Задача 9 «Определение эффективных решений»

Условие. Пусть имеются четыре допустимые решения, и групповое ЛПР состоит из двух членов с функциями предпочтения Ф₁ и Ф₂, соответственно. Оба ЛПР провели упорядочение решений следующим образом:

Ф₁ : ; (9.1)

Ф₂ : Y₄

В соответствии с этим упорядочением значения функций предпочтения, измененные в рангах, представлены в табл. 9.1

Таблица 9.1 - Предпочтения членов группы

Решения Предпочтения	Yl	Y2	Y 3	Y4
Ф1	3	1	2	4
Ф2	2	3,5	1	3,5

Требуется определить эффективные решения, используя принцип Парето.

Методические рекомендации по решению. Задача иллюстрирует, как из множества допустимых (приемлемых, удовлетворяющих ограничениям) решений методом логического анализа осуществляется отбор эффективных недоминирующих решений. Эффективные решения между собой несравнимы, так как нельзя сказать, какое из них предпочтительнее. Эффективные решения составляют «множество Парето», из которого уже иным способом выбирается оптимальное (единственное, наилучшее) с привлечением дополнительной информации (вероятности событий, значимости целей, веса членов группового ЛПР. Общая формула отбора: Y  Y_д  Y_э  Y*, где Y – множество альтернативных решений. Y_д – множество допустимых решений. Y_э – множество эффективных решений, Y* ­­- оптимальное решение.

Осуществляя выделенный этап отбора решений, будем сравнивать последовательно пары решений по предпочтительности. Решения Y₁ и Y₂, как это следует из таблицы ранжировок, между собой несравнимы, так как мнения группы по их приоритету разделились. В то же время оба члена группы считают, что решения Y₁ и Y₃ находятся в отношении , поэтому решение Y₁ не может быть эффективным, поскольку есть доминирующее лучшее решение Y₃. Следовательно, решение Y₁ исключается из дальнейшего рассмотрения. Оба члена группы считают, что , поэтому решение Y₄ также является неэффективным. Таким образом, из исходного множества четырех решений остались всего два решения Y₂ и Y₃, которые и будем считать эффективными, не отдавая предпочтения ни одному из членов группы.

Для наглядности процедуры определения эффективных решений представим все решения как точки на плоскости в системе координат Ф₁ и Ф₂. На рис. 9.1 по оси Ф₁ отложены предпочтения первого члена группы, а по оси Ф₂ – предпочтения второго члена группы. Измерения предпочтений проведены в порядковой шкале, в которой нет понятий масштаба и начала отсчета, поэтому точки на осях координат, характеризующие ранги, могут быть расположены неравномерно при соблюдении единственного условия . Эффективные решения Y₂ и Y₃ обведены на рисунке контуром.

Рисунок 9.1 – Графическая оценка предпочтений решений

Задача 10 «Оценка согласованности мнений экспертов»

Условие. Результаты ранжирования шести управленческих решений (объектов оценки) пятью экспертами представлены в табл. 10.1.

Таблица 10.1 - Результаты ранжирования m = 6 объектов d = 5 экспертами

(r_ij - ранг i-го объекта / решения, присвоенный j-м экспертом)

Эксперты Решение (объект)	Э1	Э2	Э3	Э4	Э5	Итого
Y1	1	2	1,5	1	2	7,5
	r11	r12	r13	r14	r15
Y2	2,5	2	1,5	2,5	1	9,5
	r21	r22	r23	r24	r25
Y3	2,5	2	3	2,5	3	13
	r31	r32	r33	r34	r35
Y4	4	5	4,5	4,5	4	22
	r41	r42	r43	r44	r45
Y5	5	4	4,5	4,5	5,5	23,5
	r51	r52	r53	r54	r55
Y6	6	6	6	6	5,5	29.5
	r61	r62	r63	r64	r65
Всего / среднее: 105 / 17,5

Требуется оценить согласованность мнений экспертов.

Методические рекомендации по решению. Согласованность оценок экспертов характеризуется двумя показателями: величиной коэффициента конкордации W и наблюдаемым распределением частот (расчетной вероятностью) f².

Дисперсный коэффициент конкордации W характеризует достоверность итоговой оценки (согласованность мнений экспертов и сходимость результатов); он рассчитывается по формуле:

, где (10.1)

S – сумма квадратов отклонений оценок от математического ожидания (среднего значения) суммарного ранга одного объекта:

; (10.2)

- математическое ожидание суммарного ранга одного объекта:

(10.3)

m - число объектов ранжирования (m = 6);

d - число экспертов (d = 5);

i - индекс объекта;

j - индекс эксперта;

r_i,j - ранг, присвоенный i-му объекту j-м экспертом (см. табл. 4.18);

T_j - показатель связанных рангов в ранжировке j-ro эксперта:

; (10.4)

k - номер группы связанных (равных) рангов;

H_j - число групп связанных рангов в ранжировке j-ro эксперта;

h_k - число равных рангов в k-й группе связанных рангов

Если в ранжировках совпадающих рангов нет, то все H_j = 0; h_k = 0 и, следовательно, T_j = 0; в этом случае формула 10.1 принимает вид:

.

Величина W = 1 характеризует полное совпадение мнений; W = 0 - свидетельствует, что все ранжировки разные.

Показатель наблюдаемого распределения частот f² применяется для статистической проверки гипотезы согласованности экспертов путем его сравнения с теоретическим (табличным) ², найденным для принятого уровня значимости. Сравнение на основе «-квадрат-критерия» (²-критерия) позволяет сделать вывод, что если f² < ², то гипотезу о согласии экспертов следует отвергнуть.

² - теоретическое распределение частот получают на основе таблиц в учебниках математической статистики в соответствии с принятым уровнем значимости (5%-й уровень значимости соответст­вует 95%-му уровню достоверности) и числом степеней свободы  = m - 1, определяемым исходя из числа ранжируемых объектов (наблюдений).

f² - наблюдаемое распределение частот рассчитывается по формуле:

. (10.5)

Проведем последовательный расчет значений

соответственно, по формулам 10.1-10.5 на основе заданных исходных данных:

= 17,5;

H₁ = 1; h₁ = 2; T₁ = 2³ – 2 = 6;

H₂ = 1; h₁ = 3;, T₂ = З³ – 3 = 24;

H₃ = 2; h₁ = 2; h₂ = 2; Т₃ = (2³ – 2) + (2³ – 2) = 12;

H₄ = 2; h₁ = 2; h₂ = 2; T₄ = (2³ – 2) + (2³ – 2) = 12;

H₅ = 1; h₁ = 2; T₅ = 2³ – 2 = 6;

= 0,874.

Для числа степеней свободы  = 6 – 1 = 5 и 5%-го уровня значимости ² = 11,07 - по таблице.

- по формуле 10.5.

Поскольку 21,8 > 11,07, то гипотеза о согласии экспертов по ранжировании принимается.