Глава VI

УДИВИТЕЛЬНЫЕ ФИГУРКИ.

В двух предыдущих главах шла речь, фактически, об одной-единственной процедуре – процедуре публичного моделирования ученической тетради “в клеточку” на демонстрационном листе. И на примере этой процедуры было показано, как могут реализовываться в образовательном процессе принципы вероятностного подхода.

Вместе с тем, следует понимать, что такого рода процедур может быть предложено или изобретено очень много. И каждая из них может быть развернута в целую математическую Вселенную.

Ниже будут описана группа задач несколько другого толка. Я попытаюсь показать, насколько эффективным может оказаться математическое моделирование с помощью клеточной тетради – с помощью того особого модельного пространства, которое столь тщательно выстраивалось на предыдущих страницах.

Кстати говоря, описываемая ниже группа задач вполне может быть использована не только при работе в классе, но и при индивидуальной работе родителей с детьми; при этом в качестве демонстрационного листа можно использовать обыкновенную тетрадь.

ШАГ 1. Таинственный контур.

Итак, демонстрационный лист тем или иным образом расчерчен, клеточки просчитаны. Что дальше?

А дальше начинается самое важное и самое интересное: работа с комплексом совершенно особых задач на идентификацию геометрической конфигурации и математическое описание произвольных многоклеточных фигурок, вычерчиваемых учителем на демонстрационном листе и воспроизводимых детьми в их тетрадях.

Все начинается с того, что на демонстрационном листе обводится контур и заштриховывается фигурка произвольной конфигурации, состоящая из трех, четырех, пяти, шести и так далее клеточек.

Вначале клеточек должно быть минимальное количество, впоследствии их количество может быть доведено до весьма значительного. Но сколь бы ни была сложна фигурка, схема работы с ней должна быть одна и та же: вначале дети пытаются отгадать, сколько клеточек содержит та или иная фигурка, а затем проверяют свои догадки, ведя поклеточный обсчет.

Конфигурация рисуемых фигурок носит при этом абсолютно произвольный характер. Это, так сказать, “зона свободного творчества” педагога и учащихся.

Рисунок 1.

Примеры первоначальных фигурок, с которыми можно начинать работу.

Прорисовывание контура фигуры и нанесение штриховки должно происходить таким образом, чтобы ребенок не мог увидеть, что именно рисует педагог, и чтобы у него возникало ощущение загадки, интриги. В то же время рисование должно происходить на глазах у ребенка.

Педагог, прорисовывающий и штрихующий фигурку, может, к примеру, прикрывать свой рисунок ладонью - в том случае, если он работает с небольшой группой детей и выполняет свой рисунок в тетради. Однако принципиально то же самое делается и в случае, когда педагог работает с большим классом и рисует свою исходную фигурку на демонстрационном листе; разница только в том, что в этом случае нарисованную фигурку - в силу ее больших размеров - приходится прикрывать листом картона или книгой.

Так или иначе, но столь простой прием резко активизирует внимание ребенка: у него возникает острое желание увидеть, что же там такое рисует педагог? Однако педагог упорно ведет свою линию, создавая вокруг своего рисунка оболочку таинственности: ведь таинственность, загадочность - это то, что вообще является важнейшим познавательным стимулом в человеческой жизни. По той же причине не следует давать учащимся никаких предваряющих объяснений по поводу того, что и зачем рисует педагог на доске: только в этом случае познавательная интрига окажется действительно полноценной.

Важное замечание: на первых порах следует предъявлять ребенку только такие фигурки, в которых квадратики примыкают друг к другу своими сторонами (см. рис.1) и избегать фигур, построенных на соприкосновении вершин углов (см. рис.2).

Рисунок 2.

Таких фигурок следует на первых порах избегать.

Очерченную фигурку можно заштриховать легкой диагональной штриховкой. Но не следует выделять отдельные клеточки внутри рисуемых фигурок посредством различной штриховки или посредством дополнительного прочерчивания контуров этих клеточек (см. рис. 3). Это будет мешать дальнейшей работе фигуркой, когда возникнет необходимость разбивать фигурку на части. Кроме того, когда каждая отдельная клеточка отчетливо видна за счет дополнительно прорисованного контура, это мешает активизации структур пространственного воображения ребенка.

Рисунок 3.

Типичная ошибка, которую делают обычно дети, перерисовывая фигурку к себе в тетрадь: они обводят дополнительным контуром каждую клеточку.

Нарисованная фигурка должна быть покрыта сплошной штриховкой, "смазывающей" границы между отдельными составляющими ее клеточками. Это создает дополнительную учебную трудность в ситуации, когда дети будут решать задачу на определение количества клеточек, из которых состоит эта фигурка. Понятно, что с фигуркой, в которой границы между клеточками скорее угадываются, чем видны, работать труднее и интереснее: в такой фигурке количество составляющих ее клеточек не сосчитывается напрямую, а, скорее, угадывается по некоторым косвенным данным.

ШАГ 2. В свете молнии.

После того, как очерчивание контура фигурки и штриховка полностью завершены, рисунок наконец-то показывается детям, но... всего лишь на одно мгновение.

Ровно на такое количество времени, сколько требуется для того, чтобы отдернуть скрывающую рисунок ладонь от поверхности классной доски или листа бумаги и тут же вернуть ее на место.

И уже после такого рода мгновенной демонстрации нарисованной фигурки детям задается вопрос: "Кто успел заметить, сколько клеточек в той фигурке, которую я нарисовал и спрятал?"

Следует особо подчеркнуть: чем короче будет мгновение, на которое взгляд ребенка соприкоснется с заштрихованным контуром, тем труднее, а, значит, интереснее будет ребенку отвечать на последующие вопросы и выполнять последующие задания.

Казалось бы, резко ограничивая время демонстрации фигурки, педагог существенно усложняет ребенку задачу. Однако парадокс заключается в том, что до сих пор мне не удалось встретить ни одного ребенка, которому это усложнение пришлось бы не по вкусу. С какой бы детской аудиторией я ни работал, всякий раз это странное, казалось бы, действие вызывает у детей крайнюю степень оживления и энтузиазма. Даже у самых заторможенных детей в этот момент просыпается в глазах искра интереса и происходит несомненная мобилизация внутренних ресурсов. В классе возникает азарт, дети начинают выкрикивать различные варианты.

ШАГ 3. Еще одна вероятностная таблица.

И снова педагог записывает все предлагаемые детьми варианты в вероятностную таблицу. Но на этот раз можно ожидать, что активность детей окажется гораздо выше, а количество вариантов, "попадающих в точку", - неизмеримо больше, нежели в том случае, когда детям предлагалось угадать количество вертикалей и горизонталей на демонстрационном листе. Ведь на первых порах детям приходится иметь дело с достаточно простыми фигурками, состоящими из небольшого количества клеточек. Единственная сложность - успеть "ухватить" контур и сообразить, сколько клеточек может поместиться в этом контуре.

Поэтому и таблица здесь будет выглядеть несколько иначе, нежели в предыдущем случае. В предыдущем случае каждая строка, каждый вариант носил персонифицированный характер; разброс вариантов был очень велик, и потому таблица состояла из трех колонок: 1. Имя ребенка; 2. Вариант; 3. Погрешность. Теперь же последовательность колонок несколько изменяется: в первую колонку записывается вариант, во вторую - имена всех тех детей, которые согласны с этим вариантом, а в третью, как и в первом случае - погрешность. Причем следует иметь в виду, что в наиболее простых случаях, когда фигурка состоит из трех или четырех клеточек, а дети достаточно развиты, ВСЕ дети могут назвать правильный вариант с первого раза, и тогда вероятностная таблица оказывается невозможна. В таком случае фигурки усложняются до той поры, пока вероятностный разброс не окажется достаточно большим.

При этом естественно, что на этапе угадывания от каждого ребенка принимается только один вариант. Это создает у ребенка ощущение ответственности, и если на первых порах многие дети выкрикивают свои варианты, что называется, "от фонаря", то запись вариантов в таблицу организует и дисциплинирует мышление, заставляет ребенка более ответственно относиться к выдвигаемым вариантам.

Как и в предшествующих случаях составление вероятностной таблицы прогнозов дает детям импульс к рефлексивной работе, к сравнению своей способности к интуитивному угадыванию с аналогичной способностью у других учеников, опору для самокоррекции и возможность для арифметической работы с получившейся погрешностью.

ШАГ 3. Повторная демонстрация.

Работа с погрешностями или ошибочными вариантами ведется на этот раз по новой схеме, в процессе повторной мгновенной демонстрации.

Дело в том, что процедура мгновенной демонстрации - особенно в силу своей первоначальной неожиданности (ведь учитель никак не подготавливает детей к тому, что он собирается делать) - оставляет "за бортом" тех детей, которые по тем или иным причинам просто не успели сосредоточить свое внимание на демонстрационном листе. Поэтому следует осуществить повторную мгновенную демонстрацию фигурки.

Как правило, на второй раз даже самые ленивые и отключенные делают все возможное, чтобы "остановить мгновение" и поймать загадочную фигурку в фокус своего зрения. Остальные же получают возможность проверить свою первоначальную догадку - но снова в условиях жестких временных ограничений.

Разумеется, мгновенный повтор срабатывает только в том случае, если фигурка оказывается не слишком сложна, не слишком объемна. Если же фигурка сложна (состоит из многих десятков клеток), то на проверку догадок нужно отпускать достаточное количество времени (впрочем, раз от разу это время сокращая).

ШАГ 4. Фактор времени.

Важным фактором активизации детского внимания в условиях вероятностного урока является наличие в классе часов с большим циферблатом и секундной стрелкой. За счет фактора времени, с одной стороны, можно усложнять условия некоторых задач, а, с другой стороны, сами часы являются весьма эффективной моделью фрагмента числовой реальности.

Скажем, после того, как учитель дает своим ученикам задание проверить правильность своих догадок относительно действительного количества клеточек в тех или иных фигурах, он начинает отсчитывать время, следя за движением секундной стрелки, и показывая, какой путь эта секундная стрелка уже прошла. При этом отсчет может вестись шагами в пять, десять или пятнадцать секунд - в зависимости от сложности и долговременности задания. “Прошло уже пять секунд… Десять… Пятнадцать…” А дети, подгоняемые фактором времени, торопятся завершить свой обсчет.

Другой вариант введения фактора времени - это выделение определенного количества времени на выполнение какого-то задания (скажем, двух минут), а затем - отсчет времени "наоборот": "Прошло полминуты, осталось полторы минуты....Прошла одна минута, осталось столько же... Прошло полторы минуты, осталось тридцать секунд... Двадцать пять... двадцать... пятнадцать... десять... пять..., четыре..., три..., две..., одна... Все! Конец работы! Кто сколько успел сделать?"

Смею уверить, что все описанные процедуры - это не только фактор активизации ребенка и мобилизации его энергии, н ои особый способ работы с феноменом числа, великолепный счетный тренинг, а так же достаточно эффективный способ формирования того, что можно назвать "чувством времени" или "интуицией времени".

Важно только соблюсти корректность психологического контекста при использовании фактора времени: учитель ни в коем случае не должен устраивать соревнование между детьми на выявление "лучших" и "худших".

Смысл использования фактора времени чисто информационный: учитель считает секунды, а дети получают возможность услышать, так сказать, "ритм времени" и почувствовать на личном опыте, что есть одна секунда, пять секунд, тридцать секунд или одна минута. Кроме того часовой циферблат позволяет УВИДЕТЬ число как длительность, поскольку промежуток между делениями циферблата - это и есть элементарная модель числа.

Ну, и крайне важно, что такого рода промежуток на часовом циферблате многофункционален: в одном случае он обозначает секунду (для секундной стрелки), в другом - минуту (для минутной стрелки), а в третьем - двенадцать минут (для часовой стрелки). И это тоже вариант работы с числовым масштабом.

ШАГ 5 Когда счет "в кайф".

После того, как дети осуществили не менее двух попыток мгновенной идентификации фигурка открывается на более продолжительное время.

Причем совершается это как бы невзначай - например, на перемене; при этом педагогу не нужно давать никаких руководящих указаний типа: "Дети! А теперь сосчитайте, сколько на самом деле клеточек содержит данная фигурка!".

В том-то и состоит прелесть ситуации, что возбужденные азартом дети САМИ, по собственной инициативе начнут проверять свои догадки и пересчитывать клеточки открывшейся их взорам фигурки, и они будут радостно, на весь класс кричать: "Я угадал!". Ведь это так увлекательно: вначале - предположить, а потом - проверить свою догадку.

Самые активные дети будут подбегать к доске, пересчитывать клеточки пальчиком, а другие будут наблюдать за деятельностью первых, и, возможно, у них впервые будет возникать внутренняя мотивация к счету: они обнаружат, что, оказывается, считать - описывать некий объект счетным образом - может являться крайне увлекательным занятием.

По мере увеличения фигурок и усложнения их конфигурации такого рода коллективно-разделенная деятельность будет выступать в качестве мощного счетного стимула даже для самых математически инертных учеников.

ШАГ 6. Воспроизведение по памяти.

Итак, все дети (кто-то со второй попытки) определили, что спрятанная фигурка состоит из трех (или более) клеточек, а затем посредством счета проверили, насколько их варианты оказались верными. И здесь начинается самое трудное и интересное.

Учитель снова закрывает чертеж, предлагает детям открыть тетради в клеточку, и… ПО ПАМЯТИ воспроизвести в ней ту фигурку, которую они всего мгновение (или несколько мгновений) видели на доске.

"А теперь откройте свои тетради в клеточку и попытайтесь по памяти воспроизвести в ней ту фигурку, которую только что видели. Воспроизведите ее так, чтобы одна клеточка на доске соответствовала одной клеточке вашей тетради"

Само собой разумеется, что это весьма и весьма непростое задание для ребенка, который едва-едва начинает учиться в школе. Ведь проблема не только в том, чтобы продолжать удерживать в памяти форму фигурки, но и в том, чтобы соотнести эту форму с чистым тетрадным листом.

Как правило, первые попытки такого рода оказываются у 6-7 летнего возраста не совсем удачными.

Даже если ребенок верно воспроизводит форму фигурки, первый его рисунок оказывается неаккуратным: линия дрожит и топорщится в разные стороны; прямые углы оказываются кривыми... А кроме того ребенку оказывается весьма непросто нарисовать целостный контур фигурки, не прочерчивая внутренних клеточек.

И, тем не менее, важно, чтобы эта первая попытка оказалась сделана.

ШАГ 7. Диагностика готовности к школе.

Описываемая задача представляет собой, между прочим, достаточно качественную тестовую процедуру для определения степени готовности ребенка к школе. Проведение такого рода тестовых процедур с детьми, достигшими физического возраста 5-7 лет, позволяет довольно легко выделить три основные группы детей с точки зрения их умственного возраста, и, соответственно, с точки зрения их готовности к элементарному школьному обучению.

1. Дети, принципиально готовые к школе, без особого труда способны за доли секунды считать с предъявленного рисунка и удержать в памяти фигурку из трех-четырех клеточек, а затем по памяти воспроизвести в своей тетради не только количество предложенных клеточек, но и заданную конфигурацию. Это дети, чей умственный возраст достиг условной границы в 7 лет (не путать с физическим, "паспортным" возрастом, который может составлять у таких детей и шесть, и даже пять лет), и они безусловно готовы к эффективному и полноценному обучению в первом классе. Впрочем, иногда и семилетний ребенок не способен решить такого рода задачу, а это значит, что его умственный возраст отстает от возраста физического.

2. Дети, находящиеся в непосредственно предшкольном возрасте: это дети, которые уже пытаются решить поставленную перед ними задачу воспроизведения фигурки по памяти, но ошибаются - либо в количестве клеточек, либо в конфигурации, либо в ориентировке фигурки на плоскости тетрадного листа. Это дети, в отношении которых возможна и целесообразна специальная обучающая деятельность, когда им предлагаются задания с более простыми фигурками; в результате этой деятельности они достаточно скоро выходят на первый уровень обучения.

3. Что касается детей, совершенно не готовых к школе, то даже воспроизведение по памяти фигурки из трех клеточек вызовет у них серьезные затруднения: либо они вообще откажутся от выполнения задания, будучи неспособны уловить его суть, либо начнут обрисовывать тетрадные клеточки без всякой связи со сформулированным заданием (даже не пытаясь воспроизвести заданное количество клеточек и заданную конфигурацию). Это те дети, для которых не только обучение в школе, но и любая целенаправленная подготовка к школе являются пока психологически преждевременными. Их умственный возраст можно определить как четырех-пятилетний, а, следовательно, их максимально успешное развитие происходит пока за пределами собственно школьного пространства с его специфическими учебными задачами и специфической учебной деятельностью. И если тот или иной ребенок принципиально отказывается от решения задачи на идентификацию и самостоятельное воспроизведение по памяти элементарной геометрической фигурки из трех-четырех клеточек, это значит, что описываемая здесь работа оказывается для него заведомо преждевременной и нецелесообразной.

И в любом случае, всегда следует помнить, что раннее "обучение ради обучения", т.е. обучение, не ориентированное на потребности ребенка и реальный уровень его возможностей, это обучение опасное и вредное для психического и интеллектуального здоровья детей.

ШАГ 8. Для детей, не готовых к школе.

Впрочем, какую-то работу на мгновенную идентификацию фигурки можно проводить даже с детьми, совершенно не готовыми к школе – детьми четырех или пяти лет. Правда, в этом случае даже задание на мгновенную идентификацию фигурки даже из трех клеточек может оказаться слишком сложным.

Что же делать, если ребенок не успевает зафиксировать и удержать в памяти фигурку из трех клеточек ни с первого, ни со второго раза?

В этом случае следует провести серию тренировочных упражнений с фигурками, состоящими из одной и двух клеточек.

В последнем случае ребенок должен продемонстрировать умение удерживать вертикальное или горизонтальное расположение столбика.

ШАГ 9. Сходства и различия.

Только после того, как КАЖДЫЙ ребенок попробует воспроизвести по памяти в своей тетради предъявленную фигурку, учитель окончательно открывает рисунок на доске и предлагает детям сравнить то, что у них получилось в тетрадях, с тем, что нарисовано на доске.

При этом детям предлагается столь любимая всеми ими игра на поиск сходств и отличий между двумя рисунками. В данном случае - между исходным, предъявленным учителем рисунком на демонстрационном листе, и тем, который получился у ребенка в тетради: "А теперь попробуйте заметить и рассказать, чем ваши рисунки похожи, а чем не похожи на тот, который нарисован у меня на доске?"

И здесь - крайне важный момент.

Не учитель указывает ребенку на недостатки его "чертежа".

Нет, ребенку предлагается САМОМУ определить, чем его рисунок похож, а чем отличается от того, который нарисован на доске, а, значит, насколько он получился.

И дети с огромным удовольствием ищут эти сходства и эти различия. Ищут индивидуально и коллективно. Споря с собой и возражая друг другу.

"Чем похожи?.. Клеточек столько же... Там три и у меня три... И загибается фигурка в ту же сторону..."

"Замечательно! - восторгается учитель. - Как ты все хорошо видишь, и как у тебя все действительно похоже получилось!.. А чем не похожи?"

"Ну... там мелом нарисовано, а у меня ручкой..."

"А еще?"

"Там большие клеточки, а у меня маленькие..."

"А еще?"

"Ну, у меня криво как-то, и линии в разные стороны смотрят... И углы какие-то кривые получились... И неровное все..."

"Как здорово, что ты все это увидел! А можешь попробовать нарисовать еще раз - так, чтобы, и линии ровными получились, и углы прямые? Только возьми для этого тонкий-тонкий карандаш, или ручку, которая писала бы тоненько-тоненько!"

ШАГ 10. Коррекция ориентации.

Весьма распространенной ошибкой, которую допускают некоторые дети при воспроизведении по памяти даже простых фигурок является та, что ребенок не может воспроизвести ориентацию фигурки в пространстве - "хвостик", который на демонстрационном чертеже загибался влево, у ребенка загибается вправо и т.д. И некоторые дети не могут этого заметить даже после того, как фигурка окончательно предъявляется им для сравнения со своим чертежом - как правило, это дети с нарушенной право-левой ориентацией.

Таким детям требуется специальная индивидуальная работа, во время которой рисунок ребенка накладывается на исходный - так, чтобы один просвечивал сквозь другой (скажем, на фоне светлого окна или лампы). Естественно, что при этом демонстрационный рисунок и рисунок в тетради должны рисоваться в одном масштабе, чтобы несовпадение конфигураций при наложении рисунков друг на друга было очевидным. В результате такого рода работы у ребенка достаточно быстро происходит коррекция пространственной ориентации.

Рисунок 4.

Пример воспроизведения фигурки рукой ребенка, когда в процессе перерисовывания оказалась сменена ориентация фигурки в пространстве.

Шаг 11. Тонко и точно.

К слову замечу: тренировка способности рисовать тонкую и уверенную линию у себя в тетрадях при копировании загаданных фигурок – это и тренировка мелкой моторики руки, и тренировка что можно назвать "графическим зрением". Но самое главное - у ребенка продолжается формирование элементарного представления о математической погрешности: какая степень кривизны линий и углов может считаться допустимой, а какая является заведомо недопустимой при моделировании ребенком элементарного математического объекта у себя в тетради.

Естественно, что границы такого рода погрешности условны. Но важно, чтобы у ребенка формировалось ощущение собственного движения от большей погрешности к меньшей по мере формирования визуальной и графической культуры.

А для этого требуется, чтобы с самого начала стремление к максимальной точности рисуемоей линии было заложено в ребенка как ценность. Надо постоянно подчеркивать успехи ребенка по мере того, как его графика становится более уверенной и красивой, и всячески поощрять эти успехи, наряду с собственно математическими успехами по расшифровке и символическому описанию различных графических реальностей.

Кстати говоря, несколько слов о чертежных инструментах, которыми пользуется первоклассник.

Почему-то принято считать, что главное достоинство детских учебных принанадлежностей состоит в том, чтобы они были яркими и внешне привлекательными. При этом практически игнорируется вопрос о точности этих инструментов. Я настаиваю, однако, что первоклассник с первого дня учебы должен учиться обращаться с качественными чертежными инструментами.

Прежде всего это относится к качеству карандаша - это должен быть остро заточенный карандаш с неломким грифелем. Край линейки, которой пользуется ученик, должен быть тонким и плотно прилегающим к бумаге. Измерительные деления должны быть профессионально четкими.

Кроме того в арсенале первоклассника обязательно должна быть перьевая ручка с качественным пером, способным обеспечить тонкую и легкую, "безнажимную" линию письма или чертежа (понятно, что шариковая ручка для этого совсем не подходит - она продавливает бумагу) и цветные остро заточенные карандаши для штриховки и рисунков. Можно, конечно, использовать фломастеры, но следует помнить, что их след слишком ярок и просвечивает на другой стороне тетрадного листа.

Важнейшее умение, которому должен научиться первоклассник уже на самом первом этапе - это умение обводить у себя в тетради контуры различных фигурок без помощи линейки. При этом линия должна быть максимально ровной и точной, строго следующей по фабричным линиям тетрадного листа. Это умение сформируется далеко не сразу, и крайне важно, чтобы с первого дня учебы у ребенка была сформирована установка на формирование такого рода умения.

ШАГ 12. Попытка символической записи.

Но вот фигурки начерчены, сравнение и коррекция произведены. Что дальше?

А дальше наступает чрезвычайно важный момент, когда ребенку предлагается описать нарисованную им фигурку символическим образом.

"А сможет ли кто-нибудь подписать получившийся рисунок - обозначить количество нарисованных клеточек с помощью цифр?"

В сущности говоря, нарисованная учителем (а вслед за ним и детьми) фигурка есть не что иное, как элементарный математический объект - элементарная математическая реальность. Даже если она состоит всего из трех клеточек. А важнейшая абстракция, которая должна сформироваться у ребенка в процессе освоения математики, это как раз представление о том, что символическая математическая запись не беспредметна - у нее всегда есть некое реальное содержание, которое и описывается с помощью математической символики.

Предлагаемая нами "клеточная математика" вся основана, с одной стороны, на графической трансформации элементарных математических объектов (различных фигурок, состоящих из клеточек), а, с другой стороны, на постоянном символическом описании происходящих в реальности преобразований.

Поэтому важнейшее правило, которое учитель вводит уже на первых занятиях: рисунок всегда должен быть подписан.

Иначе говоря, ребенок не имеет права нарисовать какую-то фигурку и не описать ее с помощью математической символики. А элементарное описание элементарной фигурки - это обозначение количества клеточек, из которых состоит эта фигурка, с помощью цифр.

Попросту говоря, под фигуркой из трех клеточек должно появиться символическое обозначение этой фигурки с помощью цифры "3", под фигуркой из четырех клеточек - обозначение "4" и т.д., включая многозначные числа, т.е. те, для записи которых требуется несколько цифровых значков. И отныне это правило должно соблюдаться всегда: любой графический контур, появляющийся у ребенка в его тетради по математике, обязательно должен быть символически подписан.

Число и цифра.

Кстати говоря, а что это значит – “подписать число”?

За этим словосочетанием скрывается одна из труднейших для детского понимания математических проблем: проблема числа и его символической записи.

Увы, слишком часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда ребенок, вполне успешно, казалось бы, прошедший обучение в начальной школе, совершенно не понимает различие между числом и его символической записью. Он не понимает, что число - это всегда какая-то реальность, а символическая запись (с помощью одной или нескольких цифр, а также с помощью других математических символов) - это всего лишь описание, способ фиксации первичной математической реальности.

Даже в среднем и старшем звеньях школы многие учащиеся зачастую не видят особой разницы между "числом" и "цифрой", либо наивно полагают, что "цифра - это когда до десяти, а число - это когда десять и больше".

Более того, даже в школьных математических учебниках учащимся рекомендуется порою... "складывать цифры". В частности, в известном правиле про то, какие многозначные числа делятся нацело на три: те, у которых “сумма цифр” делится на три.

Но ведь это же чушь несусветная! Цифра - это всего лишь символическое обозначение некоей числовой реальности, способ графической фиксации и описания этой числовой реальности. Поэтому операция по "сложению цифр" - это операция немыслимая с точки зрения реального математического объекта. Складывать можно не цифры, а исключительно числа, обозначаемые цифрами.

А непонимание этого обстоятельства детьми может иметь достаточно серьезные последствия для понимания всей математики. В частности, в понимании феномена так называемого “многозначного числа”.

Шаг 13. Многозначные числа..

В первом классе традиционной школы довольно большое внимание уделяется освоению позиционной системы записи в десятичной системе исчисления.

Однако факт заключается в том, что не только дети первого класса, но и дети гораздо более старшего возраста так и не понимают до конца, что же такое десятичная система исчисления и что же такое “многозначность числа”. И особенно отчетливым это непонимание становится тогда, когда возникает необходимость освоить какую-то другую систему исчисления – например, двоичную или двенадцатиричную.

Детям обычно объясняют, что двузначные числа – это те, которые записываются двумя значками, трехзначные - тремя, четырехзначные – четырьмя, и т.д.

Однако при этом дети, как правило, отождествляют число с его цифровой записью в десятичной системе исчисления, и потому искренне полагают (даже учась в старших классах средней школы!), что, допустим, число десять всегда является двузначным числом, а число пять всегда является однозначным.

Больше того, они полагают, что “однозначность” или “двузначность” – это, так сказать, атрибутивный (неотъемлемый!) признак самого числа.

Спроси такого ученика: “Число десять является однозначным или многозначным?”, - и он, не моргнув глазом, ответит: “Конечно, многозначным!”

И он не виноват. Его так научили.

Но ведь это же полнейший абсурд, потому что само по себе число не является ни однозначным, ни многозначным. Однозначной или многозначной может являться только символическая запись этого числа. И естественно, что в разных системах записи одно и то же число может оказаться записано разным количеством знаков.

Скажем, число десять оказывается двузначным в позиционной записи так называемыми “арабскими цифрами”, но при использовании, допустим, “римских цифр” это число записывается с помощью одного-единственного знака: литеры X. Зато в двоичной системе счисления число “десять” придется записывать не двумя, а неизмеримо большим количеством знаков. Равно как многозначным окажется здесь число пять.

В том-то и состоит суть дела, что “однозначным” или “многозначным” является не само число, а исключительно способ его записи. И потому “многозначным” мы называем то число, которое в данной системе записи записывается с помощью нескольких знаков.

Однако учащиеся начальной школы накрепко усваивают, что сами числа являются “однозначными” или “многозначными”.

Шаг 14. “Арабская” запись.

К слову про "арабскую запись".

Любому школьнику хорошо известно, что цифры, которыми пользуется современная математика, - это так называемые "арабские цифры" (в отличие от "римских цифр", которые так же известны любому образованному человеку).

Но вот незадача: если у римлян действительно были в ходу соответствующие значки, то в арабской культуре ничего похожего на принятое нами написание цифровых обозначений мы не находим.

Но что же в таком случае скрывается за общеизвестной отсылкой к арабскому происхождению всем известной группы символов? Похоже, что арабское происхождение имеют не сами символические значки-цифры, а принцип позиционной цифровой записи при фиксации больших ("многозначных") чисел.

В самом деле, чтобы прочитать ту или иную цифру внутри многозначной записи, прежде всего требуется определить, какую позицию занимает эта цифра. А позиция определяется как раз специфически “арабским” отсчетом справа налево (в полном соответствии с арабским принципом письма).

Скажем, двойка будет читаться как "два" лишь в том случае, если она занимает первую позицию справа (например, в записи 32, 152 и т.д.). Если, однако, двойка занимает вторую позицию справа, она уже будет читаться иначе - "двадцать". И будет обозначать совсем другое число (например, в записи 28, 127 и т.д.).

Поэтому, ведя символическую запись, следует обратить внимание учащихся на эту странную многозначность функционирования цифры в арабской записи - то, что называется "позиционностью". Оказывается, правильно прочитать цифру можно только зная, на каком месте справа эта цифра находится.

Шаг 15. Позиционные эксперименты.

Чтобы подчеркнуть значимость этой позиционности, можно предложить игру.

Учитель записывает цифру 1 и спрашивает детей: какое число я записал с помощью этой цифры?

Что за вопрос! Дети, естественно, дружно кричат: “один!”.

“Вы уверены что эта цифра означает “один”?” - коварно настаивает учитель.

“Да!” – кричат дети.

“А теперь смотрите внимательно: я не прикасаюсь к этой цифре, я сохраняю ее неизменной, но… записываю рядом с нею нолик. Вы по-прежнему уверены в том, что цифра 1 означает число один?”

Есть над чем задуматься! Ведь получилось, что та же самая цифра, к которой даже не прикоснулась рука учителя, стала обозначать что-то существенно другое! Только потому, что справа от нее появилась какая-то другая цифра.

Причем, если бы дополнительная цифра появилась слева, с цифрой один ничего бы не произошло. Она по-прежнему означала бы только то, что означала в самом начале.

Да это же самый настоящий фокус!

И можно предложить детям целую серию заданий на изменение смысла цифр через изменение их позиционности. Добавляй с разных концов другие цифры и удивляйся тому, как при этом меняется содержание исходного знака.

А можно и не цифры добавлять, а… места.

К примеру, делаем такую запись: _5_ . Договариваемся, что каждая черточка означает пропущенную цифру в записи трехзначного числа, и спрашиваем: “какое число означает цифра “5” в этой записи?”

Понятно, что в данном конкретном случае цифра 5 означает число пятьдесят. Несмотря на то, что две цифры пропущены.

Таким образом, может получиться целая серия увлекательных заданий.

ШАГ 16. Число и цифра: коррекция понимания.

Но вернемся к пресловутому "сложению цифр".

Ведь если цифра - это всего лишь символическая графическая запись числа, то “сложение цифр” – это не что иное, как соединение друг с другом неких цифровых графем, и ничего более. И эта процедура не имеет ровным счетом никакого отношения к операции математического сложения чисел.

Скажем, если к графеме двойки мы присоединим графему пятерки, мы заведомо не получим ни цифру семь, ни число семь. В известных случаях мы можем получить символическую запись числа 25 или числа 52, но в большинстве других случаев у нас получится просто более или менее замысловатый графический узор. Вот что такое “сложение цифр”, если мы грамотно употребляем слово “цифра”.

Можно предложить несколько простых упражнений на проверку того, понимает ли маленький ребенок, чем принципиально отличается число от цифры.

Например, можно нарисовать на доске огромную единицу и малюсенькую девятку и спросить: какая цифра больше?

Если ребенок с уверенностью укажет на девятку, это будет означать лишь то, что в его сознании числа и цифры – не различаются, и он не понимает глубинной и принципиальной разницы между ними.

То, что число девять больше числа один – это понятно. И, соответственно, значение девятки больше, чем значение единицы. Но вопрос-то был поставлен не о том, какая из двух цифр скрывает большее числовое значение, а о том, какая цифра больше. А, следовательно, был поставлен вопрос о сравнении величины двух графем.

Увы, не только учащиеся, но и учителя начальной школы зачастую не улавливают этой разницы. А это значит, что в самом основании школьной математики оказываются перекошенные кирпичи.

Впрочем, исправить такое положение дел возможно. Правда, не словесными разъяснениями, а с помощью специальных задач, способных спровоцировать работу детского интеллекта на понимание данной проблемы.

Например, можно нарисовать на доске маленькую единицу и большую единицу и спросить: а сейчас какая цифра больше? И специально подчеркнуть голосом слово “цифра”.

Пожалуй, на этот раз правильно ответить на поставленный вопрос будут легче: речь, оказывается, идет о размерах письменного символа! Однако потребуется еще немало тренировочных упражнений, прежде чем различие числа и цифры дойдет в сознании ребенка до глубины внутреннего образа; т.е. когда он начнет ощущать это различие на уровне внутренней очевидности, и, вместе с тем, уловит то главное основание, по которому можно вести сравнение величины цифр - графические размеры.

Можно предложить и составление различного рода таблиц. Пусть дети попробуют одно и то же число записывать с помощью различных символических средств: в одну колонку - с помощью палочек (а из палочек - хотя бы домики строить, один домик - восемь палочек); в другую - с помощью точек (да располагать точки квадратиками, один квадратик - девять, шестнадцать или двадцать пять точек); в третью - с помощью слов (так и записывать числа: "двадцать три", "тридцать восемь" и т.д.), в четвертую - с помощью римских цифр, и лишь в пятую - традиционной "арабской" записью. (см. рис.5)

Впрочем, существует одно непреложное условие того, чтобы у ребенка произошло формирование внутреннего образа числа: математическая культура речи учителя. Ведь если сам учитель допускает в своей речи неграмотное, вульгарное в математическом смысле словоупотребление, никакие упражнения не помогут.

Рисунок 5.

На рисунке приведена элементарная таблица с различными способами презентации одного и того же числа. Составление такого рода таблиц позволяет ребенку уловить, что такое символическая запись по сравнению с самим числом.

Шаг 17. Принцип знаменателя.

Еще раз подчеркну: математика повествует нам о некоторых универсальных (количественных) законах взаимоотношения объектов. Если мы, допустим, к пяти единицам "чего-то" прибавим пять единиц "того же самого", у нас всегда получится 10 единиц "того же самого", чем бы это "что-то" ни было.

Единственный запрет, который при этом вводит математика - это запрет на нарушение качественной определенности складываемых объектов: нельзя к пяти шляпам прибавить пять стаканов без изменения смыслового знаменателя или определителя.

Так, сумму шляп и стаканов можно определить только в том случае, если для них будет найден некий общий смысловой знаменатель - например, "предметы".

Вроде бы банально и элементарно.

Тем не менее, для многих школьников здесь прячется непреодолимая трудность. Фундаментальное математическое правило об общности смыслового знаменателя им совершенно неведомо, и многие на вопрос о том, “сколько получится, если к пяти шляпам прибавить пять стаканов?”, с уверенностью воскликнут: "Конечно, десять!".

А "чего" десять - это для них уже совершенно не важно.

Они выучили когда-то, что пять плюс пять - это всегда десять, и с радостью воспроизводят некогда полученное знание, искренне не понимая, что получившееся в результате утверждение является полной бессмыслицей.

Они совершенно не озабочены поиском общего смыслового знаменателя складываемых объектов, т.е. общего знамени, имени, которое могло бы связать между собой "шляпы" и "стаканы". А современные математические учебники для начальной школы нимало не озабочены тем, чтобы научить ребенка решать такого рода задачи на обнаружение смысловых знаменателей - ведь проблема эта, по сути дела, глубоко филологическая, а у нас, как известно, существует жесткое разделение между математическим и филологическим "цехами" школьного обучения.

Но ведь поиск общего смыслового знаменателя - это фундаментальная филологическая проблема именно математического, а не какого-либо иного знания!

Любой математически образованный человек откажется от решения задачи на "прямое" сложение шляп и стаканов, но предложит некую предварительную процедуру по переобозначению слагаемых.

Например: "Что получится, если сложить пять предметов, именуемых шляпами с пятью предметами, именуемыми стаканами?" И уже без всякого труда ответит на поставленный вопрос: "Десять предметов!".

И уже неважно, что пять из них - шляпы, а пять - стаканы. Почему? Да потому, что найден общий смысловой знаменатель шляп и стаканов, и этим общим смысловым знаменателем стало слово “предметы”.

Замечу в скобках, что абсолютно та же самая проблема (а вовсе не какая-то новая) возникает у детей тогда, когда уже в пятом классе они начинают изучать сложение простых дробей и никак не могут уяснить себе, почему нельзя “складывать знаменатели”, а нужно искать некий "общий знаменатель".

И вот, он прибавляет к двум четвертым три вторых, и у него получается… пять шестых.

2/4 + 3/2 = 5/6

А ведь это все равно, как если бы мы к двум столам прибавили три стула и у нас получилось пять холодильников.

Ведь знаменатель в дроби - это и есть не что иное, как имя, знамя дроби.

И складывать "две половинки" с "тремя четвертинками" - абсолютно то же самое, что складывать два стакана с тремя шляпами. Предварительно нужно найти общий знаменатель - то общее имя, которое позволило бы осуществить эту акцию сложения...

И если для стаканов и шляп таким общим знаменателем будет слово “предмет”, то для половинок и четвертинок таким общим знаменателем могут оказаться четвертинки, коль скоро каждую половинку можно представить как сумму двух четвертинок.

Между прочим, у любого целого числа тоже есть фактический знаменатель, и этим знаменателем является… единица - единица как фундаментальное число, "единица чего-то".

Потому-то мы и можем складывать любые целые числа: у них у всех есть общий знаменатель, и этим общим знаменателем является слово “единица”. “Единица” – это универсальный знаменатель всему. Это неизмеримо более универсальный знаменатель, нежели слово “предмет” или слово “явление”. Единица – это поистине все.

Поэтому когда мы складываем, допустим, целые числа “пять” и “шесть” – что мы складываем? Мы складываем все, что угодно. Мы складываем пять единиц чего бы то ни было с шестью единицами того же самого. И, таким образом, принцип общего знаменателя безусловно работает.

И именно по той же самой причине каждое целое число можно записать - по аналогии с дробными числами - в виде дроби.

Просто в знаменателе будет единица.

Например, число "пять" - как 5/1, что можно прочитать как "пять целых единиц" или "пять первых". По аналогии с записью 5/2, которая читается как "пять половинок" или "пять вторых").

Однако никто из взрослых - учителей, методистов, составителей учебников, родителей - не удосуживается сообщить об этом ни первоклассникам, ни второклассникам.

Возможно потому, что сами об этом не подозревают.

ШАГ 18. Модификации конфигурации..

После того, как моделирующая число фигурка подписана символическим обозначением, появляется новая возможность: представить данное число другими моделирующими конфигурациями.

При этом понятно, что, чем большим является число, тем большим количеством возможных конфигураций оно может быть представлено. (См. рис. 6)

. "Попробуйте придумать как можно больше фигурок, представляющих число один (два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять и т.д.)! Постарайтесь, чтобы формы фигурок были как можно более разнообразными. И давайте устроим соревнование: кто сумеет сочинить как можно больше различных фигурок, состоящих из данного числа клеточек, за единицу времени – скажем, за пятнадцать минут?"

Таким образом, уже не учитель рисует модель числа, а самим детям предлагается придумать графические модели тех или иных чисел. Учитель просто называет число клеточек, которое должно быть в фигурке и предлагает детям создать как можно более интересные и разнообразные фигурки, провоцируя в детях моделирующую фантазию.

Сочиняя соответствующие фигурки, ребенок, фактически, исследует число. Ведь работая с различными конфигурациями того или иного числа, ребенок работает с его составом: каждая фигурка – это определенный способ представления состава числа (что может быть записано символическим образом).

И очень скоро ребенку становится понятно: чем больше число, тем в большем количестве конфигураций оно может быть представлено.

Скажем, не имеет графических вариантов число один. Оно оказывается представлено одной клеточкой.

Число “два” уже может быть представлено разными двумя конфигурациями, если позволить соединять клеточки не только сторонами, но и уголками.

Число “три” – это уже пять принципиально различных конфигураций.

Число “четыре” – не менее девятнадцати (!) (См. рис. 6).

А дальше количество возможных конфигураций возрастает по экспоненте и с трудом поддается исчислению.

Сама по себе задача придумывания новых типов конфигураций на одно и то же число чрезвычайно увлекательна, развивая внимание и пространственное воображение. Иногда ребенку будет казаться, что он сочинил новую фигурку, а на самом деле он просто изменил положение в пространстве фигурки, которая уже была, и принял тем самым старую фигурку за новую. Увидеть это бывает крайне нелегко. Поэтому в данном случае особенно эффективны коллективные формы работы: дети разбиваются на команды и задача каждой команды – изобрести как можно больше различных конфигураций на то или иное число. А при работе в коллективе легче не только сочинять, но и отсеивать “обманные” варианты

Так или иначе, но, ведя такого рода работу с различными числами натурального ряда, дети постигают тайны этих чисел в процессе собственного экспериментирования с фигурками, и чем больше вариаций на тему каждого числа будет осуществлено, тем более богатое ощущение числа окажется сформировано у ребенка.

Рисунок 6 а.

Единственно возможная конфигурация числа 1.

Рисунок 6 б

Две возможных конфигурации числа 2. Периметр левой фигурки – 6 условных единиц, периметр второй – 8 условных единиц

Рисунок 6 в

Пять возможных конфигураций числа 3.

Рисунок 6 г

Двадцать одна возможная конфигурация числа “четыре”. Попробуйте сами проверить: не затесалось ли среди них “обманного” варианта? А потом попробуйте придумать свой, двадцать второй – и вы увидите, насколько это нелегко.

ШАГ 19. Идея равенства.

В процессе поиска различных конфигураций, с помощью которых на тетрадной странице может быть смоделировано одно и то же число, учитель выводит детей на идею числового равенства.

Оказывается, все фигурки, которые представляют (моделируют) одно и то же число, можно назвать равными фигурками с точки зрения количества составляющих эти фигурки клеточек (а, значит, и с точки зрения занимаемой ими площади, как выяснится потом).

А это значит, что все возможные конфигурации одного и того же числа можно связать знаком равенства.

Ребенок, занимающийся поиском новых графических конфигураций числа, фактически занимается перекомбинацией элементов, из которых состоит уже найденная фигурка, и ребенок должен научиться видеть (с помощью учителя), что две неодинаковые фигурки можно назвать равными, если равна сумма составляющих их элементов.

Итак, ребенок связывает все свои графические вариации на тему какого-то числа с помощью знаков равенства, указывая тем самым, что новая фигурка образуется посредством перекомбинации элементов (клеточек) старой, без добавления или исчезновения каких-то элементов.

Но при этом важнейшим условием по-прежнему является то, что, связывая знаком равенства графические модели числа, ребенок одновременно должен осуществлять символическую запись.

Например, вырисовав и связав знаками равенства ряд из пяти фигурок, по-разному представляющих число три, ребенок тут же осуществляет чисто символическую запись: 3=3=3=3=3. (Рис. 7)

И, что характерно, запись эта выглядит для ребенка глубоко осмысленной, в отличие от ребенка в традиционной системе обучения - ребенка, который "понимает" смысл записи 1+2=3, но совершенно отказывается понимать смысл записи 3=3.

Рисунок 7.

Пять возможных конфигураций трех, связанные знаком равенства

Шаг 21. Пространство числа.

Сочиняя различные варианты клеточного представления каждого числа, ребенок очень скоро обнаружит некоторые закономерности.

Например, обнаружатся числа, которые очень легко “упаковываются” в прямоугольные фигурки, а обнаружатся и такие, которые никак не получается представить в прямоугольном формате (за исключением того случая, когда стороной прямоугольника является одна клетка).

И не важно, что ребенок пока не знает, что последние числа называются “простыми”. Важно то, что он на кончиках своих пальцев и своего зрения обнаружил феномен простого числа!

Особое задание, которое можно дать продвинутым детям: найти все числа от одного до ста, которые можно представить в виде прямоугольника со стороной в две клетки. Или со стороной в три клетки. Или со стороной в пять клеток и т.д.

Впрочем, пройдет совсем немного времени, и с этим заданием будут справляться все дети без исключения. Это еще не таблица умножения, но это уже предощущение таблицы умножения. А самое главное – это постижение феномена числа и переживание удивления числом.

Одним из результатов такого рода работы становится создание своего рода "банка форм" или "банка конфигураций" на каждое число; при этом, что принципиально, создателями и “вкладчиками” этого банка становятся сами дети.

Можно даже организовать выставку, на которой будут представлены вырезанные из детских тетрадей модели каждого числа. Благодаря этой выставке дети будут пытаться сочинять такие конфигурации, которые еще не сочинил никто.

Понятно, что по мере возрастания количества клеточек количество возможных конфигураций возрастает практически до бесконечности; но сам по себе процесс поиска, открытия новых возможных конфигураций - весьма продуктивная деятельность для формирующегося математического сознания маленького ребенка. Единственное, за чем следует самым внимательным образом следить - это за тем, чтобы каждый рисунок сопровождался символической записью: ОБОЗНАЧЕНИЕМ каждой очередной фигурки с помощью известных ребенку математических символов.

Таким образом, развитие самой способности графического выведения цифр на листе бумаги, т.е. способности символической записи различных чисел (в том числе, чисел, обозначаемых многозначно) совершается в процессе индивидуально-авторской работы с усложняющимся пространством клеточных фигур. А само число предстает как модельное множество фигур разнообразной конфигурации.

Шаг 22. Модельные фантазии

Понятно, что, рисуя графические модели больших чисел, дети начинают всячески изощряться в поиске необычных конфигураций. Это будут фигурки с пустотами, фигурки-орнаменты, фигурки, напоминающие силуэты человека или животных и т.п. И все это имеет право на существование. Дети должны почувствовать свою власть над фигуркой, и, вместе с тем, должны почувствовать, что возможности поиска новых конфигураций практически неисчерпаемы. Чем больше число, тем большим количеством способов его можно представить. И дети должны "оттянуться" в своей моделирующей фантазии.

Вместе с тем, моделирующая фантазия "без берегов" очень скоро приведет к странным пространственным парадоксам. В частности, будет получаться так, что фигурка из относительно небольшого количества клеточек, но содержащая пустоты, будет занимать значительное тетрадное пространство.

Но ведь фигурка, занимающая много места не за счет количества содержащихся в ней заштрихованных клеточек, а за счет многочисленных внутренних пустот - это визуально обманная фигурка! Она создает ложное ощущение количества содержащихся в ней клеток, а это будет неизбежно мешать процессу угадывания и идентификации фигур.

Несомненно, что в этой обманности есть свой математический смысл, связанный с проблемами их пространственного размещения. И дети безусловно должны столкнуться с той проблемой, что фигурки из одного и того же количества клеточек могут занимать существенно различные пространственные объемы.

В то же время пространственная размытость фигурок мешает точно угадывать их реальные объемы (количество содержащихся в них клеток), и это снижает их реальный моделирующий потенциал. Ведь важнейшая задача, которая должна решаться в процессе игр на угадывание количества клеток в различных фигурках, - это задача формирования соотносительных образов различных чисел. А пространственная размытость фигур мешает решению этой задачи.

ШАГ 23. Компакт-формат.

Чем больше число, тем неисчерпаемее варианты его графического представления. И по мере увеличения количества клеточек в фигурках происходит "обвальный" рост количества возможных конфигураций.

Однако важнейшая задача, которую должны научиться решать дети в процессе графического моделирования различных чисел - это задача представления чисел в максимально компактной графике - так, чтобы графическая модель числа занимала на листе бумаги как можно меньше места.

Когда графическую модель числа придумывает сам учитель, он должен стремиться к тому, чтобы его модель с самого начала имела более или менее компактный характер. Однако он не должен специально обращать на это внимание детей.

Наоборот, когда возникает необходимость спровоцировать в детях максимальную моделирующую активность, учитель подчеркнуто не придает фактору компактности рисуемых фигурок никакого значения.

Но после того, как дети самовыразились "на полную катушку", учитель вводит дополнительное дисциплинарное правило.

Обращаясь к детям с просьбой нарисовать модель очередного числа, учитель объявляет конкурс на наиболее компактную модель.

Но как определить, какая из двух фигурок, состоящих из одного и того же количества клеточек, является более компактной, нежели другая? Интуитивно это вроде бы понятно, но как эту интуицию донести детям?

Попробуем ввести такую аксиому: более компактной из двух, состоящих из одинакового количества клеточек, будет считаться та фигурка, у которой окажется меньшим периметр, т.е. длина той линии, которая очерчивает ее форму.

Если мы примем в нашей моделирующей графике за условную единицу (у.е.) периметра сторону одной клеточки, мы сможем определять периметр любой клеточной фигурки в количестве таких сторон, составляющих контур этой фигурки.

Возьмем для примера несколько фигурок из четырех клеточек (См. Рис.6)

Совершенно очевидно, что наиболее компактно выглядит среди них квадрат: если у всех прочих фигурок длина периметра составляет до 16 единиц, то у квадрата она оказывается лишь 8 единиц.

Шаг 24. Тренинг определения компактности.

В плане тренировки можно дать детям целую серию заданий на определение самой компактной фигурки из представленной группы.

Скажем, у всех фигурок, представляющих число четыре, определить величину периметра в условных единицах и разместить фигурки в такой последовательности, чтобы происходило увеличение их компактности.

Рисунок 8

Девятнадцать конфигураций числа “четыре”, выстроенные в порядке увеличения компактности (уменьшения периметра). Среди них пять фигурок имеют периметр 16 условных единиц, пять фигурок – 14 условных единиц, шесть фигурок – 12 условных единиц, четыре фигурки – 10 условных единиц и одна фигурка – 8 условных единиц

И то же самое сделать со всеми другими фигурками, находящимися в “банке конфигураций”.

А уже на следующем этапе детям предлагается рисовать фигурки с заданным количеством клеточек, но при том с самого начала пытаться упаковывать их в наиболее компактный формат.

"Дети! Придумайте и нарисуйте у себя в тетрадях фигурку из сорока клеточек, но так, чтобы ее периметр оказался наименьшим из возможных!"

Естественно, что и эту задачу можно решить различными способами, но в любом случае установка на максимально компактный характер рисуемых фигурок - это задача, призванная организовать пространственное мышление ребенка и помочь его сознанию в формировании соотносительных образов величин. Поиск наиболее компактного формата – это особая задача, развивающая математическую интуицию и счетные способности ребенка.

Важно при этом, что любая пространственно размытая фигурка может быть переформатирована в компакт-формат. Поэтому особое задание, которое учитель может дать детям - это задание переформатировать в компакт-формат все фигурки, которые есть у них в тетрадях. И, надо сказать, дети делают это с большим интересом: фигурка, которая занимала много-премного места, "упаковывается" на совсем незначительную площадь, а представляемое этой фигуркой число (число клеточек в этой фигурке) остается прежним.

Только не надо забывать про знак равенства: осуществляя процесс переформатирования, ребенок обязательно должен связать исходную и конечную фигурки знаком равенства, и точно так же связать знаком равенства символические записи чисел под этими фигурками, имея в виду, что эти фигурки состоят из одинакового количества клеточек.

В целом введение компакт-формата - это важный ограничитель, способствующий более эффективному установлению количественных соотношений в сознании ребенка. И потому дальнейшая работа с фигурками должна проходить с ориентацией на компакт-формат.

ШАГ 25. Преобразование в прямоугольник.

Важнейший вариант компактной "упаковки" фигурок - их упаковка в прямоугольный формат. Ведь в этом случае предельно облегчается процедура обсчета этих фигурок, а кроме того обнажается внутренняя структура числа, поскольку число разбивается при этом на равные группы клеточек.

Правда, введение феномена умножения как процедуры, оптимизирующей процесс счета, будет предложено в последующих главах. Пока же детям предлагается просто поискать различные способы преобразования (переформатирования) тех или иных фигурок в прямоугольники. Причем всякий раз, когда учитель дает на преобразование очередную фигурку, он просит детей постараться обнаружить все возможные варианты прямоугольников, которые можно будет образовать из этой фигурки.

Дети, разумеется, даже не подозревают, что они тем самым занимаются не чем иным, как разложением числа на множители и поиском всех возможных множителей. Но когда преобразование числа в прямоугольник уже совершено, учитель может предложить детям новый вариант символического описания получившейся фигурки. С помощью знака умножения (когда количество клеток в одном параллельном ряду, из которых состоит прямоугольник, умножается на количество самих этих рядов).

Важно подчеркнуть, что таким образом можно описывать только прямоугольники, а не каких-либо иные фигуры. Последнее чрезвычайно важно, поскольку в противном случае маленький ребенок будет готов описывать с помощью знака умножения любые фигурки не прямоугольной конфигурации. Например, прямоугольник с "вырезанной клеточкой.

Рисунок 9.

На рисунке представлены несколько возможных вариантов представления числа одиннадцать и числа двенадцать. Принципиально важно, что число одиннадцать можно “упаковать” в прямоугольник только одним способом (11х1), тогда как число двенадцать можно “упаковать” в прямоугольник тремя различными способами (12х1, 6х2, 4х3). Однако на первых порах дети не склонны стремиться к прямоугольному формату, предпочитая более “растрепанные” формы фигурок.

Из трех представленных вариантов одиннадцатиклеточного числа наиболее компактной является вторая фигурка (периметр 14 условных единиц), а наименее компактной фигурка прямоугольного формата (24 условных единицы), хотя в принципе возможно построит одиннадцатиклеточную фигурку периметром до 44 единиц.

“Растрепанная” фигурка из 12 клеточек, переведена в компакт-формат 3х4=12 и описана соответствующим образом. В первом случае периметр фигурки составляет 48 условных единиц, во втором – 14 условных единиц.

Шаг 26. Описание умножения.

Вообще говоря, следует иметь в виду, понимание феномена умножения - достаточно непростой процесс для семилетнего ребенка. Как бы ни старался учитель, показывая и объясняя, что для описания прямоугольной фигурки с помощью умножения требуется вначале обозначить количество клеточек в одном ряду (разумеется, имеются в виду РАВНЫЕ ряды), а затем, после знака умножения - количество самих этих рядов, ребенок все равно будет на первых порах путаться.

Например, сосчитав клеточки в одном ряду, будет записывать после знака умножения количество ОСТАВШИХСЯ рядов (т.е. тех рядов, в которых им не были сосчитаны клеточки). В этом случае прямоугольник 3х4=12 он вполне может описать как 3х3=12.

Рисунок 10.

Пытаясь описать прямоугольник 3х4=12 с помощью процедуры умножения, ребенок сосчитал количество клеток в первом вертикальном ряду, умножил их на количество оставшихся рядов (на три): 3х3. Это одна из типичных ошибок: ребенок не удерживает, что фигурка состоит из четырех рядов по три клеточки в каждом.

Другой распространенный вариант ошибки - это когда ребенок "умножает" (т.е. записывает с помощью знака умножения) количество клеточек в одном ВЕРТИКАЛЬНОМ ряду на количество... ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ рядов. И в этом случае прямоугольник 3х4=12 он может описать как 4х4=12.

Рисунок 11.

Еще одна типичная ошибка.

Прямоугольник 3х4=12 описан ребенком как 4х4=12, поскольку он вначале сосчитал количество клеточек в горизонтальном ряду, а затем умножил их на количество… вертикальных рядов!

И, наконец, достаточно часто дети пытаются описать с помощью значка умножения фигурки, которые вообще не являются прямоугольниками, а лишь похожи на прямоугольник (но при этом в каких-то рядах не хватает клеточек). Дети, однако, уверенно описывают эти фигурки так, как будто все ряды являются полными. Например, фигурку 3х4+2=12+2=14 они записывают как 3х5=14.

Рисунок 12.

Ребенок не замечает, что в фигурке 3х4+2=14 только четыре полных ряда, и потому он описывает ее как 3х5=15

Замечу, кстати, что при всех этих нарушениях правил символического описания фигурок с помощью умножения общее количество клеточек в соответствующих фигурках указывается детьми правильно. Это связано, с тем, что дети ни в коем случае не пользуются никакой таблицей умножения (о ее существовании они просто пока не подозревают), а просто ведут пошаговый подсчет клеточек в фигурке. Иначе говоря, он занимается тем, что, работая с прямоугольными фигурками открывает феномен умножения задолго до того, как знакомится с фактом существования “таблицы умножения”.

На данном этапе ребенок только еще примеривается к новой символической записи, новому способу символического описания, и становление его понимания этой достаточно сложной процедуры требует времени.

Кстати говоря, это крайне важно специально подчеркнуть: принцип умножения появляется у нас вовсе не как СЧЕТНЫЙ принцип, а исключительно как особый принцип описания каких-то фигурок. Что касается традиционной школы, то там умножение вводится чисто инструментально: как процедура, облегчающая счет, когда не надо какое-то число многократно складывать с самим собой, а достаточно воспользоваться услугами этой самой таблицы умножения. Но вообще это большая беда, когда счетные процедуры опережают процедуры понимания, а именно это, повторюсь, является одной из самых опасных и запущенных болезней школьной математики. Наша же идея состоит в прямо противоположном: оптимизация счета должна лишь на основе сформированных структур понимания - понимания идеи или принципа сложения, умножения, деления или самого равенства.

Шаг 27. Равенство как тождество.

Между прочим, в работе по символическому описанию прямоугольника впервые возникает двойное описание одной и той же фигурки.

Оказывается, количество клеточек в фигурке можно записать двумя принципиальными способами - как количество клеточек в одном ряду, умноженое на количество рядов и просто как общее количество клеточек. А поскольку в том и в другом случаях описывается одна и та же фигурка, это означает, что числа, скрывающиеся за этими двумя символическими записями, равны. И, следовательно, эти две записи можно связать знаком равенства.

Но, таким образом, возникает новая трактовка равенства - не только равенство различных объектов (которые оказываются равными по количеству содержащихся в них клеточек) записывается с помощью значка равенства, но и… разные способы описания одного и того же количества (тогда, когда происходит описание ТОЖДЕСТВА объекта самому себе).

И надо честно сказать, что такая трактовка равенства как самотождественности объекта оказывается более трудной для детского понимания, нежели идея количественного равенства разных объектов.

Впрочем, о философии и психологии этого вопроса речь еще впереди.

ШАГ 28. Конфигурационное лото.

Один из возможных вариантов работы - подготовка специальных карточек, на которых представлены числовые фигурки различной конфигурации и самых разных, в том числе достаточно больших численных значений. Естественно, что карточки сочиняются и рисуются самими детьми. Важно при этом проследить, чтобы все фигурки этого конфигурационного лото были представлены в компакт-формате (хотя варианты этого компакт-формата могут быть, разумеется, разными).

Кроме того важно организовать учебную деятельность с этими карточками так, чтобы во внеучебное время у детей появилась потребность играть с этими карточками в своеобразную "числовую угадайку", когда дети сами, без участия учителя распределяют между собой пакет карточек с нарисованными на них числовыми фигурками различной конфигурации, а затем по очереди предъявляют эти карточки друг другу с просьбой угадать нарисованное число. Между прочим, эта игра достаточно интересна и для детей более старшего возраста. Регулярная работа с таким "портфелем карточек" позволит достаточно быстро сформировать у любого ребенка как "графический образ" числа, так и способность эффективного пошагового счета.

Наличие у каждого ребенка большого количества сделанных им карточек такого рода конфигурационного лото позволяет детям играть и в игру на загадывание различного рода числовых последовательностей.

ШАГ 29. Числовые последовательности.

Особый способ введения в мир чисел - через предьявление детям разных типов числовых последовательностей. Это когда числа, моделируемые фигурками, предъявляются не вразброс, а в какой-то выстроенной последовательности, начиная от простейшей последовательности натурального числового ряда (1, 2, 3, 4, 5, 6...). В таких случаях ребенок должен отгадывать не только предъявляемые ему числа, но и ту или иную скрытую числовую закономерность.

При этом учитель может не предупреждать детей о том, что в предъявляемом им ряде чисел скрыта какая-то закономерность и ждать, когда дети сами догадаются, что предъявялемые им числа идут не в произвольном порядке, а выстроены в некий закономерный ряд. В этом случае надо просто ждать момент, когда у какого-то ребенка произойдет инсайд и он предъявит эффект "опережающего отражения": догадается, какое число будет предъявлено следующим еще до того, как это число будет предъявлено.

Например, учитель предъявляет детям последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9... И наиболее сообразительных детей не надо предупреждать о том, что здесь спрятана числовая закономерность - они и сами об этом догадаются.

Однако для некоторых детей потребуется специально выложить ряд из предъявленных фигурок и настойчиво попросить догадаться, какое число (разумеется, моделируемое фигуркой) будет следующим в этом ряду. А если по лицу ребенка видно, что он не решается ответить, нужно сделать еще один или несколько шагов - добавить одну или несколько фигурок этого ряда.

Чтобы понимание возникло даже у самых слабых детей, можно вначале предложить фигурки однотипной конфигурации - каждая очередная фигурка принципиально сохраняет форму предыдущей, и лишь с одного края к ней добавляются две дополнительные клеточки.

Рисунок 13.

Пример последовательности однотипных фигурок, в которой зашифрована определенная числовая последовательность.

В этом случае каждый новый шаг, связанный с приращением двух новых клеточек, будет ОЧЕВИДЕН практически любому ребенку, и он сможет без особых проблем догадаться, какая же именно закономерность оказалась здесь скрыта. И лишь после этого ту же последовательность можно предъявить с помощью фигурок, имеющих неоднотипную конфигурацию.

Рисунок 14.

Пример последовательности неоднотипных фигурок, в которой зашифрована определенная числовая последовательность.

Впрочем, если дети достаточно сообразительны, они без труда расшифруют столь простую последовательность, сколь бы не изощрялся учитель в конфигурации предъявляемых фигурок. И тогда наступает очередь других - более сложных, более запутанных, более изощренных числовых последовательностей.

ШАГ 30. Изобретение числовых последовательностей детьми.

После того, как дети "войдут во вкус", занимаясь разгадыванием самых разнообразных последовательностей, предлагаемых им учителем, у некоторых из них появится желание сочинять собственные последовательности. Учитель должен всячески поддержать это желание, идущее "снизу" и даже объявить конкурс на изобретение самых интересных последовательностей.

Естественно, что вначале детские изобретения могут оказаться не слишком удачными, и учитель должен будет заниматься терпеливой коррекционной работой: показывать, почему предложенный детьми числовой ряд "не вытягивает" на закономерную числовую последовательность. Но любой удачный ход требует безусловной поддержки от учителя.

Понятно, что первоначально дети будут ориентироваться на те типы числовых последовательностей, которые уже были предъявлены учителем. Например, если учителем была предложена последовательность 1,3,5,7,9..., а затем 1,4,7,10..., то дети могут предложить со своей стороны 1,5,9,13... - т.е. последовательность того же типа, но с новым числовым шагом. Или если учитель предложил числовую последовательность с "разнонаправленным" шагом (например, 1,3,2,4,3,5,4,6...), то и у детей могут появиться последовательности аналогичного типа.

В любом случае, важнейшее условие такого рода работы заключается в том, что последовательность на первых порах ни в коем случае не должна предъявляться чисто символическим образом, а должна подкрепляться визуальным графическим рядом. Только в этом случае ребенок будет ВИДЕТЬ сочиняемые им последовательности, а, значит, видеть спрятанные в различного типа поседовательностях числовые закономерности.

Во всяком случае, чисто символическая запись последовательности типа 1,3,2,4,3,5,4,6... оставляет детей равнодушными, а многие просто не понимают, не улавливают спрятанного в этой последовательности закона; когда же эта последовательность представлена графически, практически любой первоклассник без труда обнаруживает спрятанную в ней тайну.

ШАГ 31. Переформатирование фигурок в числовой последовательности.

Правда, в каких-то случаях последовательности могут оказаться слишком сложными и изощренными, и тогда от учителя потребуется специальная графическая демонстрация загаданного числового ряда с переформатированием моделирующих этот ряд фигурок - так, чтобы загаданная числовая закономерность была доведена до уровня очевидности.

Так, если конфигурация фигурок не позволяет сразу увидеть принцип изменения, заложенный в основание данной числовой последовательности, учитель может предъявить ту же самую числовую последовательность, но с помощью других фигурок - как это было описано в предыдущем шаге. При этом процесс переформатирования должен совершаться с использованием знака равенства: ребенок должен отчетливо видеть, что, заменяя данную фигурку фигуркой другой конфигурации, учитель сохраняет количество клеточек неизменным, а, значит, и моделируемая числовая последовательность остается той же самой числовой последовательностью - только определенным образом изменяется визуальный материал.

Практика показывает, что такого рода работа с графическими моделями чисел натурального ряда позволяет детям младшего школьного возраста почувствовать "вкус" числового моделирования, и, в частности, моделирования собственных числовых последовательностей, и уже в первом классе освоить последовательности достаточно сложные и красивые - например, арифметическую и геометрическую прогрессии.