовірність відмови в обслуговуванні визначається ймовірністю того, що зайняті всі n каналів (і = n):

(3.15)

Середня кількість зайнятих каналів або замовлень, що обслуговують­ся, дорівнює сумі добутків ймовірності станів на відповідну кількість зайнятих каналів:

(3.16)