Глава VII.

ВВЕДЕНИЕ В АРИФМЕТИКУ.

Что такое арифметика?

Сегодня употреблять слово "арифметика" в применении к начальному математическому образованию как-то не модно. На учебниках первого или второго класса пишется важное слово "математика" а про старое, доброе слово "арифметика" стараются не вспоминать, считая его сегодня чуть ли не неприличным. При этом мало кто из педагогов, работающих как в начальном, так и в среднем звене, сумеет внятно ответить на вопрос, чем же провинилось слово "арифметика". Тем более, что ПО СУТИ в сегодняшнего преподавании начальной математики мало что изменилось по сравнению с тем, как обстояли дела лет тридцать назад, когда слово "арифметика" еще не считалось зазорным.

Вообще за тем своеобразным табу, которое наложено в сознании современного учителя на слово "арифметика", скрывается известное недоразумение.

Исходно девальвация слова "арифметика" в применении к начальному школьному образованию была связана с попытками изменить цели начального математического обучения.

Дело в том, что на протяжении веков смысл начального математического образования достаточно четко сводился к формированию у учащихся прочных счетных навыков. И в этом смысле употребление слова "арифметика" было абсолютно уместным, учитывая, что именно арифметикой исторически называлась (в античности и в средние века) наука о взаимоотношении чисел, а само слово "арифметика" происходит от греческого "арифмос", "число".

Впрочем, и сегодня любому образованному математику (или просто образованному человеку) хорошо известно, что арифметика - это всего-навсего раздел математики, который "изучает простейшие свойства чисел, в первую очередь натуральных (целых положительных) и дробных, и действия над ними". Другое дело, что самостоятельное развитие арифметики как науки закончилось в Новое время, когда произошло формирование совершенно новых математических дисциплин - алгебры и теории чисел.

Появление слова "математика" на обложках школьных учебников для начальной школы было, по идее, связано с попытками обогатить содержание начального математического обучения элементами геометрии и алгебры - элементами дисциплин, которые заведомо выходят за границы собственно арифметического пространства.

Но можно ли, однако, всерьез утверждать, что использование буквенного обозначения "X" в банальных арифметических ситуациях или введение информации о том, что называется в геометрии отрезком, углом или геометрической фигурой, на самом деле можно рассматривать как введение "алгебраического и геометрического материала"? Ведь геометрия как самостоятельная дисциплина начинается вовсе не с информации о том, чем отличается треугольник от квадрата, а с проблемы геометрического доказательства, а алгебра - с проблемы алгебраического преобразования.

И то и другое предполагает высокий уровень сформированности абстрактного мышления, и потому реальная алгебра и реальная геометрия по-прежнему появляются только в седьмом классе, а ни в каком не в первом. И учебники математики для начальной школы как были, так и остаются по своей сути АРИФМЕТИЧЕСКИМИ учебниками. Но почему-то стыдливо скрывающими эту свою арифметическую суть.

Итак, следует честно признать, что математическое образование в начальной школе как являлось, так и является арифметическим.

Другое дело, что глубоко порочна интерпретация арифметики как простой совокупности счетных навыков - интерпретация, на которой строилось преподавание арифметики в новоевропейской школе на протяжении столетий.

Новая арифметика.

История арифметики - и, в частности, история возникновения и развития арифметики в Древней Греции - свидетельствует о том, что эта дисциплина - в отличие от геометрии - всегда рассматривалась как менее практичная и более философичная дисциплина.

Более того, многими философами, начиная с Пифагора, арифметика рассматривалась как… тождественная философии.

Впрочем, что касается дальнейшего развития арифметики как науки о межчисловых взаимодействиях, то оно тоже шло рука об руку с философией, что и привело в конце концов к выделению из арифметики алгебры и теории чисел в Новое время.

Собственно пропедевтическя задача построения начального математического образования и должна решаться, на наш взгляд, в этом историческом контексте.

Мы должны помнить, что возникновение алгебры и теории чисел явилось результатом развития определенной философии арифметики, а вовсе не результатом улучшения счетных навыков. И если мы хотим решить задачу создания стройной и преемственной школьной математики, если мы хотим, чтобы начальная школьная математика являлась действительной подготовкой и введением в мир алгебраических построений, мы должны подойти к этому вопросу предельно исторично. И не мифические “элементы алгебры” или “элементы геометрии” вводить в программы начального математического образования (что на деле является профанацией алгебраического содержания), а предложить детям арифметику, но совершенно особого рода: арифметику, настраивающую детский ум на философские размышления.

Другими словами, мы должны дать детям арифметику более близкую по своему духу той, из которой исторически только и смогли возникнуть алгебра и теория чисел.

Понятно, что школьная арифметика Нового времени (от которой мы ведем отсчет всех современных математических учебников) менее всего была ориентирована на проблемы философии числа. Ее задача была совсем в другом - дать ученикам совокупность бытовых счетных навыков.

Однако если мы всерьез размышляем о проблеме введения детей в мир математики (а не мир счетных навыков) и о проблеме преемственности между арифметикой и алгеброй, мы должны решительно отказаться от традиции ориентированных на бытовой навык счета арифметических учебников. Мы должны попытаться создать новую арифметику, более адекватную тем ее историческим формам, из которых происходило рождение математики Нового времени. Иначе говоря, это должна быть арифметика как философия.

Но естественно, что эта новая - пронизанная философией - арифметика должна быть интересной и увлекательной для семилеток, и ни в коем случае не быть скучной философской тягомотиной, состоящей из умных и малопонятных рассуждений.

Речь идет об арифметике, философское содержание которой высвечивалось бы самой структурой решаемых задач.

Речь идет о задачах, которые постоянно выводили бы сознание семилетнего ребенка на точки философского удивления.

И как раз клеточное моделирование, похоже, помогает эффективно решить задачу построения арифметики такого рода.

Интуиция числа.

Вернемся к группе задач предыдущей главы.

Уже в результате описанной выше работы на идентификацию, обсчет, переформатирование и символическое описание фигурок различной конфигурации у детей формируются начальные представления о количественном соотношении различных чисел. Модельная графика, в основу которой положена тетрадная клеточка, позволяет, если можно так выразиться, "ощупать взглядом" соотношение различных величин. У ребенка формируется модельное представление о самых различных числах натурального ряда и физически рельефный образ того, как велико, допустим, число пятьдесят по сравнению с числом четыре.

Тем самым числительные имена, которые до сих пор носили для ребенка весьма абстрактный характер, обретают модельную плоть, и это позволяет ребенку в самом первом приближении почувствовать идею соотношения величин. Тем более это позволяет сделать работа с элементарными числовыми последовательностями. Ребенок еще не владеет элементарными арифметическими операциями, но у него появляется "вкус числа" и способность видеть элементарные числовые соотношения.

Причем, что важно, это, если можно так выразиться, ЛИЧНЫЙ, глубоко индивидуальный вкус числа. Ребенок вырабатывает как бы индивидуальный опыт переживания числа, снова и снова "навскидку" пытаясь определить, из скольких клеточек состоит очередная фигурка. И в нем вырабатывается интуитивный, доарифметический (!) опыт сравнения величин - еще до знакомства с арифметическими операциями, позволяющими осуществлять точное сравнение.

В результате на каждое число ребенок как бы ставит предварительную (тайную) метку своего личного опыта. И потому, когда наступает время собственно арифметики, и ребенок начинает понемногу осваивать арифметический инструментарий, позволяющий устанавливать точные взаимоотношения между числами и исследовать мир числовой гармонии с высокой степенью надежности, он имеет дело уже с миром необезличенных чисел. Каждое число (во всяком случае, в пределах первой сотни) обладает для него "лица необщим выраженьем", тянет за собой шлейф личных ассоциаций.

И самое главное - у ребенка уже сформировано ощущение сравнимости чисел. Оно еще ни в коем случае не обладает арифметической точностью, но самое главное заключается в том, что оно есть.

Ребенок, накопивший обширный опыт угадывания и воспроизведения различных модельных чисел, - это ребенок, для которого сравнение величин не является пустым звуком. Не обладая еще арифметическим инструментарием сравнения, он безусловно обладает развитой интуицией сравнения.

Так, строя числовую последовательность 1, 3, 5, 7... (естественно, числовую последовательность из фигурок), ребенок фактически осуществляет прибавление двух клеточек на каждом новом шаге, хотя и не использует при этом термин "сложение" и не пользуется пока соответствующими математическими символами. А угадывая количество клеточек в какой-то новой фигурке, ребенок фактически осуществляет операцию количественного сравнения этой фигурки с теми, которые были им обсчитаны раньше.

Арифметика до арифметики.

Дело ведь не в том, чтобы научиться пользоваться какими-то значками - как раз пользоваться значками проще всего! - а в том, чтобы уловить математическую суть тех или иных операций. И как раз этого позволяет в максимальной мере добиться описанная выше работа с фигурками из клеточек.

Это работа, которая, если угодно, закладывает фундамент первичной математической интуиции. Мир чисел предстает ребенку как мир зримых количественных соотношений; но при том никто не учит ребенка соотносить числа. Просто-напросто модели чисел, явленные детскому взгляду, несут в своем основании некую универсальную мерку - тетрадную клеточку, и в результате, идентифицируя различные фигурки, взгляд ребенка привыкает видеть числа в их взаимном соотношении.

Таким образом, число является ребенку не как понятийная, а как эмпирически богатая реальность. Ребенок не рассуждает о числе, но у него появляется первичное (неотрефлексированное пока) ощущение числа, ощущение числа как некоей загадки, как некоей тайны. И в сущности своей это глубоко античное отношение к числу.

Но одновременно в ребенке закладывается и эмпирический фундамент вычислительной деятельности. Ребенок еще не имеет навыка арифметических вычислений, но в нем формируются соотносительные образы чисел, и потому, когда учитель начинает заниматься с детьми формированием собственно вычислительного навыка, этот навык ложится на богатую образную подкладку.

Обычный школьник, складывая или вычитая два каких-то более или менее больших числа не имеет в своем сознании модельного образа этих чисел и потому плохо представляет себе (или не представляет вовсе) их соотношение друг с другом. Ребенок, прошедший школу "клеточного моделирования", имеет достаточно отчетливый образ того, сколь соотносительно велики эти числа. И это приводит к тому, что арифметическая работа оказывается для этого ребенка с самого начала небессмысленной.

Арифметика как философия.

Пока дети просто обсчитывают те или иные предъявляемые им фигурки пошаговым образом и записывают результаты своего обсчета с помощью цифровой символики, это не является пока еще собственно математическим (арифметическим) пространством, но, в лучшем случае, является преддверием арифметики. Смысл этой работы - в формировании у детей первоначальной интуиции числа, интуиции количественных соотношений, но не сознательно построенная работа на поиск количественных соотношений между различными числами. И даже строя элементарные числовые последовательности, дети вначале опираются, скорее, на интуицию, нежели на рациональный анализ.

Однако чем дальше, тем больше интуиция дополняется рациональным анализом, и задача учителя - вовремя дать инструменты такого рода рационального анализа феномена количественных соотношений.

А важнейшим инструментом, с помощью которого можно анализировать различные количественные соотношения, являются так называемые "арифметические действия" - сложение, вычитание, умножение и деление.

Во всяком случае, это те базовые действия, с помощью которых определяются все основные законы взаимоотношений между числами. В этом и состоит их глубинный математический смысл: это те операции, те средства, с помощью которых становятся прозрачны соотношения чисел и устанавливаются базовые закономерности этих соотношений.

Увы, следует признать, что глубинный смысл арифметических операций обычно остается за бортом начального школьного образования (а, значит, и школьного образования как такового). Арифметика преподается детям как чистая технология, как навык быстрых и точных вычислений; при этом элиминируется самое интересное, что есть в математике (и что могло бы быть безумно интересно детям) - это философия арифметики, философия числа, т.е. те глубинные смыслы, которые открываются в межчисловых взаимодействиях.

А ведь даже элементарные межчисловые взаимодействия пронизаны парадоксами, вглядываясь в которые поневоле становишься философом. И потому освоение принципов арифметического взаимодействия как чисто технологических навыков быстрого счета является по своей сути абсурдным. При этом теряется, может быть, самое главное, что есть в арифметике - ее философский смысл.

Но самое поразительное заключается в том, что взгляд семилетнего ребенка удивительно открыт арифметическим парадоксам. Семилетний ребенок готов и жаждет быть философом числа, он готов удивляться неожиданностям межчисловых взаимодействий; однако существующая традиция преподавания математики в начальной школе начисто исключает такую возможность.

Те арифметические задачи и упражнения, которые предлагаются учащимся первых, вторых или третьих классов, совершенно не пытаются выводить сознание ребенка на удивительные парадоксы числа, и совершенно не предназначены к тому, чтобы провоцировать в ребенке позицию удивления.

Если мы хотим, чтобы математика (в ее арифметической ипостаси) была невероятно интересна для наших первоклассников, мы должны отказаться от бытовой, прагматической ее интерпретации как системы счетных навыков.

Мы обязаны научиться преподавать всю начальную математику как философию арифметики, как философию числовых парадоксов и закономерностей. А это требует кардинального пересмотра всего нынешнего содержания математического преподавания, пересмотра самих принципов подачи математического материала, наконец, радикального пересмотра всего корпуса практикуемых в начальной школе математических задач и упражнений.

Разумеется, когда я говорю о "философии арифметики", я менее всего призываю к каким-то "философским беседам", встроенным в традиционное математическое преподавание или красиво дополняющим это преподавание. Увы, всякого рода философские беседы и рассуждения относительно сущности числа мало что дадут сами по себе.

Вопрос заключается в другом, в том, чтобы так давать собственно математическое содержание, чтобы у ребенка постоянно возникало ощущение парадокса, ощущение удивления перед миром чисел. Сами задачи, сами вычислительные упражнения должны быть построены таким образом, чтобы провоцировать в маленьком ребенке желание удивляться, желание задавать вопросы и желание думать.

Настоящая книга - это и есть описание того, как возможна альтернативная математика для начальной школы: математика, построенная как комплекс задач, вводящих маленького ребенка в мир арифметической философии,.

Сложение - это сложно.

Начнем с простейшей (как это принято считать) арифметической процедуры - процедуры сложения.

На первый взгляд, эта процедура настолько проста, что просто невозможно говорить о какой бы то ни было "философии сложения". И учебники по математике для начальной школы всецело разделяют эту позицию.

Сколько будет два плюс три? Пять. Сколько будет три плюс шесть? Девять. А если и есть сложности, то сложности чисто технические, а не философские - скажем, связанные с техникой вычислений при переходе через десяток и т.п. Какая уж тут философия!

Но так ли все просто?

Конечно, если все сводить к проблеме бытового навыка счета, сложностей на самом деле нет никаких. Но стоит чуть-чуть приглядеться, и станет ясно, что сложение - это весьма таинственная процедура, особым образом организующая взаимоотношения в мире чисел.

Так, одна из глубочайших математических тайн заключается в том, что любое число (как бы ни было оно мало) может быть представлено как бесконечное число вариантов сложения других чисел. Любое число может быть представлено как сумма других чисел - положительных и отрицательных, целых и дробных и т.п. Причем количество слагаемых у любого числа может быть практически бесконечным. А это значит, что любое число - даже если это элементарное число из натурального ряда - являясь, с одной стороны, самим собой, вместе с тем оказывается бесконечно неисчерпаемым. И сложение есть первый ключ к феномену неисчерпаемости числа.

Однако то представление о сложении, которое предлагает первоклассникам их учебник, имеет весьма незначительное отношение к этому фундаментальному математическому парадоксу. Не удивительно, что сложение в представлении детей, которые учатся по стандартным учебникам - это достаточно простая операция, лишенная каких бы то ни было парадоксов. А если и есть проблемы, связанные со сложением - так это проблемы чисто вычислительного характера.

Практика "прибавления".

Принятая в массовой школе трактовка сложения ориентирована на практику счета в обыденной жизни: мол, сложение - это операция, с помощью которой можно что-то сложить с чем-то. И не удивительно, что в начальной школе дети активно пользуются словом "прибавить".

Есть какое-то количество чего-то, к этому добавляется еще какое-то количество того же самого, и тогда можно установить, какое количество этого "чего-то" образовалось в результате.

Не случайно, что все учебники пользуются в трактовке феномена сложения термином "слагаемое": слагаемые - это те числа, которые складываются друг с другом, образуя сумму.

Конечно, в такой трактовке феномена сложения есть своя ценность. Однако вот беда: громадное количество детей в начальной школе усваивают, что сложение - это процесс, в результате которого происходит.... увеличение количества; а процесс вычитания, который им предлагают как "обратный сложению", ассоциируется для них с процессом уменьшения количества.

И это настолько прочная ассоциация, что от нее никак не могут избавиться даже дети, уже формально изучившие феномен действительного числа, т.е. познакомившиеся с областью отрицательных чисел.

С первого дня пребывания в школе дети учатся тому, что складывать - значит "прибавлять", а прибавлять - значит увеличивать, и это закрепляется настолько прочно, что появление в пятом классе феномена отрицательных чисел воспринимается многими детьми как откровенный бред; для многих детей именно в этой точке начинается полный и окончательный разлад с математикой.

Заложники вектора.

Другой бедой принятой в начальной школе трактовки сложения является ее, так сказать, векторный характер.

Миллионы детей, осваивающие операцию сложения в начальной школе, интерпретируют ее как операцию, у которой... будто бы есть "направление". Мол, сложение - это операция, в результате которой различные числа (так называемые "слагаемые") "складываются" вместе и образуют так называемую "сумму". И, таким образом, дети усваивают сложение как принципиально векторную процедуру, в которой осуществляется строго направленное движение ОТ первоначально разрозненных чисел К их сумме.

Эту подчеркнутую векторность сложения взгляд ребенка видит и в символической записи. Если, к примеру, попросить любого ученика начальной школы ответить на вопрос: ЧТО он видит в записи 2 + 3 = 5, можно почти со стопроцентной уверенностью прогнозировать его ответ: он видит то, что сложили два и три, а в результате получилось пять.

Иначе говоря, ребенок не видит эту запись как утверждение равенства двух сторон, а видит процесс превращения того, что находится слева, в то, что находится справа. А это и значит, что он воспринимает эту запись как векторную, направленную строго слева направо.

Мол, из сложения того, что находится слева (двух и трех) получается то, что находится справа (пять).

Нельзя не заметить, кстати, что сами учебники математики для начальной школы настойчиво вводят операцию сложения именно как векторную операцию, подкрепляя это соответствующими рисунками, особенно на начальных своих страницах. Суть этих рисунков всегда одна: к группе из нескольких предметов добавляется еще несколько аналогичных предметов, и это записывается как операция сложения.

И дети добросовестно комментируют эти картинки: "Лежало три тетради. К ним добавилось еще две тетради. Всего стало пять тетрадей."

Стоит ли удивляться, что, когда на страницах того же учебника ребенок сталкивается с записью типа 5=2+3, это вызывает у него вначале чувство некоторого недоумения. Ребенок не может понять, как ему интерпретировать эту запись на языке уже сложившегося у него векторного понимания сложения.

Правда, он в конце концов он выходит из затруднительного положения весьма примечательным образом. Он ни в коем случае не отказывается от "векторного" языка, но просто меняет направление вектора справа налево, и читает эту запись как... тождественную предыдущей.

Иначе говоря, направленность действия в записи 5=2+3 для него по-прежнему идет от слагаемых к сумме, а не наоборот.

И если спросить первоклассника, как он понимает запись 5=2+3, то он в громадном большинстве случаев ответит примерно так: "Ну как же! Ведь если мы к двум прибавим три, получится семь!"

А это значит, что он по-прежнему видит ВЕКТОРНУЮ формулу 2+3=5, в которой просто-напросто стороны равенства поменялись местами. И если попросить этого ребенка составить под запись 5=2+3 задачу, он наверняка сочинит задачу с подчеркнуто векторным содержанием: мол, лежало на столе два карандаша, к ним добавилось три - сколько теперь на столе лежит карандашей?

Иначе говоря, такой ребенок не усматривает математической и логической разницы между записями 2+3=5 и 5=2+3. Но не в том смысле, что там и там – равенства, а в том, что и там, и там – из двух слагаемых получается сумма.

Но в том-то все и дело, что это не совсем тождественные в логическом и математическом отношении формулы. Если первая формула сообщает о том, что сумма каких-то частей образует некую целостность, то вторая сообщает о том, что некая целостность может быть представлена как сумма соответствующих частей.

Соответственно первая формула - это действительно формула, описывающая ситуацию типа той, когда к двум карандашам добавляется три, и в результате получается пять. Однако вторая формула описывает совсем иную ситуацию, а именно: на столе лежит пять карандашей, из них два заточенных, а три не заточенных…

Иначе говоря, целостность числа "пять" в записи 5=2+3 задана вовсе не как результат, к которому требуется прийти, осуществив сложение так называемых "слагаемых", а как исходная данность, которая может быть представлена или проинтерпретирована как сумма частей.

Новый инструментарий.

Итак, трактовка сложения, принятая в современной начальной школе, носит весьма поверхностный характер, не улавливая глубинного смысла этой процедуры.

Но может быть иначе и нельзя? Может быть сознание семилетнего ребенка не способно к восприятию более глубокого смысла сложения (и, соответственно, более глубокого смысла числа как такового)? Может быть нет ничего страшного в том, что ребенок на первых порах осваивает сложение как векторную процедуру "прибавления" или увеличения, а уже в среднем школьном звене выходит на его более сложную трактовку?

К сожалению, факт заключается в том, что начальная школа настолько жестко вбивает в ребенка свой стереотип восприятия сложения как векторного "прибавления", что для многих детей этот стереотип становится непреодолимым барьером при переходе в среднее звено.

Но самое любопытное - это то, что как раз сознание семилетнего ребенка открыто арифметическим парадоксам, и семилетний ребенок готов с большим удовольствием рассуждать о парадоксах и тайнах числа (и, в частности, о парадоксах и тайнах сложения) - но, разумеется, если у учителя есть средства введения сознания ребенка в этот мир арифметических тайн.

Понятно, что у обыкновенного учителя таких средств нет: комплекс школьных математических задач совершенно не ориентирован на решение задач столь глобального, философского масштаба. Зато "клеточная математика" как раз дает в руки учителя тот необходимый инструментарий, который выводит ребенка не просто на технику вычислений, но на глубинные размышления о числе и его сущности.

И, в частности, эта клеточная математика позволяет совершенно по-новому ввести саму идею сложения - так, что уже у учащихся первого класса происходит выход на глубинные математические парадоксы.

ШАГ 1. Что значит складывать?

"Дети! Кто из вас умет складывать?" - задает учитель явно провокационный вопрос.

Провокационный, потому что наверняка дети откликнутся на него дружным "Я! Я! Я!", и тут же начнут приводить примеры того, как они умеют складывать. Ведь их учили элементарному сложению и в садике, и дома (готовя к школе). И они уже готовы приводить примеры того, что они знают относительно сложения. Что два сложенное с тремя будет равняться пяти. Что четыре сложенное с пятью даст в сумме девять и т.д. И кто-то уже начинает выпаливать свои "знания"...

Но учитель тормозит бурную детскую активность: "Стоп, стоп, стоп! Я ведь не сказал пока, ЧТО складывать. А я, между прочим, хотел вас спросить: кто из вас умеет складывать... книжки и тетради в свой портфель? Или головоломку "Паззл"? Или тетрадки в стопку?"

Первая дразнилка для детского сознания. Оказывается, мы очень часто в своей жизни что-то складываем, даже не вспоминая при этом ни про какую математику. И все дети прекрасно представляют себе смысл слова "складывать".

"Так кто же попытается мне ответить на вопрос: а что вообще означает слово "складывать"?

Конечно, слово "складывать" многозначно. И, вместе с тем, у этого слова есть некоторое целостное семантическое поле, которое позволяет его употреблять и в различных жизненных ситуациях, и, вместе с тем, для описания феномена математического сложения.

И важно, чтобы дети уловили эту семантическую целостность. И прежде чем начать бездумно и автоматически пользоваться словом "сложение" в арифметическом смысле, они должны вчувствоваться в смсловой контекст этого слова.

Что значит складывать? Конечно же, складывать - это значит соединять друг с другом. Соединять вместе. Присоединять друг к другу.

И одновременно - приводить в порядок, упорядочивать, чтобы было складно и ладно (это когда мы, к примеру, складываем разбросанные игрушки или вещи).

А еще складывать - это создавать какую-то целостность (складывать слово из слогов, складывать башню из кубиков, складывать рисунок из мозаики или картинку "Паззл" и т.д.).

Вызывая детей на диалог по поводу слова "складывать", учитель активизирует их семантическое воображение и заставляет рассмотреть хорошо знакомое слово с разных сторон, увидеть его, если угодно, вглубь.

ШАГ 2. А складывать числа?

И лишь после того, как это сделано, совершается следующий шаг: учитель спрашивает детей о том, а что же мы все-таки складываем, когда складываем числа, и что у нас получается в результате этого сложения.

"Вот вы говорите, что если к трем прибавить пять, то получится восемь. А позвольте спросить: к трем - чего? Пять - чего? И восемь - чего?"

Вначале дети, естественно, начнут приводить всякие примеры. "Ну как, вот если я к трем карандашам прибавлю пять, у меня получится восемь карандашей!"

А учитель снова хитрит: "Так значит, когда ты говоришь, что если к трем прибавить пять, то получится восемь, - ты имеешь в виду карандаши? А если это будут конфеты - то что, уже так не получится?"

"Конечно получится! И с конфетами получится, и тетрадками!"

"А есть что-нибудь такое, с чем не получится? Кто-нибудь сможет придумать то, с чем не получится такое сложение - чтобы к трем прибавить пять, и чтобы не получилось восемь?"

О, с каким энтузиазмом начинают дети обсуждать этот вопрос! И при том выдвигают весьма хитрые идеи. Например: "Вот, если я к трем карандашам прибавлю пять тетрадей, то у меня не получится восемь карандашаей!"

"Да, но в таком случае восемь ЧЕГО у тебя окажется в результате?" "Наверное, восемь предметов..." "Но значит, правило сохранилось, просто пришлось изменить имя? Мы нашли общее имя для тетрадей и карандашей, и снова сложение у нас получилось..."

И снова учитель возвращается к исходному вопросу: "Ну, так все же, когда мы говорим, что прибавляя к трем пять, мы получаем в итоге восемь, что мы имеем в виду? Тетради? Карандаши?"

"Любые предметы!" - закричит кто-нибудь из детей.

"А что, к людям это уже не относится? - продолжает плести свою коварную сеть учитель. - Если мы к трем мальчикам прибавим еще пятерых, у нас что, получится десять мальчиков? А если мы к трем умным мыслям прибавим пять умных мыслей, у нас что - не получится восемь умных мыслей?.."

И учитель продолжает свое настойчивое вопрошание до тех пор, пока кого-то из детей не озарит великое открытие: оказывается, когда мы складываем три и пять и получаем в результате восемь, мы имеем в виду ВСЕ, ЧТО УГОДНО! Оказывается ВСЕ, ЧТО УГОДНО числом три можно сложить с тем же самым, но числом пять, и мы в результате получим это нечто, но уже числом восемь.

И в этом, оказывается, заключается глубинная суть математики: она работает с ЧИСЛАМИ ВООБЩЕ. И, в частности, числа, которые мы складываем на уроках математики - ЭТО ЧИСЛА ЧЕГО УГОДНО. И когда мы говорим, что три плюс восемь равняется восьми, мы тем самым произносим волшебную формулу, под которую подпадает все, что есть, и даже (вот чудо-то!) все, чего нет в мире. Это относится и к динозаврам, которые вымерли многие миллионы лет назад, это относится и к любой нашей фантазии, это относится КО ВСЕМУ. И это самое настоящее, потрясающее воображение чудо.

И если учителю удалось заставить детей удивиться этому чуду - он тем самым вместе с детьми сделал очень важный шаг в глубины математики.

ШАГ 3. Моделируем сложение.

Итак, математическое сложение - это сложение чисел вообще. Это сложение числовых абстракций. Это сложение количеств как таковых - количеств, оторванных от своих предметных носителей.

Однако это вовсе не значит, что математическое сложение нельзя промоделировать. Более того, мы просто обязаны его промоделировать, потому что только в этом случае закономерности сложения смогут предстать перед глазами ребенка как ЗРИМЫЕ закономерности.

Как промоделировать операцию сложения с помощью тетрадных клеточек?

Снова вернемся к тому, чем является сложение в бытовом смысле этого слова.

Если попросить ребенка сложить вместе ручки, книги или тетради, он без труда это сделает, причем сумеет сам предложить много вариантов сложения.

И арифметическое сложение точно также может быть представлено как соединение вместе каких-то количеств чего-то (количеств, имеющих общий смысловой знаменатель!) и превращение этих количеств в некую целостность.

Понятно, что смоделироать эту процедуру графическим образом на тетрадном листе достаточно просто.

Если фигурка из клеточек - это модель числа, то любые состыкованные вплотную друг с другом фигурки можно интерпретировать как фигурки сложенные, т.е. образующие некую совокупную сложность, совокупную целостность.

И наоборот: изъятие некоего фрагмента целостной фигурки (осуществляемое либо с помощью штриховки особого цвета, либо с помощью обыкновенного ластика) естественно интерпретировать как операцию вычитания (либо, точнее, как операцию сложения с отрицательными числами).

Впрочем, задача педагога заключается вовсе не в том, чтобы втолковать все это ребенку, а в том, чтобы квалифицированно развернуть серию задач, в рамках которых у ребенка было бы достаточно возможностей позаниматься графическим моделированием процедуры сложения и одновременно - символической интерпретацией той или иной графики.

И вот учитель просит детей нарисовать у себя в тетрадях фигурку, которая моделирует, например, число три и фигурку, которая моделирует число пять. Разумеется, фигурки должны быть, как обычно, подписаны.

А затем просит сложить эти фигурки и сделать соответствующую подпись. При этом учитель не пытается объяснить, как это можно сделать - сложить клеточные фигурки. Он предлагает детям самим догадаться и предложить свои варианты графического сложения, отталкиваясь от здравого смысла.

Поскольку вопрос о том, что такое сложение, достаточно разнообразно обсужден, у детей, скорее всего, не возникнет проблем с пониманием данного задания. Ведь в сущности говоря все, что требуется, это состыковать две исходные фигурки в некую новую целостность, и подписать новую фигурку стандартной математической фразой: 3+5=8. При этом важно, чтобы в новой фигурке были отчетливо видны составляющие ее части: фигурки из трех и пяти клеточек соединяются вместе, но при этом сохраняют свое своеобразие, и в результате получается, что новообразованная фигурка отчетливо несет в себе обе исходные фигурки.

Рисунок 1

На рисунке изображены вначале две фигурки из трех и пяти клеточек, которые требуется сложить, а затем фигурка из восьми клеточек, которая одновременно является суммой исходных фигурок. Под этой заключительной фигуркой можно написать: 3+5=8.

И вот здесь есть очень важный момент. Дети должны отчетливо увидеть, что запись 3+5 - с одной стороны, и запись 8 - с другой в равной степени являются описаниями новообразованной фигурки. И запись 3+5=8 должна поэтому целиком находиться под новообразованной фигуркой. Именно эта новообразованная фигурка удерживает и модельно демонстрирует тождественность левой и правой части этого равенства.

А что касается первоначально нарисованных фигурок из трех и пяти клеточек, то как раз их подписывать выражением 3+5 некорректно, потому что они нарисованы по отдельности, а, следовательно, покуда они не вошли в состав новообразованной фигурки (в качестве ее составляющих частей), их нельзя считать сложенными.

Сложение по-алгебраически.

Между прочим, это один из характернейших "подводных камешков" математики, о которые спотыкается сознание младшеклассников, находящееся под чутким контролем современной математической дидактики.

Дети, уже прошедшие некоторый курс обучения в первом и втором классах, никак не могут взять в толк, почему запись 3+5 описывает вовсе не разрозненные фигурки из трех и пяти клеточек (которые пока еще только требуется сложить), а исключительно ту фигурку, в которой акт сложения уже состоялся.

Привыкшие к "теории слагаемых" (теории, которой их настойчиво потчевали начиная с первого дня пребывания в школе), согласно которой вначале есть слагаемые, и только потом (в результате магического слова "получится") есть их сумма, они никак не желают понять, что запись 3+5 является описанием уже сложенной фигурки из восьми клеточек, т.е. уже свершившимся актом сложения, а вовсе не его предположением.

А это значит, что они совершенно не понимают сути сложения и сути того символического значка "+", который используется в математике для обозначения этой ключевой арифметической операции.

Снова и снова приходится сталкиваться со следующей ситуацией, которую дети “тащат” из традиционной школы.

Вот дети смоделировали число три с помощью фигурки из трех клеточек (и подписали эту фигурку цифрой три). А рядом, отступив несколько клеточек, нарисовали пятиклеточную фигурку - модель числа пять (и снова подписали эту фигурку - цифрой пять). А потом, чуть дальше - нарисовали графическую сумму этих фигурок.

А дальше они просто расставляют между нарисованными ими фигурками и цифрами известные им знаки сложения и равенства. (См.: Рис. 2)

Рисунок 2.

Типичный пример того, как видит сложение учащийся традиционной школы.

Спрашиваешь автора такого чертежа: "Скажи, почему ты поставил между вот этими двумя разрозненными фигурками знак сложения? РАЗВЕ ОНИ УЖЕ СЛОЖЕНЫ? Зачем ты обманываешь себя и меня: ведь они пока у тебя по-прежнему находятся по отдельности друг от друга, а ты почему-то ставишь между ними знак сложенности?! Ведь ты сам только что говорил, что сложить - значит соединить вместе...”

А ребенок смотрит абсолютно непонимающе. Ведь его именно так научили. Научили тому, что слагаемые существуют… ДО суммы, а вовсе не внутри суммы. Научили тому, что вначале есть слагаемые, и лишь потом есть сумма.

И потому в его представлении запись 3+5 вовсе не означает, что фигурки уже сложены, а означает, что они только еще должны быть сложены.

Другими словами, ребенок принципиально не воспринимает запись 3+5 как запись суммы. Для него записью суммы является только то, что находится по ту сторону равенства!

Но ведь это полнейший абсурд! Потому что слагаемые существуют только внутри суммы, а до и вне суммы никаких слагаемых нет. А числа, которые не являются частями суммы, нельзя называть слагаемыми!

В том-то и заключается суть записи 3+5=8, что в ней утверждается принципиальное тождество объекта, скрывающегося за противоположными сторонами равенства. В ней утверждается, что по разные стороны равенства находятся два способа описания одного и того же объекта. И слева, и справа находится одно и то же число - число восемь, но в одном случае это число представлено как целостное число, а в другом - как сумма двух частей.

Но это уже, если угодно, алгебраическая арифметика.

И именно это, алгебраическое понимание арифметики позволяет отчетливо увидеть и сформировать у младшеклассников наша работа с клеточными фигурками.

ШАГ 4. Сложность целого.

Вообще говоря, существуют два принципиальных способа предъявления детям операции сложения с помощью клеточных фигурок.

Первый - это уже описанный способ, когда требуется сложить две разрозненные фигурки, и когда к одной из них (допустим, состоящей из трех клеточек) пририсовывается другая (допустим, состоящая из пяти клеточек) - так, что эти две фигурки образуют в результате некоторую целостность.

На первый взгляд, эта модель сложения идентична тому представлению о сложении, которое формируется в современной начальной школе, и суть которого заключается в том, что сумма - это результат присоединения чего-то к чему-то.

Однако уже в момент символического описания этой процедуры сложения у ребенка, который прошел курс традиционного обучения, возникает, ощущение легкого дискомфорта. Его сознание напрочь отказывается принять, что и запись "3+5", и запись "8" - в равной степени являются записями СУММЫ, являются записями той целостности, которая графически представлена в виде фигурки из восьми клеточек.

Как выйти из этого тупика?

Только одним способом: полным подчинением символической записи процессу графического моделирования. И безусловной точностью использования математических символов.

Во всяком случае, сам учитель должен отчетливо понимать, что между складываемыми предметами (или моделями чисел) бессмысленно ставить знак "+", поскольку этот знак означает то, что акция сложения УЖЕ произошла. И он должен отчетливо понимать, что "слагаемые" - это вовсе не числа, предназначенные к сложению, а числа, уже сложенные в некую целостность - так называемую сумму. И никакой векторности в символической записи сложения на самом деле нет.

Вроде бы очевидная вещь: сложенными мы можем называть только те вещи и предметы, которые действительно сложены. Как же иначе? Но в сознании ребенка, обучающегося в массовой школе, все перевернуто вверх ногами. И он настойчиво пытается связать знаком сложения фигурки, которые на самом деле разрознены.

Так вот, первая истина, первая аксиома сложения, которую должен донести грамотный учитель до сознания ребенка - это аксиома здравого смысла, согласно которой нельзя называть сложенными (и, соответственно, описывать с помощью знака "+") предметы, вещи, фигурки, или числа как таковые, если они на самом деле не являются сложенными, т.е. являются разъединенными.

Иначе говоря, до сознания ребенка должно быть доведено то обстоятельство, что фактически разъединенные, но соединенные знаком "плюс" фигурки - это чистейший абсурд. Что знак "плюс" как знак сложения может появляться лишь для описания той ситуации, когда фигурки РЕАЛЬНО оказываются сложенными друг с другом в некую общую целостность.

Вернемся к нашим двум фигуркам из трех и пяти клеточек. Покуда они разъединены - они не сложены. А знак сложения может появиться только рядом с той фигуркой, в которую эти две первые фигурки окажутся сложены.

И только тогда, когда мы пририсовали к трем клеточкам первой фигуры пять клеточек другой (сохранив для наглядности линию демаркации), мы получаем право написать под полученной в результате фигуркой 3+5, поскольку эта запись и является не чем иным, как описанием результата. А результатом является целостная фигурка, сложенная из двух частей по три и пять клеточек в каждой.

Но поскольку другим описанием полученной фигурки является число восемь (общее число клеточек в полученной фигурке), мы можем с уверенностью написать, что 3+5=8.

И эта запись будет свидетельствовать о том, что сложенные вместе части из трех и пяти клеточек каждая составляют целостность из восьми клеточек.

Или, иными словами, данная запись будет свидетельствовать о том, что данное целое является СЛОЖНЫМ или СЛОЖЕННЫМ.

ШАГ 5. Сложение... как разбиение.

Есть, однако, и другой способ моделирования операции сложения.

Способ абсолютно парадоксальный и нелепый с точки зрения традиционного для начальной школы понимания сложения, но абсолютно точный в математическом отношении и чрезвычайно продуктивный с точки зрения задачи формирования абстракции сложения у семилетнего ребенка.

Это способ, позволяющий коренным и радикальным образом преодолеть векторный стереотип сложения и сформировать у семилетнего ребенка глубоко математичный (и драматичный!) образ сложения как универсального закона, на котором держится мир чисел. Это способ, позволяющий совершенно отчетливо продемонстрировать и увидеть, что любое без исключения число может быть представлено как сумма каких-то других чисел. При этом количество слагаемых (и количество вариантов сложения) может быть достаточно велико, а при переходе в область рациональных чисел - практически бесконечно.

Суть этого второго способа заключается в том, что любая произвольная фигурка, начерченная учителем на демонстрационной доске (скажем, фигурка, состоящая из 15 клеток), разбивается на две или несколько частей путем прочерчивания внутри этой фигурки отчетливых разделительных линий. После чего учитель задает детям вопрос: "А как теперь мне записать с помощью символов то, что я нарисовал?"

Рисунок 3

На рисунке представлена фигурка из 15 клеточек, разбитая на произвольные части. Разбиение описывается как сумма частей.

И самое удивительное заключается в том, что и на этот раз наиболее адекватный способ описания этой фигурки - описание ее как суммы частей. И в первом, и во втором случаях рисунок позволяет увидеть целостную фигурку как графическую сумму частей, хотя действия, приведшие нас к этой сумме были, если угодно, прямо противоположными. В одном случае мы осуществили операцию соединения двух самостоятельных целостностей (целых чисел) в новую целостность, а в другом случае - разбили некую целостность на фрагменты. Однако и в том, и в другом случаях оказался продемонстрирован феномен суммы.

В самом деле, только слово "сложение" позволяет достаточно адекватно описать эффект соединенности различных частей в нечто целое. А когда мы разбиваем какую-то фигурку на части, мы как раз и демонстрируем тот факт, что она является целостностью, состоящей из некоторых фрагментов В данном случае целостностью является исходная фигурка, а составляющими ее частями оказываются фигурки, выделенные уже потом. А это и значит, что все выделенные внутри исходной фигурки части оказываются сложены в ту целостность, каковой является исходная фигурка. Или, еще другими словами, наша фигурка оказывается суммой нами же выделенных частей. И потому естественно, что после того, как наша фигурка оказалась разбита на части, ее следует подписать соответствующим образом, как сумму частей.

Очевидно, что любая фигурка, сколь угодно большая или сколь угодно малая может быть представлена как сумма составляющих ее частей, т.е. может быть представлена как некоторая сложность, как сложенность в единое целое тех или иных частей.

Нельзя не заметить, что такой подход к сложению совершенно не совпадает с принятым в массовой начальной школе и с тем, как учат сложению детей в дошкольном возрасте. Там процесс сложения интерпретируется преимущественно процессуально, как процесс восхождения от первоначально разрозненных количеств к некоему общему количеству. Поэтому и происходит так, что в сознании ребенка процедура сложения на долгое время ассоциируется со словом "получится": "Было пять вишенок, к ним добавили четыре - сколько вишенок получилось? Девять!"

Что касается описываемой здесь модели, то она является по своей сути моделью алгебраической. Здесь ребенок с самого начала начинает осознавать, что каждое число (и очень скоро он убедится в том, что это в полной мере относится и к числу “один”) можно представить как сумму составляющих его частей. Причем количество комбинаций, с помощью которых можно это сделать, весьма велико (а с переходом в область рациональных, дробных чисел ребенок обнаружит, что количество таких возможных комбинаций просто неограничено). И за этим стоит, если угодно, совершенно иная по сравнению с той, что принята в начальной школе, философия сложения

Шаг 6. Аксиомы сложения.

И сложение фигурок друг с другом, и разбиение целостной фигурки на составляющие ее части - это модельная работа, в рамках которой у ребенка формируется физический образ сложения, физический образ суммы как целостной сложности, состоящей из двух или более фигурок-частей.

При этом важно, что любую фигурку можно представить как сложную, как сумму других - достаточно прочертить в ней какие-то линии, разбивающие ее целостность на совокупность внутренних фигурок. И наоборот: любые две фигурки, будучи присоединены друг к другу образуют некую новую целостность, некую новую сложность, т.е. сложенность из других фигурок.

И это, если угодно, - две фундаментальные аксиомы сложения: любое число может быть представлено как сумма двух или более других чисел, и любые два или более числа могут быть сложены в другое число, которое будет называться их суммой.

Вместе с тем, обе описанные выше графические модели сложения являются моделями, которые в равной степени опровергают традиционное для начальной школы представление о сложении как о векторном процессе и затрагивают тем самым глубинные, философские основания математики. И позволяют семилетнему ребенку с увлечением войти в мир математики как в мир серьезнейших философских вопросов и парадоксов.

Вот я упомянул, что одной из фундаментальных арифметических аксиом сложения является аксиома, согласно которой любые два числа могут быть сложены друг с другом. А согласно другой аксиоме любое число может быть представлено как сумма других чисел.

Вроде бы утверждения очевидные, и как аксиомы доказательства не требующие (впрочем, на то они и аксиомы, что доказательства здесь просто невозможны). Но поразительно, до какой степени столь простые и очевидные для взрослого сознания утверждения способны дразнить воображение маленьких детей!

Нужно только забыть, что перед нами аксиомы и попробовать перевести их в проблемную плоскость, сделав предметом обсуждения с детьми.

А потребуется для этого всего два провокационных вопроса.

Первый вопрос - можно ли придумать такие числа, которые было бы невозможно сложить друг с другом? И второй: можно ли придумать такое число, которое невозможно было бы представить как сумму каких-то других чисел?

Сразу замечу, что вопросы эти настолько же простые, насколько бесконечно глубокие. Потому что рядом с ними тут же возникает масса сопутствующих вопросов: если такие числа есть, то что они из себя хотя бы приблизительно представляют? И что же это за странные такие числа, что их нельзя сложить друг с другом или разложить на какие-то составляющие их части?

А если таких чисел нет, то почему?

Вообще надо сказать, что ответ на все эти вопросы далеко не очевиден. Мне, пожалуй, не приходилось еще встречать ребенка, у которого не возникло бы желания (при условии хорошо организованной интриги) попробовать ответить на оба сформулированных вопроса положительно.

И я не встречал ребенка, у которого в связи с этими вопросами не возникал хотя бы проблеск философского размышления.

А задача учителя - создать интригу для того, чтобы соответствующее размышление возникло.

ШАГ 7. Пределы сложения.

Начнем с вопроса о числах, которые нельзя сложить друг с другом.

Первое, что пытаются сделать дети – это тем или иным образом уйти от ответа. "Может, такие числа и есть, но я этого не знаю". "Откуда же я могу знать, какие это числа?"

Но учитель не успокаивается: "Я же не прошу вас назвать эти числа, я прошу вас подумать: возможно ли такое число, которое нельзя было бы сложить ни с каким другим? Или возможны ли два таких числа, которые нельзя было бы сложить друг с другом?

Вот смотрите: у меня вот здесь из клеточек смоделировано одно число, а здесь - другое. И я могу их сложить вместе... Три и пять - могу. Семь и девять - могу... А может быть все-таки есть такие числа, которые нельзя сложить друг с другом?.."

В условиях коллективной работы и "подначивания" со стороны учителя дети не выдерживают искушения, и вот уже появляются маленькие ниспровергатели аксиом, которые наконец-то начинают думать. Они начинают предлагать варианты, и тут же с ними спорить, опровергать.

Вначале - немного наивные варианты: "Это будут такое большое число, что мы не сможем его записать!" Или: "Это будет так много клеточек, что мы никогда не сможем их нарисовать".

Теперь отбивается учитель: "Ну хорошо, а если складывать в воображении? Да, мы не можем нарисовать слишком много клеток, но ведь мы можем их представить! Попробуйте представить, какой величины должно быть число, чтобы его нельзя было сложить с каким-то другим!?"

Подумав еще немного, дети могут прийти к выводу, что каким бы ни было большим число, к нему всегда можно будет прибавить еще какое-то.

Правда, среди детей всегда может найтись маленький философ, который предложит коварный вариант типа: "А что, если одно число будет величиной с весь мир, и другое число будет тоже величиной с весь мир - тогда их можно будет сложить?"

"Но если первое число уже величиной с мир, откуда возьмется второе?..."

И новый цикл рассуждений - о том, что такое "весь мир", как можно быть величиной "с весь мир" и т.п.

Один из смыслов этой дискуссии заключается в том, что дети так или иначе выходят на идею бесконечности или, скорее, на вопрос о бесконечности: "Дети, кто-нибудь может представить себе бесконечность? Так, чтобы каким бы ни было число большим, его можно было бы еще увеличить, и так без конца?!"

Вопрос чрезвычайно коварный и способный раздразнить воображение любого ребенка: как это так – нет конца?

Весь жизненный опыт ребенка свидетельствует о том, что у всего без исключения есть конец, есть границы.... И что крайне важно - это вопрос, который в каком-то смысле обречен остаться без ответа как "предельный" философский вопрос.

Бесконечность нельзя вообразить - сознание "ломается" от такой попытки. Однако, с другой стороны, нельзя вообразить и… отсутствие бесконечности: нельзя вообразить число, к которому уже ничего нельзя прибавить.

И в этом, между прочим, суть арифметической идеи сложения: сложение носит абсолютный характер. Нет и не может быть такого числа, которое нельзя было бы сложить с другим.

А это значит, что арифметика имеет дело с бесконечностью. И ребенок, который только-только начинает заниматься арифметикой, должен пережить чувство трепетного восторга-ужаса пред арифметикой, предмет интересов которой вовсе не ограничивается, оказывается, вишенками и кузнечиками, а распространяется на саму бесконечность, которую даже вообразить невозможно.

ШАГ 7. В глубины числа.

Что касается вопроса о том, можно ли представить число, которое нельзя разбить на составляющие его части, нельзя представить как сумму слагаемых, то здесь многие дети на первых порах готовы ответить легким и быстрым "Да!", имея в виду число один, которое моделируется на тетрадной странице с помощью одной клеточки.

"А разве одну клеточку нельзя разбить на части?" - спрашивает учитель.

"Конечно можно, но разве это будут числа?"

"А посмотрите сами.

Вот я делю клеточку на две равные части. Может быть кто-нибудь скажет, какое число клеточек находится в каждой из этих частей?"

"Никакого!"

"Ну как же никакого? Ведь что-то в этих частях есть!

Понятно, что в них нет ЦЕЛЫХ клеточек. Но ведь в них есть какие-то кусочки от клеточек! Какие же это кусочки? Как они называются?"

"Половинки!"

"Ну конечно это половинки одного! Это числа, которые нельзя назвать целыми, но ведь это все равно числа! Просто их называют дробными, раздробленными. Это числа-кусочки. Это числа, которые оказываются меньше одного. А кому-нибудь известны или кто-нибудь может придумать другие числа меньше одного?"

И тут выясняется, что дети кое-что знают.

Знают, например, что такое четвертинка. И знают, что такое треть. И могут в одной клетке выделить то и другое.

"Ну хорошо, - продолжает учитель. - Вот мы разделили клетку на четыре равные части. Каждая получившаяся в результате часть - это четвертинка. Из скольких четвертинок сложена наша одна клеточка?”

“Конечно, из четырех”.

“ А из скольких четвертинок сложена каждая ее половинка?”

“Ну конечно, из двух”.

“Хорошо, а можно теперь четвертинку разделить на какие-то кусочки, из которых она сложена?”

“Разумеется, можно - только мы не знаем пока, как эти кусочки назвать”.

“А каждый из получившихся кусочков еще на кусочки разделить? А получившиеся кусочки разделить еще раз? Сможем ли мы, наконец, добраться до такой частички, про которую уже нельзя будет сказать, что она из чего-то сложена, что ее нельзя разделить?"

"Но мы же их не сможем увидеть!"

"А если делать все это только в воображении?"

…И снова мы выходим на проблему бесконечности, но бесконечности, которая на этот раз направлена, если угодно "в другую сторону", в глубь числа.

Ну, так вот. Можно ли себе представить настолько маленькое число, что оно... не состоит ни из каких частей?! Иначе говоря, можно ли представить себе такой кусочек клеточки, который нельзя было бы разбить на еще более маленькие кусочки?

Разумеется, речь идет не о физическом пределе уменьшения, а о математическом.

Физический предел уменьшения, несомненно, есть - есть элементарные структуры материального мира (скажем, “кварки”) которые даже теоретически е не расщепляются на "составляющие" их элементы, а, следовательно, это такие структуры, которые сами ни из чего не состоят, ни из чего не сложены.

Но нас в данном случае интересует исключительно математический предел расщепления. А вот как раз он отсутствует, и наша клеточная модель единицы может расщепляться на все более мелкие составляющие части бесконечно. И это одна из базовых аксиом сложения.

Итак, арифметика сложения должна начинаться вовсе не со сложения птичек или кузнечиков. Арифметика должна начинаться с разговора о предельных вещах.

Учитель должен поразить воображение первоклассников идеей бесконечности - идеей бесконечно больших и бесконечно малых чисел. И лишь после того, как он сумеет показать универсальность и абсолютность идеи сложения, имеет смысл переходить к элементарной счетной практике, практике сложения целых чисел.

ШАГ 8. Альтернативные практики сложения.

Практика даже самого элементарного сложения в начальной школе должна иметь для ребенка не “прагматически-магазинную”, а философскую перспективу. Складывая даже самые элементарные числа, ребенок должен иметь в виду бесконечность.

Впрочем, и сама практика сложения с опорой на идею клеточного моделирования может быть чрезвычайно разнообразной.

Это может быть и сложение-соединение (сложение двух и более различных фигурок в целостность), и сложение-разбивка (представление некоей исходной целостности как суммы двух и более составных частей. Но самый главный принцип при этом по-прежнему заключается в том, что любой акт сложения следует представлять в виде числовой модели, и одновременно - с помощью символической записи.

Самый простой тип задачи заключается в том, что учитель рисует произвольную фигурку, разбивает ее на произвольное количество частей и после этого предлагает описать эту фигурку символическим образом как сумму частей. Естественно, что вначале дети, как обычно, перерисовывают заданную фигурку к себе в тетради, а потом подписывают ее, например, так: 34=14+8+9+3. И естественно, что у такого рода заданий может быть один, и только один вариант ответа.

Рисунок 4

Фигурка из 34 клеточек, разбитая учителем на четыре фрагмента различной величины. Задача состоит в том, чтобы дети скопировали эту фигурку и ее разбиение в свою тетрадь, а затем сами сделали ее символическое описание как 34=14+8+9+3.

Еще один вариант задачи того же типа состоит в том, что учитель просто рисует произвольную (не расчерченную на части) фигурку, а затем предлагает детям самим разбить ее какое-то определенное количество частей, а затем подписать получившуюся сумму символически. Например, предлагается фигурку из 30 клеточек разбить на пять частей. Само собой разумеется, что эта задача имеет множество вариантов решения, и вполне вероятно, что в классе не найдется совпадающих вариантов решения этой задачи. Во всяком случае, последнее надо вводить как ценность и радоваться, если кому-то из детей удается предложить такой вариант разбивки, которого нет ни у кого другого

Рисунок 5.

Приведено шесть вариантов разбиения фигурки из 30 клеточек на пять частей. Все шесть вариантов различны, однако символические описания получившейся разбивки в ряде случаев совпадают.

В сущности говоря, это не что иное, как увлекательная игра. В нее можно играть как индивидуально, так и коллективно. Представитель одной из команд рисует произвольную фигурку и предлагает разбить ее на некоторое определенное количество частей. Выигрывает команда, которая предложит большее количество не совпадающих вариантов разбиения

Или другой вариант игры. Загадывается некий вариант разбивки на некоторое количество частей, а напарник (или другая команда) пытается отгадать этот вариант разбивки в возможно меньшее количество ходов.

Возможен и противоположный вариант задания. Учитель делает какую-то символическую запись (скажем, 5+7+10=?), а детям предлагает построить соответствующую графическую модель. После того, как графическая модель построена, дети определяют общее количество клеточек в получившейся фигурке и сами завершают символическую запись: 5+7+10=22.

Понятно, что такое задание предполагает множество правильных вариантов графической модели. Скажу больше: предполагает практически неисчерпаемое множество таких вариантов. И очень важно, чтобы дети видели эту многовариантность: учитель показывает всему классу каждый очередной вариант: смотрите, мол, оказывается, эта символическая запись может быть представлена и такой, и такой, и такой фигурками.

Рисунок 6.

Приведено несколько возможных вариантов графического представления записи 5+8+9+6=?

С этим вариантом задания может быть связана еще одна увлекательная игра. Соревнующиеся команды пытаются сочинить как можно больше вариантов графического представления очередной символической записи.

Или пытаются возможно меньшим количеством ходов угадать загаданную графическую модель, имея в распоряжении только символическую запись.

Кстати говоря, будет просто здорово, если дети начнут раскрашивать выделенные в фигуре части (т.е. слагаемые суммы) разными цветами. В этом случае их тетради по математике наполнятся праздничным разнообразием цветов, а каждая фигурка обретет кроме всего прочего яркое эстетическое лицо.

ШАГ 9. Компакт-сложение.

Безусловно возможно и такое задание: учитель рисует две (или три, или четыре и т.д.) произвольные раздельные фигурки, и предлагает сложить эти фигурки графически (не меняя их конфигурации), а затем описать получившуюся фигурку символическим образом. Разумеется, символическая запись должна у всех детей при этом совпадать, хотя чисто графических вариантов такого сложения и получающихся в результате целостных фигур может быть неисчерпаемо много.

Особенно интересен в плане развития пространственного воображения детей подвариант, знакомый детям по известной компьютерной игре "Тетрис": фигурки нужно сложить друг с другом так, чтобы они упаковались наиболее компактным образом. Естественно, что конфигурация исходных фигурок не должна при этом нарушаться. Определение степени компактности как и ранее делается по величине периметра.

В связи с этим заданием так же возможна яркая, увлекательная игра: команды соревнуются на наиболее компактную упаковку предложенных фигур, всякий раз определяя степень достигнутой компактности через измерение периметра.

Рисунок 7.

Предложены три фигурки из 7, 10 и 13 клеточек и показаны несколько возможных вариантов объединения (сложения) этих фигурок в единую. После измерения периметров получившихся вариантов становится ясно, какой из них представляет собой наиболее компактную упаковку.

Один из вариантов компакт-сложения - это такое сложение заданных фигурок, при котором они складываются в прямоугольник или квадрат. Естественно, что такого рода сложение носит характер особо сложной пространственной головоломки, и одновременно - важнейшего арифметического тренинга. И это такой тренинг, которым дети занимаются с невероятной увлеченностью. Очень скоро начинают сами разрабатывать головоломки такого рода и предлагать их друг другу, а также мамам, папам и другим родственникам.

ШАГ 10. Закономерности сложения.

Кроме всего прочего возможен ряд, так сказать, специализированных задач, решение которых позволяет обратить внимание детей на важнейшие закономерности сложения, но сделать это без жесткого навязывания учащимся.

Например, учитель рисует последовательный ряд фигурок из 9+1=10, 9+2=11, 9+3=12, 9+4=13 и т.д. клеточек и предлагает самостоятельно продолжить этот ряд на столько далеко, насколько получится, символически описывая каждый новый шаг. При этом важно, чтобы у всех фигурок ряда была однотипная конфигурация - скажем, за основу может быть принят прямоугольный столбик шириной в две, в три и т.д. клетки. Таким образом, оказывается создана особая графическая композиция, в которой оказывается представлена таблица сложения числа девять с другими числами.

А после того, как первая графическая последовательность составлена, детям предлагается разработать свои графические варианты той же самой таблицы.

Рисунок 8.

Представлены четыре возможных варианта таблицы сложения с девятью: с основанием столбика в две, в три и в четыре клеточки. Однако понятно, что таких вариантов может быть огромное количество, и каждый из них будет по-своему орнаментально красив.

Естественно, что символическую подпись к рисункам делают сами дети. Им же предоставляется возможность самостоятельно продолжить незаконченные ряды и сделать собственные.

Понятно, что точно так же можно промоделировать таблицу сложения любого другого числа.

Между прочим, такого рода графическое моделирование таблиц сложения позволяет без всяких дополнительных объяснений продемонстрировать детям специфику сложения различных чисел: ведь эта специфика при грамотно осуществленном моделировании оказывается воистину ОЧЕВИДНОЙ.

Впрочем, можно графически смоделировать и другие закономерности сложения.

Например, закономерность образования десятков, когда учитель предлагает последовательный ряд прямоугольников 2х5 со следующей внутренней разбивкой: 1+9, 2+8, 3+7... И детям вновь предлагается описать предложенные прямоугольники символически и отгадать продолжение данного ряда (естественно, отгадать графически и вновь описать символически).

Рисунок 9

Представлены разные варианты образования числа 10, числа 9, числа 8.

ШАГ 11. Извлечение и "упаковка" числовой последовательности.

Особая задача - задача извлечения числовой последовательности, "спрятанной" учителем в компактной фигуре (например, в прямоугольнике) в виде ее разноцветных фрагментов. Ученик должен прежде всего расшифровать эту последовательность (т.е. расставить уже в символической записи все слагаемые в необходимом порядке). Например, если в фигурке из 28 клеточек "упакована" последовательность натурального ряда, он должен описать эту фигурку следующим образом: 28=1+2+3+4+5+6+7.

На следующем этапе нужно вытащить все упакованные фигурки и разместить их в возрастающий ряд, отдельно друг от друга, но без нарушения конфигурации.

Рисунок 10.

Пример последовательности натурального ряда от 1 до 7, упакованной в прямоугольник 4х7.

Рисунок 11

Графический ряд возрастающей числовой последовательности после ее извлечения из исходного прямоугольника:

То же самое делается и в том случае, если в фигурке прячутся другие, более сложные последовательности.

Вначале новые последовательности сочиняет и “прячет” в компакт-формате учитель, а в последующем и сами дети начинают упаковывать те или иные последовательности в максимально компактные фигурки, желательно – в прямоугольник или квадрат.

Тем самым возникает новая увлекательная конфигурационно-математическая игра, способная чрезвычайно эффективно развивать разнообразные детские способности, в том числе, способности математические.

ШАГ 12. Встреча с умножением.

В предыдущей главе уже была введена идея умножения как способ количественного описания фигурок, имеющих формат прямоугольника: прямоугольник - это фигурка, в которой сама ее конфигурация позволяет отчетливо увидеть равные группы клеток, составляющие вертикальные или горизонтальные ряды.

Однако только после того, как дети встретились с идеей сложения, у них оказывается возможна полноценная встреча с идеей умножения (еще раз подчеркну: с идеей умножения, а вовсе не с технологическим приемом, облегчающим счет).

Вернемся к задаче, описанной выше как задача разбиения заданной фигурки на некоторое количество частей.

Один из подвариантов этой задачи, заключается в том, чтобы разбить фигурку на такие части, которые были бы равны между собой.

Например, рисуется фигурка из пятнадцати клеточек, и детям предлагается разбить ее на пять равных частей..

Естественно, что дети, решая эту задачу, вынуждены будут разбить фигурку на такие части, в каждой из которых будет по три клеточки. И описано это будет следующим образом: 15=3+3+3+3+3.

Здесь-то и вводится тот вариант символической записи, согласно которому 3+3+3+3+3 можно записать как 3х5.

И с этого момента разбиение фигурок на равные части будет сопровождаться у детей расширенной записью типа: 15=3+3+3+3+3=3х3.

Рисунок 12.

Несколько вариантов возможной разбивки фигурки из 15 клеточек на пять равных частей. Все эти варианты описываются одним и тем же образом: 15=3+3+3+3+3=3х3

Рисунок 13.

Та же самая фигурка из 15 клеточек, разбитая (несколькими способами) на три равные части. В этом случае запись, естественно, выглядит так: 15=5+5+5=5х3.

Таким образом, учитель может предлагать детям самые разные числа, включая простые, но в последнем случае, естественно, ему придется предлагать разбить фигурку на такое количество частей, которое будет равно самому заданному числу, т.е. на части, каждая из которых будет состоять из одной клеточки.

Рисунок 14.

Единственно возможный вариант разбивки на равные части фигуры, состоящей из 11 клеточек: 11=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1х11.

Шаг 13. Поиск множителей.

Впоследствии дети сами начинают искать и изобретать фигурки, которые можно разбивать на равные части и описывать с помощью умножения. И снова может возникнуть увлекательная игра и увлекательная серия заданий. Например, задание отыскать как можно больше чисел в пределах сотни (или в пределах тысячи – лишь бы фигурка уместилась на тетрадной странице), которые можно разбить на равные фрагменты по две, три, четыре, пять и т.д. клеточек. Или наоборот: найти как можно больше чисел, которые можно разбить на два, три, четыре, пять и так далее равных фрагментов.

А затем приходит время усложненного и еще более важного варианта этой задачи: учитель рисует произвольную фигурку и предлагает детям самим догадаться, на какое количество равных частей эту фигурку можно разбить.

Естественно, что у каждого числа есть разное количество таких вариантов. Но, опираясь на графическую модель, учащийся первого класса безусловно способен самостоятельно найти их все. А, значит, оказывается способен самостоятельно найти все множители всех чисел в пределах первой, а иногда даже и второй сотни!

Естественно, что фигурка, которая разбита на равные фрагменты, легко преобразуется далее в прямоугольник. Прямоугольник "обнажает" процедуру умножения, и потому такое преобразование обязательно должно завершать работу на обнаружение множителей.

Ну и естественно, что все варианты разбивки исходной фигурки связываются между собой знаком равенства, а так же связываются знаком равенства с теми прямоугольниками, в который они в итоге трансформируются.

А в результате выстраивается достаточно длинный ряд преобразования.

Рисунок 15.

Вниманию детей предложена произвольная фигурка из 24 клеточек. В процессе экспериментов с этой фигуркой дети обнаружили, что она может быть разбита на 24 части по одной клетке, на 12 частей по две клетки, на 8 частей по три клетки, на 6 частей по четыре клетки, на 4 части по 6 клеток, на 3 части по восемь клеток, на 2 части по 12 клеток. Кроме того фигурка может быть представлена как состоящая из одной части. Таким образом, одна и та же фигурка оказывается представлена восемью вариантами разбиения. Все эти варианты вырисовываются на отдельном листе и связываются знаками равенства. А кроме того каждый очередной вариант разбиения трансформируется в соответствующий прямоугольник. Таким образом, всего получается 16 рисунков, связанных знаками равенства и представляющими собой не что иное, как графическое исследование разложения на множители числа 24.

Кстати оговорюсь: фигурка 3х8=24 и 8х3=24 рисуются как РАЗНЫЕ фигурки. Хотя по своей конфигурации это тождественные прямоугольники, однако в первом случае прямоугольник состоит из восьми рядов по три клеточки в каждом ряду, тогда как во втором случае - из трех рядов по восемь клеточек. Естественно, что в том и в другом случаях ряды должны быть четко отчерчены друг от друга.

ШАГ 14. Изобретаем... таблицу умножения.

Казалось бы, зачем изобретать велосипед? Вечный вопрос.

Если некоторое упорядоченное знание уже есть, не лучше ли его просто дать, а не мучить детей необходимостью сочинять какие-то свои классификации?

Напомню, однако: только то знание является подлинным, которое является личностным. И ключевой вопрос образования состоит не просто в том, чтобы научить ребенка что-то знать, а в том, чтобы человек мог пройти свой собственный путь к тому или иному знанию.

В этом, если угодно, основа формирования творческого отношения к знанию, когда знание рассматривается не как мертвая и вечная информация, а как открытая проблема, порождающая все новое и новое знание (знание, которого до сих пор не существовало в культуре).

Таким образом, подлинное знание - то, которое не усваивается сознанием, а проблематизирует сознание.

Принципиально важно подчеркнуть, что при решении всех описанных выше задач дети не пользовались никакой таблицей умножения, а просто эмпирически устанавливали соответствие между двумя типами описания прямоугольников: с помощью множителей (каковыми являются количество клеток в ряду и количество рядов) и с помощью обыкновенной числовой записи.

И лишь после того, как у учителя формируется твердая уверенность в том, что дети безошибочно идентифицируют множители при описании прямоугольников с помощью умножения и, следовательно, устанавливают безошибочные равенства, он предлагает детям упорядочить все получающиеся у них результаты в виде какой-то таблицы - упорядочить всю найденную ими информацию в виде последовательно возрастающих числовых рядов.

Надо сказать, что задание на создание собственной таблицы умножения, или, точнее, пратаблицы умножения может привести к возникновению самых неожиданных вариантов упорядочения. Но во всяком случае это будут пока только весьма фрагментарные попытки упорядочения.

Один из самых простых (и одновременно эффективных) вариантов упорядочения различных случаев умножения - это упорядочение по тем числам, которые принято называть "произведением", и которые моделируются как последовательность возрастающих фигурок, разными способами разбиваемых на равные части и описываемых с помощью множителей.

ШАГ 14. "Пирамида умножения".

Традиционная для начальной школы трактовка феномена умножения (как и феномена сложения) носит подчеркнуто векторный характер. Это значит, что школьники привыкают рассуждать о некоем результате умножения.

Мол, в записи 3х3=9 число девять является результатом умножения трех на три.

Соответственно и запись 9=3х3 прочитывается тем же самым, "векторным" зрением, но только вектор меняет свое направление, и теперь направлен от правой части равенства к левой.

Иначе говоря, для любого школьника (и, увы, в громадном большинстве случаев для учителей) эта запись по-прежнему повествует о том, что в результате умножения трех на три получается число девять.

Отсюда происходит и построение традиционной таблицы умножения: оно подчеркивает эту самую векторность. За основу упорядочения различных случаев умножения в единую таблицу здесь принимается принцип последовательного увеличения множителей. Вначале предлагаются варианты умножения на один, затем - варианты умножения на два и так далее.

Однако в плане формирования математических структур понимания гораздо продуктивнее выглядит та трактовка, согласно которой стороны равенства именно равновесны, т.е. представляют собой просто-напросто разные способы описания одного и того же числа. И именно эта трактовка оказывается наиболее продуктивной при клеточном моделировании умножения.

Во всяком случае, клеточное моделирование умножения делает совершенно естественным упорядочение различных случаев умножения не по принципу пошагового возрастания множителей, а по принципу пошагового возрастания тех чисел, которые описываются с помощью процедуры умножения. А в результате получается чрезвычайно емкая и многогранно информативная таблица, математический смысл которой выходит далеко за границы той традиционной таблицы умножения, которую традиционно учат или зубрят дети массовой школы, начиная со второго класса.

Точнее было бы сказать, что это не таблица даже, а пирамида умножения, из которой внимательный наблюдатель может извлечь массу интереснейшей информации. Особенно если строго соблюсти графику вертикальных соответствий, а горизонтальные ряды одинаковой длины выделить одним цветом. Другой полезный вариант цветовой маркировки - это выделение одним цветом одинаковых множителей.

Рисунок 16

1=1х1

2=1х2 = 2х1

3=1х3 = 3х1

4=1х4 = 4х1=2х 2

5=1х5 = 5х1

6=1х6 = 6х1=2х 3= 3х2

7=1х7 = 7х1

8=1х8 = 8х1=2х 4= 4х2

9=1х9 = 9х1=3х 3

10=1х10=10х1=2х 5= 5х2

11=1х11=11х1

12=1х12=12х1=2х 6 = 6х2=3х4 = 4х3

13=1х13=13х1

14=1х14=14х1=2х 7 = 7х2

15=1х15=15х1=3х 5 = 5х3

16=1х16=16х1=2х 8 = 8х2=4х4

17=1х17=17х1

18=1х18=18х1=2х 9 = 9х2=3х6 = 6х3

19=1х19=19х1

20=1х20=20х1=2х10=10х2=4х5 = 5х4

21=1х21=21х1=3х 7 = 7х3

22=1х22=22х1=2х11=11х2

23=1х23=23х1

24=1х24=24х1=2х12=12х2=3х8 = 8х3=4х6=6х4

25=1х25=25х1=5х 5

26=1х26=26х1=2х13=13х2

27=1х27=27х1=3х 9 = 9х3

28=1х28=28х1=2х14=14х2=4х7 = 7х4

29=1х29=29х1

30=1х30=30х1=2х15=15х2=3х10=10х3=5х6=6х5

31=1х31=31х1

32=1х32=32х1=2х16=16х2=4х8 = 8х4

33=1х33=33х1=3х11=11х3

34=1х34=34х1=2х17=17х2

35=1х35=35х1=5х7 = 7х5

36=1х36=36х1=2х18=18х2=3х12=12х3=4х9=9х4=6х6

37=1х37=37х1

38=1х38=38х1=2х19=19х2

39=1х39=39х1

40=1х40=40х1=2х20=20х2=4х10=10х4=5х8=8х5

41=1х41=41х1

42=1х42=42х1=2х21=21х2=3х14=14х3=6х7=7х6

43=1х43=43х1

44=1х44=44х1=2х22=22х2=4х11=11х4

45=1х45=45х1=3х15=15х3=5х9 = 9х5

46=1х46=46х1=2х23=23х2

47=1х47=47х1

48=1х48=48х1=2х24=24х2=3х16=16х3=4х12=12х4=6х8=8х6

49=1х49=49х1

50=1х50=50х1=2х25=25х2

И так далее.

Естественно при этом, что вся эта таблица не просто записывается символически, но и моделируется графически - как серии связанных знаком равенства прямоугольных трансформаций, которые претерпевают фигурки, сложенные из того или иного количества клеточек.

Иначе говоря, каждая строка этой таблицы должна иметь модельный прообраз или модельное подтверждение: ведь каждая новая строка появляется в этой таблице лишь после того, как детьми создана соответствующая графическая модель (модель прямоугольных трансформаций для очередного числа). Вот как эта чреда трансформаций может выглядеть в отношении, допустим, числа 36.

Рисунок 17

36=1х36=36х1=2х18=18х2=3х12=12х3=4х9=9х4=6х6

Вместе с тем чрезвычайно важно вычертить (или выписать) на отдельный лист чисто символическую таблицу (в виде приведенной выше "числовой пирамиды") и пополнять ее по мере создания новых графических моделей.

При этом важно заполнять эту таблицу таким образом, чтобы все знаки равенства сами выравнивались бы в стройные столбики - это позволит увидеть внутренние особенности и закономерности этой таблицы.

Достаточно посмотреть на получающиеся в этой таблице числовые вертикальные столбики - в них определенно есть некая "вертикальная" организованность. Но на данном этапе дети пока еще не готовы к самостоятельному анализу столь сложных построений, и потому к анализу такого рода "пирамиды умножения" мы вернемся во второй части книги, в главе, специально посвященной проблеме числовых пирамид. Однако какие-то любопытные закономерности ребенок сможет обнаружить уже сейчас.

Например, эта таблица позволяет отчетливо увидеть факт существования так называемых "простых чисел".

Бросается также в глаза, что длину очередной строчки практически невозможно предсказать.

Кроме того эта "пирамида умножения" позволяет практически мгновенно выделять числа с наибольшим и наименьшим количеством множителей.

Вначале учитель строит "пирамиду умножения" вместе с детьми. Когда же становится ясно, что дети усвоили основные принципы ее построения, детям предлагается самим продолжить эту таблицу настолько далеко, насколько у них получится - естественно, снова пользуясь модельной графикой.

И надо сказать, что именно такой способ построения таблицы умножения чрезвычайно увлекателен, поскольку дает возможность увидеть “множительную специфику” каждого числа. У ребенка возникает азарт. Например, ему становится интересно узнать, строчка какого числа окажется самой длинной. Не говоря уже о том, что это просто оказывается неплохим тренингом умножения как чисто вычислительной (технической) операции.

И лишь после того, как дети вместе с учителем (а потом и индивидуально) осуществят попытку упорядочить свои открытия в области умножения в виде такого рода таблицы, учитель сообщает детям о факте существования, так сказать, "канонической" таблицы умножения.

И вот дети обращаются (впервые!) к стандартной таблице умножения и обнаруживают, что установленные ими эмпирически соответствия между числом клеток в прямоугольнике и произведением числа клеток в ряду на количество этих рядов уже записаны в этой таблице, и что она может выступать в роли своего рода справочника.

ШАГ 15. Мистерия площади.

В связи с предложенной выше графической интерпретацией феномена умножения хотелось бы обратить внимание на одно математическое недоразумение, которое, являясь по своей сути абсурдным, давным-давно закреплено как дидактическая норма и ни у кого не вызывает сомнений, несмотря на свою явную нелепость.

Речь идет о том, как учат детей находить площадь прямоугольных фигур.

Если школьника, прошедшего курс школьной математики, попросить определить площадь любого произвольного прямоугольника, он, не задумываясь, (вот именно, что не задумываясь!) измерит длину и ширину этого прямоугольника, а затем их перемножит и получит результат.

И точно так же сделает любой взрослый.

А если спросить его, чему же равна площадь любого прямоугольника, он решительно ответит: длине одной стороны, умноженной на длину другой стороны.

Несомненно, что численный результат, который получит при этом наш испытуемый будет абсолютно верен. Действительно, если взять прямоугольник длиной, допустим, пять сантиметров, а шириной три сантиметра, его площадь составит 3х5=15.

Чего? Разумеется, квадратных сантиметров.

Но вот тут-то и возникает серьезнейший вопрос: как это так?

Почему умножая просто сантиметры (длину одной стороны) на другие сантиметры (длину другой стороны), мы вдруг получаем в результате... квадратные сантиметры?

Чтобы разобраться в проблеме, вернемся к исконному смыслу самого понятия умножения.

Вспомним: суть феномена умножения заключается в том, что некоторое число складывается само с собой некоторое количество раз.

Скажем, берем пять клеточек (или конфет, или чего угодно другого) и увеличиваем их в три раза, получая тем самым пятнадцать клеточек (или конфет, или того другого, что было нами исходно взято).

Или берем отрезок длиной в три сантиметра, умножаем его на пять (иными словами, отмериваем этот отрезок пять раз), и получаем в итоге пятнадцать сантиметров.

Разумеется, никаких не квадратных.

И во всяком случае, смысл этих процедур отчетливо понятен: есть некий аргумент, который функционально увеличивается в то или иное количество раз.

А если какой-нибудь ребенок заявит, что он умножает пять клеточек на... три другие клеточки или умножает пять конфет на... три другие конфеты, мы отчетливо заявим ребенку, что это - абсурд.

Что нельзя умножать конфеты на конфеты, а клеточки на клеточки.

Что суть процедуры умножения в том, что нечто просто количественно размножается - т.е. увеличивается в то или иное количество раз, т.е. в то или иное количество элементарных, единичных целостностей. Понятно при этом, что в случае, когда, исходное число "увеличивается" в одну вторую раза – оно сокращается вдвое.

Что же это такое – это пресловутый “раз”? Это не что иное, как одинарный объем исходной целостности.

Потому-то и можно умножить количество предметов в одной группе на количество самих этих групп (естественно, в том случае, если в каждой группе - одно и то же количество предметов).

Но полным математическим безумием и абсурдом было бы умножать некоторое количество предметов на... другое количество этих же предметов!

Однако парадокс заключается в том, что именно таким, совершенно нелепым образом в наше сознание вводится идея вычисления площадей.

Скажем, учебник второго класса совершенно серьезно заявляет: для того, чтобы, мол, вычислить площадь прямоугольника, надо умножить длину одной стороны (естественно, выраженную в линейных единицах) на... длину другой стороны!

А в результате почему-то должны получаться какие-то "квадратные" единицы.

Однако ни учителей, ни, тем более, детей это обстоятельство решительно не смущает, и они уверенно записывают: 10смх5см=50кв.см.

Однако, если такая формула верна, это значит, что слово "умножение" употребляется здесь в каком-то совершенно новом смысле.

Ведь до сих пор смысл понятия умножения, напоминаю, заключался в том, что нечто становится многим.

И если мы умножаем длину, то по аналогии с другими операциями умножения мы должны получить в итоге некое множество длин.

Однако в случае нахождения площади мы встречаемся с какой-то совершенно другой логикой. Умножается длина (линейная величина), а в результате получается... площадь (квадратная величина)!

Значит ли это, что каким-то существенным образом меняется сама трактовка умножения?

Увы, учебники об этом умалчивают, а дети и учителя принимают это как религиозный постулат эпохи Тертуллиана: "верую, ибо абсурдно!".

При том, если найдется какой-нибудь не утративший способность думать ребенок, который будет настаивать на том, что он не понимает, как все-таки находится площадь, ему поставят диагноз интеллектуальной ограниченности. Мол, чего тут сложного - умножай одну сторону на другую и пиши ответ!

И чем больше такой ребенок будет упорствовать в своем непонимании, тем больший гнев и раздражение это будет вызывать со стороны учителя.

Но не лучше ли все-таки попробовать заменить постулат абсолютной веры попыткой понимания? И для начала попробовать просто быть последовательными в трактовке феномена умножения?

ШАГ 16. Подводные камни умножения.

В самом деле, давайте разберемся, что же на самом деле и на что умножается, когда определяется площадь прямоугольника? И можно ли разобраться в идее площади, не вступая в противоречие с исходно заявленной идеей умножения?

И снова ключ к пониманию дает наша модельная графика.

И она же помогает понять, что наши недоразумения с феноменом площади – прямое следствие типичных детских ошибок в интерпретации того, что есть умножение.

…Когда ребенок впервые пытается записать площадь произвольного прямоугольника с помощью умножения, он обычно чрезвычайно легко (и незаметно не только для себя, но и для учителя) совершает ряд ошибок, которые можно заметить лишь с помощью специально поставленных вопросов.

Возьмем для примера прямоугольник из пятнадцати клеточек - пять клеточек в длину и три клеточки в ширину.

Казалось бы, дети очень скоро понимают, в чем суть дела и легко подписывают этот прямоугольник следующим образом: 5х3=15. Но стоит, однако, задать некоторые проверочные вопросы, и станет ясно, что некоторые дети, делая эту формально правильную запись, имеют в виду совсем не то, на что рассчитывает учитель.

Если такого ребенка попросить: "Покажи мне на своем чертеже, что ты имеешь в виду когда ты пишешь цифру пять? Что на твоем чертеже обозначено этой цифрой?" - вдруг выяснится, что кто-то из детей имеет в виду вовсе не количество клеточек в горизонтальной полоске, а... длину этой полоски, составленную из боковых сторон клеточного ряда. Он так и будет показывать кончиком ручки на сторону нашего прямоугольника (составленную из верхних сторон пяти клеточек), а вовсе не на полоску из пяти клеточек.

И тогда нужно будет осуществлять коррекцию понимания: показать ему, что, если мы будем умножать не сами клеточки, составляющие одну полоску, а лишь те их боковые стороны, которые составляют длину прямоугольника, мы получим в результате этого умножения вовсе не прямоугольник, а... лишь длинную линию пятикратно увеличенной стороны.

Рисунок 18 а, б.

На рисунке изображен прямоугольник 5х3=15. Понятно, что аргументом здесь является заштрихованная полоска из пяти клеток, а вовсе не боковая сторона (прочерчена жирным). Если бы аргументом являлась боковая сторона, тогда результатом умножения явилась нарисованная рядом длинная линия размером в 15 клеточных сторон.

В том-то и заключается суть дела, что аргументом в нашей клеточной модели является вовсе не длина боковой стороны (линейная величина), а количество клеточек в полоске, т.е. квадратная величина.

Правда, тут же выясняется, что ребенок с легкостью готов сделать другую ошибку.

Когда его снова просишь показать на графической модели: так что же он умножает и на что, когда он записывает: 5х3=15, он делает ошибку в уже интерпретации функции.

Вот он уже разобрался с аргументом, и, отвечая на вопрос, что означает в его записи цифра пять, он уверенно показывает на горизонтальную полоску из пяти клеточек, а не на соответствующую сторону прямоугольника. И это правильно.

Однако как только дело доходит до интерпретации функции, и ребенка просят объяснить, что означает в его записи цифра три, он указывает... на вертикальную полоску из трех клеточек! Мол, пять горизонтальных клеточек умножаются на три вертикальные!

И снова от учителя требуется максимальное терпение в объяснении того, что умножение происходит вовсе не на количество клеточек в одной вертикали, а на количество горизонтальных рядов.

Почувствуйте, что называется, разницу!

Хотя количественный результат - тот же, но имеется в виду нечто совершенно иное.

Кстати говоря, существует весьма остроумный способ показать ребенку, почему количество клеточек в горизонтальном ряду следует умножать на количество самих этих горизонтальных рядов, а не на количество клеточек в одном из вертикальных рядов.

После того, как ребенок в своей интерпретации записи 5х3=15 укажет, что цифра три обозначает здесь количество клеточек в одном из вертикальных рядов, учитель делает простой чертеж в соответствии с детским указанием: он вычерчивает указанные крайние клетки прямоугольника в виде буквы "Г" и спрашивает ребенка: "Так что же, в этой фигурке тоже 15 клеток?".

И тогда до ребенка наконец доходит, что умножение происходит на полоски, а не на крайние клетки в этих полосках, хотя количество тех и других, разумеется, совпадает.

ШАГ 17. Понимание в квадратах.

Описанная модель, похоже, дает достаточно простой ключ к пониманию, того, что же на самом деле происходит при определении площади прямоугольника.

Конечно же, происходит вовсе не умножение длины одной стороны на длину другой, а нечто существенно другое.

Дело в том, что единицей площади принято считать квадрат с той или иной длиной стороны. Скажем, квадрат с длиной стороны в один сантиметр именуется квадратным сантиметром, а квадрат с длиной стороны в один метр - квадратным метром.

И дело вовсе не в том, что одна сторона этого квадратика якобы умножается на другую сторону - это было бы чистейшим абсурдом. Ничто ни на что не умножается, а просто принимается эталон измерения площади - эталон, за основу которого принимается основание квадрата. А основание квадрата – это сторона квадрата, равная той или иной единице длины.

Поэтому когда мы встречаемся с записью 1кв.см.=1см.х1см., мы должны понимать, что это совершенно абсурдная запись. Поскольку на самом деле один квадратный сантиметр равен вовсе не "произведению длин сторон", а… квадратному сантиметру, взятому один раз.

То есть 1кв.см.=1кв.см.х1. И никак иначе.

А превращение линейных величин путем их “перемножения” в квадратную величину - это блеф чистой воды.

Один квадратный сантиметр является таковым вовсе не потому, что каким-то мистическим образом перемножили его стороны (пусть кто-нибудь внятно объяснит, что это значит - перемножить стороны квадратного сантиметра), а просто потому, что за единицу площади принят квадрат со стороной в один линейный сантиметр.

Но отсюда становится понятным, что, если внутри прямоугольника выделить полоску длиной со сторону этого прямоугольника а шириной в один сантиметр, то эта полоска площади (а вовсе не длина стороны) как раз и будет представлять собой первый множитель при определении площади прямоугольника.

Понятно, что количество квадратных сантиметров, составляющих эту полоску, будет совпадать с количеством линейных сантиметров, составляющих длину соответствующей стороны этого прямоугольника.

Что же касается второго множителя, то им, разумеется, будет то количество этих полосок, которое поместится внутри данного прямоугольника. А поскольку ширина полоски составляет ровно один сантиметр, то нетрудно догадаться, что этих полосок внутри прямоугольника будет ровно столько, сколько линейных сантиметров разместится на другой (перпендикулярной) стороне прямоугольника.

Рисунок 19.

Прямоугольник со сторонами 5 и 6 сантиметров. В этом прямоугольнике выделена и заштрихована полоска шириной в 1 см и длиной в 5 см. На полоске выделены пять квадратов, каждый из которых составляет один квадратный сантиметр. Одна полоска состоит из пяти таких квадратных сантиметров, следовательно равна 5 кв.см.. А поскольку всего таких полосок шесть, то и общая площадь данного прямоугольника составляет 5х6=30 квадратных сантиметров.

Но таким образом, если нам нужно определить площадь прямоугольника со сторонами, допустим, в пять и шесть сантиметров, мы действительно умножаем пять на шесть. Но не пять линейных сантиметров на шесть линейных сантиметров, а пять квадратных сантиметров (площадь полоски, шириной в один сантиметр, примыкающей к одной из сторон данного прямоугольника) на шесть раз (т.е. количество таких полосок, размещающееся на площади данного прямоугольника).

Естественно, что чисто количественно это абсолютно совпадает с результатом так называемого "перемножения сторон", но по своей сути это совершенно иной процесс, безупречно описываемый в рамках идеи умножения.

И в этом состоит подлинный ключ к пониманию того, что же на самом деле происходит, когда мы вычисляем площадь прямоугольника.

ШАГ 18. Так называемое "деление".

Впрочем, сделаем следующий шаг.

Понятно, что фигурка, представленная как сумма фрагментов, состоящих из равного количества клеточек, может быть представлена не только с помощью символики умножения, но и с помощью символики деления.

Точнее говоря, с помощью этой символики может быть записано не общее количество клеточек в фигурке в целом, а либо количество клеточек в каждом из составляющих эту фигурку фрагментов, либо количество этих фрагментов.

В первом случае символическая запись выглядит так: общее количество клеточек, которое содержит фигурка в целом, "делится" на общее количество фрагментов, и эта запись будет обозначать количество клеточек в одном фрагменте.

Скажем, в фигурке 15=3+3+3+3+3=3х3 каждый ее фрагмент можно записать либо просто как число три, либо как 15:5. Понятно, что в том и в другом случае речь идет о количестве клеточек, которое оказывается в каждом из пяти (равных!) фрагментов., А поскольку речь идет об одном и том же числе, можно написать, что 3=15:5.

Во втором случае можно записать количество равных фрагментов, из которых состоит фигурка. Это количество фрагментов можно записать как число пять, либо как 15:3, что можно проинтерпретировать примерно следующим образом: это то количество групп, которое получится, если пятнадцать клеток сгруппировать в группы по три клеточки в каждой.

А поскольку и первая символическая запись и вторая повествуют об одном и том же - о количестве фрагментов, из которых состоит данная фигурка, между этими записями можно так же поставить знак равенства: 5=15:3. Но на этот раз стороны равенства повествуют уже не о количестве клеток во фрагменте, а о количестве фрагментов.

Таким образом, у записи 5=15:3 и записи 3=15:5 - принципиально разные знаменатели - т.е. разные имена того, о чем повествуют эти числа.

Ну и понятно, наконец, что в отношении фигурки 15=5+5+5=5х3 все меняется "с точностью до наоборот", а именно: запись 3=15:5 будет повествовать о количестве фрагментов (будет иметь своим знаменателем количество фрагментов), а запись 5=15:3 будет повествовать о количестве клеток в одном фрагменте (будет иметь своим знаменателем количество клеточек в одном фрагменте).

И в любом случае ясно: то, что в традиционной школе называют "операцией деления", на самом деле является не чем иным, как операцией группировки.

Рисунок 20.

Прямоугольник 3х5=15. Каждый из его пяти фрагментов можно описать как 3=15:5. В этом случае речь идет о клеточках, содержащихся в каждом из пяти фрагментов. Другой вариант описания этого прямоугольника 5=15х3 означает уже несколько иное: количество групп, которые образуются в том случае, если 15 клеточек сгруппировать в группы по три.

В “обратном” прямоугольнике 5х3=15 (равном предыдущему по площади и тождественном по общей конфигурации) каждый из трех равных фрагментов можно описать как 5=15:3. Но зато запись 3=15:5 в этом случае будет означать не количество клеточек во фрагменте, а количество групп, которые образуются, если 15 клеточек сгруппировать в группы по 5.