Задача 4 «Выбор решения по количественной шкале оценок прибыли и известной вероятности проявления ситуаций»

Условие. Имеются допустимые решения Y_i при четырех возможных ситуациях S_j. Известна вероятность проявления ситуаций - P_j.

Платежная матрица

Yi\Sj	S1	S2	S3	S4	i
Y1 Y2 Y3	f 11 f 21 f 31	f 12 f 22 f 32	f 13 f 23 f 33	f 14 f 24 f 34	1 2 3
Pj	Р1	Р2	Р3	Р4

Предпочтения решения для каждой ситуации, определенные индивидуальным ЛПР по количественной шкале в условных единицах, приведены в табл. 4.1

Таблица 4.1 - Платежная матрица с известной вероятностью событий

Yi\Sj	S1	S2	S3	S4	i
Y1 Y2 Y3	1 3 4	4 8 6	5 4 6	9 3 2	5,2 4,5 5,0
Pj	0,1	0,2	0,5	0,2	-

Требуется определить оптимальное по критерию среднего выигрыша (Байеса-Лапласа) решение Y*.

Методические рекомендации по решению. Поскольку коэффици­енты матрицы в данном случае отражают поступления на фирму, то пользуясь стандартной формулой для расчета коэффициентов важ­ности решения

(4.1)

определим коэффициенты _i:

₁ = 0,1 * 1 + 0,2 * 4 + 0,5 * 5 + 0,2 * 9 = 5,2;

₂ = 0,1 * 3 + 0,2 * 8 + 0,5 * 4 + 0,2 * 3 = 4,5;

₃ = 0,1 * 4 + 0.2 * 6 + 0,5 * 6 + 0,2 * 2 = 5,0

и занесем их в последнюю графу табл. 4.2.

По формуле 4.1 выберем оптимальное решение, которое соответствует максимальному значению коэффициента _i = 5,2, т.е. Y* = Y₁.

Примечание. Если бы элементы матрицы отражали затраты (о чем было бы указано в условии), то расчет коэффициентов остался тем же, а решение выбиралось бы исходя из минимума средних затрат.

Задача 5 «Выбор решения по качественной шкале оценок эффективности и известной вероятности проявления ситуаций»

Условие. Имеются три допустимые решения при трех возможных ситуа­циях. Известна вероятность проявления ситуаций.

Yi\Sj	S1	S2	S3	i
Y1 Y2 Y3	f11 f21 f31	f12 f22 f32	f13 f23 f33	1 2 3
Pj	Р1	Р2	Р3

Порядковые предпочтения для каждой ситуации, определенные индивидуальным ЛПР по качественной шкале, приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1 - Ранговые предпочтения решений для разных ситуаций и известной вероятности их возникновения

Yi\Sj	S1	S2	S3	i
Y1 Y2 Y3	1 2 3	2 1 3	1 3 2
Pj	0,5	0,3	0,2

Требуется определить оптимальное по критерию среднего выигрыша ре­шение Y*.

Методические рекомендации по решению. Используя формулу

1 при f_i,j  f_k,j

(5.1)

0 при f_i,j > f_k,j

по­строим три (по количеству ситуаций) квадратные матрицы парных сравнений размерностью, определяемой количеством альтернативных решений (m = 3).

Первая матрица для j = 1 строится следующим образом. Первый столбец строится для k = 1 путем последовательного сравнения элемента f_1,1 с элементами f_i,1 где i = . Если элемент сравнивается сам с собой (k = i), т.е. он не хуже себя, то проставляется единица; если он выше по рангу (меньше по величине), чем i-й элемент, то проставляется ноль; если он равен или ниже по рангу, то Х^j_i,k равен единице. Таким образом, X¹_1,1 = 1(1 = 1); X¹_2,1 = 0 (2 > 1); X¹_3,1 = 0 (3 > 1). Анало­гично оцениваются значения X¹_i,k для k = 2 и 3. Матрица приведена в табл. 5.2,а. Так же рассчитываем значения элементов X²_i,k и X³_i,k – см. табл 5.2,б и 5.2, в.

Таблица 5.2,а Таблица 5.2,б Таблица 5.2, в

Матрица ||X1i,k|| (j = 1)			Матрица ||X2i,k|| (j = 2)			Матрица ||X3i,k|| (j =3)
Yi \ Yk	Y1 Y2 Y3		Yi\Yk	Y1 Y2 Y3		Yi\Yk	Y1 Y2 Y3
Y1 Y2 Y3	1 1 1 0 1 1 0 0 1		Y1 Y2 Y3	1 0 1 1 1 1 0 0 1		Y1 Y2 Y3	1 1 0 1 0 1 0 1 1

Элементы итоговой матрицы ||Y_i,k|| рассчитываются в два этапа по следующим формулам.

1 при ;

= (5.2)

0 при ;

(5.3)

На первом этапе производится расчет суммы , а затем оценка элементов Y_i,k – см. табл. 5.3.

Таблица 5.3 - Последовательность расчета итоговой матрицы ||Y_i,k||

k	i	(j = 1) (j = 2) (j = 3) ()	Сравнение	Yi,k
1	1 2 3	0,5  1 + 0,3  1 + 0,2  1 = 1 0,5  0 + 0,3  1 + 0,2  0 = 0,3 0,5  0 + 0,3  0 + 0,2  0 = 0	1 > 0,5 0,3 < 0,5 0 < 0,5	1 0 0
2	1 2 3	0,5  1 + 0,3  0 + 0,2  1 = 0,7 0,5  1 + 0,3  1 + 0,2  1 = 1 0,5  0 + 0,3  0 + 0,2  1 = 0,2	0,7 > 0,5 1 > 0,5 0,2 < 0,5	1 1 0
3	1 2 3	0,5  1 + 0,3  1 + 0,2  1 = 1 0,5  1 + 0,3  1 + 0,2  0 = 0,8	1 > 0,5 0,8 > 0,5 1 > 0,5	1 1 1

Итоговая матрица ||Y_i,k|| приведена в табл. 5.4.

Расчет коэффициентов _i производится по формуле 5.3 (см. две последние графы в табл. 5.4 и итоговую строку).

Таблица 5.4 - Итоговая матрица ||Y_i,k||

Yi\Yk	Y1 Y2 Y3		i
Y1 Y2 Y3	1 1 1 0 1 1 0 0 1	3 2 1	0,5 0,333 0,167
Итого :		6	-

Наибольшее значение ₁ = 0,5 соответст­вует 1-му варианту решения, поэтому согласно формуле 4.1 Y* = Y₁.