Глава V.

ЛИЧНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО МОДЕЛИ.

ШАГ 1. Чувство числа.

Итак, в предыдущей главе была описана некоторая интрига, построенная вокруг процесса расчерчивания на демонстрационном листе графического пространства, призванного стать основой первичного математического моделирования на уроках математики в первом классе. Ниже будут описаны некоторые возможные шаги (еще раз подчеркну: именно возможные, а вовсе не обязательные), которые помогут превратить это графическое пространство в живую математическую модель, способствующую формированию у детей элементарных математических смыслов.

Это шаги, с помощью которых, с одной стороны, просто-напросто продолжается работа, начало которой было описано в предыдущей главе: шаг за шагом происходит все более глубокое математическое описание нарисованной учителем демонстрационной клеточной сетки. А с другой стороны, эта работа обретает принципиально новые математические очертания: центром ее становится ключевая математическая проблема - проблема соотношения величин. И в этой связи у ребенка формируется эмпирическое ощущение числа как сущности, которая может быть познана лишь в соотношении с другими числами.

Такого рода эмпирическое чувство числа - важнейшее условие того, чтобы изучение математики в начальной школе не показалось ребенку бессмысленным набором абстрактной цифири. Постоянная работа с графикой позволяет сформировать у ребенка глубоко чувственный образ соотношения различных величин, и это является залогом его дальнейшего увлеченного отношения к миру математических вычислений. У ребенка формируется интуиция числа, образ числа именно тогда, когда он визуально работает с графикой различных числовых соотношений. А в результате у него формируется эмпирическое чувство числа задолго до того, как он овладевает техникой математических вычислений.

ШАГ 2. Ряд как математический объект.

В предыдущей главе мы остановились на том, что после заполнения таблицы детских прогнозов учитель организует коллективный обсчет горизонтальных и вертикальных рядов, ставя какие-то метки каждого обсчитанного ряда.

Несколько слов о характере меток, проставляемых учителем во время коллективного счета. На самом первом этапе нецелесообразно делать числовые пометки с помощью цифр - в этом случае внимание ребенка будет концентрироваться на цифровой записи, а не на счетном объекте. Вначале - только разделительные метки-черточки. А числовые пометки с помощью цифр - чуть позже, когда ребенок уже отчетливо видит счетный числовой объект, отчетливо видит ту РЕАЛЬНОСТЬ, которая описывается символическим образом.

В нашем же случае счетный числовой объект достаточно сложен: им являются клеточные ряды. И чрезвычайно важно, чтобы ребенок отчетливо видел, ЧТО ИМЕННО ему приходится обсчитывать. Он должен видеть и понимать, что в данном случае обсчитываются вовсе НЕ ЛИНИИ вертикалей и горизонталей, и НЕ КЛЕТОЧКИ, из которых состоит тот или иной ряд, А САМИ КЛЕТОЧНЫЕ РЯДЫ, каждый из которых обладает некоторой, если можно так выразиться, "толщиной" и длиной.

Поэтому, "дирижируя" детским хоровым счетом, учитель должен прежде всего показывать "объемным" движением руки (это когда указательный палец руки как бы намечает контур ряда быстрым вытянутым эллипсом, слегка прикасаясь к поверхности листа), что считаются именно РЯДЫ.

Поэтому, кстати, счет заведомо не может быть слишком быстрым - ведь демонстрация каждого ряда требует времени. Тем не менее, не следует пренебрегать такого рода демонстрацией: взгляд ребенка должен ОТЧЕТЛИВО видеть считаемые ряды.

В самом деле, когда обычно считаются счетные палочки или какие-то другие ПРЕДМЕТЫ, каждый предмет отчетливо виден и отделен от других предметов.

В этом смысле счет графических рядов на разлинованной "клеточной сетке" - занятие крайне сложное для взгляда первоклассника. И очень легко может произойти такое печальное событие, как утрата счетного объекта.

Дети будут просто демонстрировать свой навык "счета вообще": выкрикивать очередные "имена числительные", абсолютно не задумываясь о том, к чему они в данном случае относятся. А тогда и вся последующая работа не состоится: у детей не сформируется модельный образ числа.

Итак, чрезвычайно важно, чтобы, ведя счет, дети ВИДЕЛИ считаемые ряды.

А учитель время от времени затормаживает демонстрацию и задает промежуточные вопросы, призванные выяснить, понимают ли дети, ЧТО ИМЕННО называют они теми или иными числительными именами, ЧЕМУ ИМЕННО дают они очередное числительное имя. Ведь это чрезвычайно важно, что числительные - это именно ИМЕНА, которые можно дать различным предметам или феноменам, когда мы пытаемся описать соответствующие предметы или феномены с их количественной стороны.

ШАГ 3. Что значит “считать”?

Позволю себе задать нелепый, на первый взгляд, вопрос: трудно ли сосчитать... что-нибудь одно?

Кажется, нет ничего проще: уж до одного-то умеет считать любой ребенок!

Но в том-то все и дело, что "считать ДО" - это совсем не то же самое, что просто считать.

Когда мы говорим, что ребенок "умеет считать до десяти" или "умеет считать до ста", мы имеем в виду то простое обстоятельство, что этот ребенок знает ПОРЯДОК СЧЕТА, знает наизусть некоторое количество ИМЕН ЧИСЛИТЕЛЬНЫХ и помнит тот порядок, в котором эти имена нужно друг за другом называть.

Однако счет - это не просто "правильное" называние имен числительных в "правильной" последовательности, но и процесс, у которого есть некий обсчитываемый объект.

Так вот, когда объект отчетливо виден, его действительно легко сосчитать, легко идентифицировать в качестве "одного". Если же счетный объект сложен, если он трудновычленяем или сам состоит из множества однородных элементов (а именно таковы наши клеточные ряды), проблема обсчета такого одинарного объекта становится достаточно неординарной.

Увы, нередко, когда объект трудно идентифицируем, встречаемся у детей (да и не только у детей) с феноменом имитации счета. Это когда ребенок уверенно произносит числительное имя "Один!", но при этом совершенно равнодушен к тому, что именно обозначается этим именем.

Чтобы кому-то не показалось, что речь идет о надуманной проблеме, приведу простой пример.

Когда в пятом классе дети знакомятся с феноменом числовой прямой, очень часто возникает следующая трудность: дети никак не могут понять, что числительными именами "один", два", "три" на числовой прямой обозначаются вовсе не точки, а отрезки. И если такого ребенка попросить показать на числовой прямой, допустим, число три, он решительно укажет на цифру три, маркирующую третье деление от нуля. В том-то все и дело, что счет является подлинным, а не имитационным только в том случае, если субъект счета (например, считающий ребенок) отчетливо представляет себе, ЧТО же он считает (представляет себе объект счета).

Ну, а теперь вернемся к проблеме счета вертикальных и горизонтальных рядов в представленной на предыдущих страницах клеточной модели.

Шаг 4. Считаем… один.

Вот учитель быстро обводит контур первого горизонтального ряда, и хор детей считает: "Один!".

Можно ли, однако, уверенно утверждать, что дети именно СОСЧИТАЛИ первый клеточный ряд, а не просто сообщили о своем знании того факта, что натуральный счет начинается с такого имени? Ведь сосчитать - это значит дать числительное имя некоторому объекту. А уверены ли мы в том, что дети УВИДЕЛИ тот объект, которому они дали числительное имя "один"?

Тем более, что длиннющий горизонтальный ряд, состоящий из тридцати клеточек, крайне трудно увидеть.

Вот если бы считались конфеты или пряники, не было бы никаких сомнений в том, что дети видят обсчитываемый объект. В случае же с клеточными рядами все гораздо сложнее. И потому учитель "тормозит" дальнейший счет.

"Один?" - переспрашивает он. - А ЧТО ИМЕННО - "один"? Чего - "один"? Где он - этот "один"? Кто сможет его показать и сказать, что это такое?"

Если дети кричат: "Это вон тот ряд из клеток!", и, подбегая к демонстрационному листу, обводят контур этого первого клеточного ряда, это значит, что все в порядке, и дети ВИДЯТ считаемый объект.

Но часто происходит совсем другое: ребенок подходит к листу и нерешительно тычет пальчиком в какую-нибудь ОДНУ клеточку первого ряда. И тогда учитель переспрашивает: "Ты уверен (уверена), что это ВЕСЬ ряд, который мы сосчитали? Попробуй показать ВЕСЬ ряд, который мы сосчитали!” И лишь после того, как ВЕСЬ первый ряд показан, учитель позволяет продолжить счет.

Разумеется, такой, объектный счет труден. Он требует большого объема и высокой концентрации внимания. Но чрезвычайно важно, чтобы ребенок шести или семи лет научился справляться со столь сложной задачей.

ШАГ 5. Один как множество.

Очевидно, что расчерченная учителем (и размеченная совместно с детьми) на демонстрационном листе сетка из клеток - это не что иное, как определенного рода числовая модель, где роль числовой единицы выполняет ряд - вертикальный или горизонтальный. И очень важно, что дети с самого начала сталкиваются с крайне важной особенностью числа: числовая единица - это не просто "счетная штука", а нечто неизмеримо более сложное. И, в частности, представленная графическая модель позволяет отчетливо видеть, что каждый ряд как числовая единица - это в некотором роде условность, и что каждая единица - это МНОЖЕСТВО каких-то более мелких единиц (например, клеток, из которых состоит каждый ряд).

Понятно, что на данном этапе пока еще рано заниматься с детьми анализом этого удивительного обстоятельства. Однако важно, что взгляд ребенка с самого начала (причем вначале неосознанно!) приучается удерживать многослойность числа. Ведь каждому ребенку приходится считать ряды. А каждый ряд – это единица, и, вместе с тем, каждый ряд с очевидностью представляет собой множество клеток

Кроме того и каждая клетка, будучи представлена как единица, может, в свою очередь, рассматриваться как сколь угодно большое множество других, более мелких единиц.

Таким образом, взгляд ребенка постепенно приучается к тому, что число один - это не просто счетная "штука", но и нечто, обладающее внутренней плотностью, внутренней структурой. И на последующих этапах обучения, когда начнется специальная работа с внутренней структурой числа один (работа с идеей рационального числа), взгляд ребенка окажется уже достаточно подготовлен. И он будет воспринимать на уровне очевидности то обстоятельство что число один - это не просто "штука", не просто счетная единица, а нечто неизмеримо более сложное.

И хотя пока ребенок работает с клеточным рядом исключительно как со счетной штучной единицей, сам факт разбитости ряда на клеточные фрагменты создает фундамент более сложной числовой интуиции.

Это очень важно: описываемая работа вовсе не навязывает ребенку понятия рационального числа.

Начерченные на демонстрационной доске клеточные ряды - это примерно то же самое, чем являются у традиционного первоклассника... обыкновенные счетные палочки.

Но с одним небольшим отличием: это счетные палочки, разбитые на некоторое количество равных частей.

И оттого взгляд ребенка постоянно сталкивается с некоторым удивительным фактом: каждый ряд - это одновременно и элементарная счетная единица, и некоторое множество клеток, из которых она состоит. А привычка к такого рода странным обстоятельствам незаметно создает основу для последующего формирования элементарных структур математического понимания.

Так или иначе, но сам по себе демонстрационный лист, представляющий из себя расчерченную сетку из клеток, есть не что иное, как весьма перспективная математическая модельная структура, которая одновременно работает и на формирование элементарного счетного навыка, и на восприятие числа как глубокой реальности, выходящей далеко за пределы идеи натурального счетного ряда.

ШАГ 6. Пограничные метки.

Впрочем, вернемся к процедуре обсчета рядов.

Вот первый горизонтальный ряд сосчитан. И учитель делает особую пометку - небольшую вертикальную горизонтальную (можно фломастером особого цвета), которая как бы продолжает немного вверх ту линию, которая отделяет первый ряд от всех последующих.

Это очень важно: черточка ставится именно НА ГРАНИЦЕ между первым и вторым рядами. Эта метка пока не маркируется никакими цифрами (хотя чуть позже, на следующем этапе это обязательно нужно будет сделать), но учитель, ставя эту метку, внятно произносит: "Один!", и еще раз показывает жестом, что эта метка обозначает первый горизонтальный ряд.

И точно так же делаются все последующие метки. Метка метит не просто очередной ряд, но ВСЮ группу уже обсчитанных рядов. И потому это ПОГРАНИЧНЫЕ метки. Те самые, что используются в модели числовой прямой. Однако в данном случае метятся не просто расстояния на прямой линии, а длинные клеточные ряды. Если в классической числовой прямой число моделируется с помощью линейного отрезка, то в данном случае - с помощью двумерной фигуры. А двумерная фигура в качестве модели числа легче воспринимается глазом ребенка, нежели линейный отрезок.

Следующий шаг. Разделительная метка между вторым и третьим рядами. Дети дружно считают: "Два!".

И снова учитель придирается: "ДВА? А где вы видите ДВА? Чего - "два"? Кто может показать эти "два" на моем чертеже?"

Понятно, чего добивается учитель. Ведь "два" - это не просто второй ряд. Это ОБА ПЕРВЫХ РЯДА, которые учитель отделил от еще необсчитанных рядов второй меточкой. Именно в этом смысл второй меточки. И потому учительский жест, расшифровывающий смысл слова "два" должен быть адекватным: это должен быть жест, отделяющий и выделяющий ОБА первых ряда, а вовсе не жест, указывающий на второй ряд.

То же самое делается на счет "три", и на счет "четыре", и т.д.

В любом случае важно, чтобы на протяжении всего счета учитель следил за точностью своих жестов, и на каждом новом шаге, ставя очередную метку между рядами, указывал бы, что эта метка (допустим, метка десяти) метит факт обсчитанности ГРУППЫ рядов, находящихся по одну сторону от этой метки.

Если же жест учителя указывает только на один, очередной ряд, то счет в этом случае должен вестись с использованием не количественных ("один, два, три, четыре..."), а порядковых числительных ("первый, второй, третий, четвертый...").

Взгляд ребенка должен научиться отчетливо видеть, что каждое новое числительное имя обозначает вовсе не очередной ряд, а именно группу рядов, отделяемую соответствующей пограничной меткой. И если учитель уверен в том, что каждый ребенок это почувствовал, дальше можно считать без остановок. Лишь где-нибудь в середине или в конце можно будет еще раз сделать "контрольную проверку" понимания: затормозить счет и снова уточнить: "Вы говорите двадцать пять? Двадцать пять - чего? Покажите мне эти двадцать пять на чертеже!"

Рисунок 6.

На рисунке показан фрагмент демонстрационного листа с разделительными метками-"хвостиками", каждая из которых указывает на уже отделенную группу вертикальных рядов. Скажем, десятая метка слева указывает на то, что обсчитаны и мысленно отделены десять рядов. Прежде чем поставить соответствующую метку (на счет "десять"), учитель обводит эти десять уже обсчитанных рядов энергичным П-образным движением, подчеркивая тем самым, к чему именно относится хоровой маркер "десять". Этот П-образный контур прочерчен на рисунке жирной линией. Взгляд ребенка должен отчетливо видеть ту ГРУППУ РЯДОВ, которая маркируется очередным маркером-"хвостиком".

ШАГ 7. Счетный тренинг графического зрения.

Если же дети никак не могут уловить, что за объект является предметом счета, и с трудом идентифицируют группы обсчитываемых рядов, целесообразно провести особый счетный тренинг графического зрения.

В самом деле, обязательно ли вести описываемую меточную и счетную работу по отношению к столь длинным рядам? Разве ребенку не легче было бы уловить сущность описываемой работы по "пограничному" мечению рядов и отсчитыванию этих рядов, если бы счетное поле было существенно меньше? Может быть стоило бы построить небольшую модельку, рядов эдак из семи-восьми по горизонтали и пяти-шести по вертикали, и на этой модельке отработать принцип пограничной разметки?

Разумеется, это так. Когда работа ведется на большом счетном пространстве, с большими клеточными рядами многие дети не успеют уловить, что именно является объектом счета. Однако на начальном этапе важно чтобы у детей возникло не столько устойчивое понимание, сколько устойчивая интрига: желание расшифровать таинственные действия учителя. И лишь на следующем этапе учитель может предложить микромодель счетного листа – модель из небольшого числа вертикальных и горизонтальных рядов.

Если у какого-то ребенка возникают трудности с "видением" длинных рядов,, учитель останавливает обсчет большой клеточной сетки и предлагает детям потренироваться на сетках существенно меньшего размера.

Работа ведется точно так же, как и с большой сеткой: учитель отсчитывает и помечает пограничными метками ряды, а дети хором считают количество уже отсчитанных рядов. При этом дети должны отчетливо видеть те ряды и группы рядов, которые уже обсчитаны.

Когда модель клеточной сетки невелика, можно применить и такой демонстрационный прием, как штриховка уже обсчитанных и помеченных рядов. Причем метку следует ставить после того, как осуществления штриховка. В этом случае наиболее отчетливо видно, что именно метит эта очередная пограничная метка - она метит ВСЮ ГРУППУ уже сосчитанных рядов.

Скажем, на счет "один" учитель сначала штрихует первый вертикальный ряд, и лишь потом метит его пограничной меткой-"хвостиком". На счет "два" штрихует второй ряд, и дети отчетливо ВИДЯТ, что заштрихованы (а, стало быть, сосчитаны) ДВА первых ряда. Соответственно на счет "три" оказываются заштрихованы (и помечены третьей пограничной меткой) первые три ряда, и так далее, пока на счет "десять" не окажутся заштрихованы все ряды. Это одновременно и тренинг элементарного счетного навыка, и тренинг графического видения числа.

Для тренировки счетно-меточного зрения можно использовать небольшие прямоугольники различного размера и различных конфигураций; и лишь после того, как с их помощью все дети научатся отчетливо видеть маркируемые группы клеточных рядов, можно будет вернуться к обсчету большой клеточной сетки.

После того, как дети научатся видеть ряды с использованием штриховки, делается следующий шаг: рисуется новый тренировочный прямоугольник, а его обсчет и маркировка выполняется уже без использования штриховки. В этом случае дети вычленяют группы рядов исключительно силой своего воображения, мысленно отделяя в процессе счета необходимые группы клеточек.

Рисунок 7.

Вариант тренировочного рисунка для тренировочного счета с "пограничными" метками, состоящий из десяти вертикальных и четырех горизонтальных рядов. На таком рисунке довольно просто увидеть считаемые ряды, особенно когда обсчитанные и помеченные пограничным маркером ряды заштриховываются.

ШАГ 8. Иммунитет против лидерства..

И снова мы возвращаемся к сложной задаче обсчета вертикальных и горизонтальных рядов на большой клеточной сетке. И помним: это не просто безличная клеточная сетка из учебника, а сетка, созданная "здесь и теперь", и, к тому же, сетка, которая таинственно-прогностическим образом находится в диалоге с каждым детским вариантом, а, значит, не носит характера отчужденного знания. Описываемая работа с демонстрационной сеткой носит интерактивный характер: в ее содержании личная позиция ученика.

Вот учитель отсчитывает клеточные ряды и метит уже отсчитанные ряды пограничными метками. Но при этом он время от времени демонстративно поглядывает на составленную ранее вероятностную таблицу, в которую занесены выдвинутые наугад детские варианты. "Ну-ка, ну-ка, дети дорогие, посмотрим, чья догадка оказалась наиболее точной?.."

Чем дальше продолжается счет, тем более нетерпеливо и азартно дети всматриваются в нарисованную на демонстрационной доске сетку из клеточек: кто же угадал? чья догадка оказалась ближе всех к истине?

Однако, ставя вопрос о том, чья догадка оказалась самой точной, учитель должен быть крайне осторожным. Любой соревновательный азарт - это слишком сильное в психологическом отношении средство, чтобы пользоваться им безрассудно.

Конечно, это очень интересно, чья детская догадка оказалась наиболее точной; однако учитель совершит грубейшую психологическую ошибку, если он придаст этому обстоятельству сверхзначимый характер (а именно так происходит в традиционной школе, где "правильный" ответ именно сверхзначим).

Традиционная школа жестко ориентирована на выявление учебных лидеров и так называемых "отстающих учеников". Предполагается, что тем самым создается некий мотивационный дифференциал, который позволяет последним подтягиваться к первым.

Но ведь эта ситуация оказывается психологически травматична как для первых, так и для вторых: одни зарабатывают тяжелейший "комплекс неудачника", другие - возможно еще более тяжелый "комплекс лидера". Таким образом, результатом традиционного школьного обучения, ориентированного на выявление учебных лидеров, становятся травматические последствия для всех.

Как избежать этой психологической ловушки при анализе детских вариантов? Надо найти такие средства анализа, которые ни в коей мере не превозносили бы и не унижали бы чье-либо достоинство.

Да, это очень интересно - выяснить, чей вариант оказался ближе всех к истине. Но надо уметь организовать эффектную встречу С КАЖДЫМ детским вариантом - так, чтобы ни один ребенок не почувствовал, что он потерпел поражение. И даже если чей-то вариант оказался чрезвычайно далек от истины, это не унизительное поражение, а информационный факт.

Таким образом, провоцируя у детей соревновательный азарт, учитель должен заранее подумать о психологических ограничителях этого азарта, о сдерживающих факторах азарта, которые не позволили бы нанести детям столь привычные для традиционной школы травмы - травму лидерством или травму аутсайдерством. Соревновательный азарт - это слишком сильное средство, чтобы пользоваться им бездумно. Торжественная встреча с каждым личным вариантом в процессе счета является одним из возможных ограничителей такого рода.

ШАГ 9. Ищем наименьший вариант.

Прежде чем будет обнаружен вариант, оказавшийся ближе всех к истине, детям предстоит последовательная встреча с другими предложенными ими вариантами, и прежде всего с тем, в котором было указано наименьшее число рядов. Важно не просто выявить победителя, а в том, чтобы тем или иным образом ВСТРЕТИТЬСЯ СО ВСЕМИ ВАРИАНТАМИ, которые были предложены детьми.

Еще до начала контрольного обсчета учитель предлагает детям самим определить, с чьим вариантом произойдет самая первая встреча.

"А теперь… приготовьтесь к серии торжественных встреч со своими вариантами! Каждый встреченный вариант встречаем громким, дружным "ура!" Ну-ка, с чьим вариантом мы встретимся в первую очередь?.."

“С Аниным!”, “С Алешиным!”, “С Катиным!” – начинают выкрикивать дети наугад. Но как проверить, кто прав?

Вроде бы вопрос несложный, тем более, что все детские предсказания сведены в вероятностную таблицу. Да как разберешься в этой таблице, когда в ней столько имен и данных! Ладно, если в классе есть дети, которые уже хорошо читают, а что делать всем остальным?

Для взрослого - это совершенно не сложная задача. А для первоклассника?

Конечно, худо-бедно названия имен числительных в пределах первых нескольких десятков сегодня знают все начинающие первоклассники. Да и кроме того определенный числительный тренинг уже произошел в процессе выше описанных шагов. Однако самостоятельно разобраться в таблице, состоящей из двадцати четырех позиций - задача не простая для рядового семилетки.

Понятно лишь то, что первая встреча произойдет с тем, кто предложил самый маленький вариант. Но ведь этот вариант еще отыскать надо! А как это сделать?

Естественно, что на помощь приходит учитель.

"Ну, давайте вспоминать, что мы тут в нашей предсказательной таблице написали… Первый у нас кто?.. Совершенно верно, Алеша. И сколько было им предсказано рядов? Совершенно верно, сто…Следующей была... Совершенно верно, Катя. И ею было предсказано... Да, именно так - 15 рядов..."

И в таком стиле, постоянно взаимодействуя с учениками, учитель прочитывает вслух все двадцать четыре позиции предсказательной таблицы.

При этом учащиеся воспринимают информацию частично на слух, а частично следя за движением руки учителя по таблице. Тем самым происходит еще один встроенный тренинг чтения - чтения имен и чисел. И из всего поля предсказанных вариантов дети выбирают наименьший вариант.

И уже очень скоро становится ясно, с чьим же вариантом (при последовательном обсчете рядов) должна будет произойти самая первая встреча. Дети вместе с учителем всматриваются в таблицу и обнаруживают, что наименьший вариант принадлежит Саше, указавшему 12 горизонтальных рядов. И этот вариант специальным образом маркируется в таблице.

ШАГ 10. Встреча с личным вариантом.

И вот, продолжается счет, а дети, и, в первую очередь, сам Саша азартно ждут момент, когда произойдет торжественная встреча с Сашиным вариантом. "...Три, четыре, пять, шесть, семь, восемь..." - считают дети, внимательно наблюдая за движениями руки учителя.

А учитель еще немного тормозит счет: "Ну и как, скоро ли будет Сашин вариант?" "Скоро! Скоро! Совсем близко!" - кричат самые активные дети.

"И много ли нам осталось сделать шагов до Сашиного варианта?" И кто-то быстренько пробегает взглядом оставшуюся до Сашиного варианта дистанцию и уже готов показать Сашин вариант на чертеже, и даже сказать, сколько до него осталось шагов: "Четыре шага!"

Но дело даже не в том, что кто-то из детей легко пробегает эту дистанцию взглядом и в уме подсчитывает количество оставшихся до Сашиного варианта рядов, а в том, что такого рода остановка провоцирует дополнительную активность даже у самых индифферентных детей, провоцирует повышенную потребность всматриваться в чертеж как значимый для себя.

"...Девять, десять, одиннадцать..." - дети уже в предельном возбуждении, с их губ уже готово сорваться "ура!", но именно в этот момент, прежде чем поставить двенадцатую метку, учитель делает еще одну драматическую паузу.

Самые нетерпеливые, конечно же, "проскакивают" и кричат "ура", но учитель ироничен: "А что, разве я уже пометил двенадцать рядов?! Что же вы кричите прежде времени?.."

И лишь после того, как пауза достаточно выдержана, учитель делает очередной шаг, отчеркивает рукой двенадцать рядов, ставит двенадцатую пограничную метку, и класс неудержимо срывается на крик "Ура!".

И так будет происходить торжественная встреча со всеми двадцатью четырьмя вариантами.

Но в любом случае КАЖДЫЙ вариант, а отнюдь не только вариант так называемого "победителя" встречается радостным приветствием. И в этом случае у ребенка, разумеется, не формируется никаких травматических переживаний. Он понимает: уже в самом том факте, что им предложен какой-то (пусть и неправильный) вариант есть какая-то ценность. И, судя по всему, значительная, если его вариант вызывает к себе такое отношение. А это залог того, что и в будущем ребенок не будет бояться предлагать свои варианты, у него не будет страха оказаться униженным и осмеянным, как это повсеместно происходит в обычной школе.

Вспомним: в обычной школе самостоятельный детский вариант - это всего лишь ошибка. Ошибка, на которую ребенок не имеет права. Ошибка, за которую нужно примерно наказывать. И в ребенка закладывается страх перед ошибкой на уровне условного рефлекса. Правильный ответ - пряник; ошибка - удар кнутом. Или электрическим током. Чтобы неповадно. Чтобы учился отвечать ТОЛЬКО ПРАВИЛЬНО. А в итоге на всю жизнь в ребенке формируется страх перед собственным вариантом, страх сказать или сделать "что-нибудь не то".

ШАГ 11. Искусство сопереживания.

Впрочем, организуя торжественную встречу с каждым детским вариантом, учитель ни на минуту не упускает из виду то обстоятельство, что все эти варианты обладают разной степенью точности: какие-то оказываются ближе к истине, какие-то - дальше от нее. И чрезвычайно важно, чтобы ребенок не только почувствовал, что его вариант важен и принят как существенный, но и сумел увидеть эту разную степень точности вариантов.

Да, каждый вариант - это событие, и встречаясь с очередным вариантом своего товарища, дети радуются этой встрече. Но к каждой такой встрече должна быть примешана нотка коллективного сопереживания: "Эх, не угадал!" И учитель должен играть роль своеобразного аккумулятора и проводника этого коллективного детского сопереживания.

Обычная школьная математика вообще не предполагает в детях способности сопереживать.

Ребенок приучается переживать только за себя - переживать за свой результат, за свою способность быть правильным и примерным учеником, за свою способность находить правильные ответы.

В детях всячески культивируется соревновательное отношение друг к другу, когда ребенок приучается испытывать радость от того, что он лучше другого (естественно, по школьной шкале ценностей - по шкале учебных оценок). При этом к кому-то относятся с завистью, к кому-то – со снисхождением; но в любом случае, к чужому содержанию здесь, скорее всего, индифферентны.

Наша математика - это математика, важнейшим принципом которой является принцип сопереживания другому. И, в частности, принцип сопереживания чужому варианту.

Вернемся к описанной в предыдущем шаге стратегии торжественных встреч с каждым детским вариантом.

Вот отгремели фанфары встречи с первым вариантом. И автор варианта - даже если это вариант весьма далек от истины - чувствует себя героем!

Конечно, он понимает, что его вариант не верен, но одновременно он ни в малой степени не чувствует унижение.

И только теперь учитель позволяет себе осторожный вопрос: "Но удалось ли Саше угадать, сколько на нашем чертеже горизонталей?" "Н-е-е-е-т!" - грустно и расстроено (ориентируясь на интонацию учителя) тянет класс, и Саша вместе со всеми.

"Ах, как жаль!" - сокрушается учитель. А на много ли ошибся Саша? Саша! Ты сам можешь подойти к доске и попробовать показать, на сколько же ты ошибся?" И Саша подходит, и показывает, и видит (именно ВИДИТ, а вовсе не подсчитывает пока), насколько его погрешность велика. Однако при этом он совершенно не чувствует себя потерпевшим поражение.

Но самое главное, что в этом процессе происходит тренировка способности сопереживания другому.

Вся традиционная школа построена на идее лидерства, на идее ущемления и унижения детского достоинства в различных ситуациях учебной неуспешности. Вероятностная модель противопоставляет этому классическому школьному принципу нечто совершенно иное. Каждый вариант - это ценность, каждый вариант - это событие. И если детский вариант оказался неточен или неверен, это менее всего означает некое унижающее достоинство ребенка "поражение" или не дай Бог катастрофу (как это нередко происходит в традиционной школе). Нет, это просто вариант - очередной интересный вариант для анализа. И одновременно предмет для азартного переживания "угадал - не угадал". А задача учителя состоит в том, чтобы каждый детский вариант стал предметом мощного сопереживания-поддержки со стороны всех детей.

ШАГ 12. Исследовательская позиция.

А учитель тем временем предлагает Саше занять новую позицию - позицию исследователя, которому интересно, НА СКОЛЬКО же он ошибся.

“Саша! Ты можешь сам попробовать сосчитать, насколько твой вариант отличается от истинного? Ну-ка посмотри, сколько рядов осталось до последней горизонтали? На сколько рядов ты ошибся?”

Тем самым снова ведется тренинг прогностической способности детей, но на этот раз на более коротких счетных отрезках.

Сначала Саша пытается "прикинуть на глазок", на сколько его вариант “не дотянул” до истины. А затем с помощью учителя и класса считает эти оставшиеся ряды, а учитель записывает получившуюся погрешность в таблицу.

Оказывается, Саша ошибся на двадцать восемь горизонталей. Именно это число и записывается в третью графу таблицы напротив Сашиного имени.

И не важно, что дети пока “не проходили” пока еще двузначных чисел. По мере дальнейшего заполнения таблицы (сначала этой, а потом и других) как раз и происходит освоение числового мира, и в ребенке образовывается сначала туманное, а затем все более и более ясное представление о том, как записываются те или иные числа и как читаются те или иные символические математические обозначения. Правда, освоение чисел происходит не по заранее придуманному порядку, а стихийно, хаотически, вразброс.

Впрочем, еще раз подчеркну: важно не просто записать те или иные данные в таблицу, а убедиться в том, что Саша отчетливо видит и может сам показать на чертеже общее количество горизонталей, собственный предсказательный вариант и те горизонтали, которые составляют погрешность. И естественно, что демонстрация каждой из этих групп рядов должна происходить не посредством простого тыкания пальцем. Всякий раз ребенок должен тщательно обводить КОНТУР той или иной группы. (См. рисунок 8).

Важно, что шестилетний или семилетний ребенок, который научился видеть такого рода группы рядов, обретает способность отчетливо видеть (именно видеть, а не вычислять пока) и то, в каком количественном соотношении находятся соответствующие тем или иным графическим группам числа, например: двенадцать, двадцать восемь и сорок.

Описываемая работа с чертежом делает ОЧЕВИДНОЙ, на сколько число двадцать восемь больше, чем число двенадцать, а число сорок - больше, чем число двенадцать или двадцать восемь.

И понятно, что при встрече с другими личными вариантами у детей будут появляться графические образы других числовых соотношений.

Таким образом, в процессе описываемой работы у ребенка формируется элементарная визуальная математическая культура. В частности, взгляд научается видеть принципиальное количественное соотношение чисел, представленных теми или иными группами рядов.

При это принципиально важно, что первые группы числовых графических соотношений такого рода имеют глубоко ЛИЧНУЮ окрашенность. Предметом анализа становятся не абстрактные, непонятно откуда взявшиеся варианты, а личные, авторские варианты, предложенные самими детьми. И именно через призму этих личных вариантов ребенок всматривается в графику количественных соотношений между числами. Ведь он не просто абстрактные двенадцать и двадцать восемь сравнивает, а числа, на которых лежит печать личной заинтересованности.

Рисунок 8.

На рисунке выделены жирной контурной чертой три группы горизонтальных рядов: первые двенадцать рядов, оставшиеся двадцать восемь рядов и общее их количество. Первые двенадцать рядов уже коллективно обсчитаны и помечены пограничными метками.

Кроме того на рисунке эти двенадцать рядов для наглядности выделены штриховкой; однако на уроке это делать совсем необязательно: достаточно обвести жирной чертой контур этих двенадцати рядов.

Незаштрихованы и не помечены (пока!) пограничными метками ряды, составляющие погрешность. Эти ряды тоже сосчитаны, но как бы отдельно от первых двенадцати, и в вероятностную таблицу (в графу "погрешность") занесено, что Саша ошибся на двадцать восемь рядов. Однако общее количество горизонтальных рядов по-прежнему пока не сосчитано.

ШАГ 13. Визуальный тренинг.

Естественно, что в последующем будет возможна и целесообразна тренировочная работа с "безличными" вариантами, предложенными учителем, причем на любых, произвольных клеточных площадях.

Скажем, учитель очерчивает прямоугольник, состоящий из десяти рядов по пять клеточек каждый. А затем очерчивает один ряд, второй ряд, третий, и всякий раз спрашивает детей, сколько рядов уже очерчено, а сколько - нет.

Вначале, для облегчения восприятия очерчивание может сопровождаться штриховкой.

На следующем этапе учитель ограничивается тем, что очерчивает ту или иную группу рядов фломастером.

Наконец, если визуальное восприятие рядов уже достаточно сформировано, можно показывать те или иные группы рядов, очерчивая их "вообразительно", тыльной стороной карандаша или ручки, или просто указательным пальцем, постепенно убыстряя процесс этой обводки. И чем быстрее будет обводить учитель очередную группу рядов, тем азартнее будут включаться в предложенную игру дети

После того, как детьми определено количество обведенных и необведенных рядов, учитель может сделать соответствующую символическую запись, например: 1+9=10, а дети должны уметь расшифровать эту запись, показав на чертеже, ЧТО ИМЕННО обозначается в этой символической записи цифрой 1, что - цифрой 9, а что – двузначной записью 10.

Учитель показывает на чертеж и спрашивает детей: ну-ка покажите, ГДЕ здесь "один" (ряд)? А ГДЕ здесь "девять" (рядов)? А ГДЕ здесь "десять" (рядов)?

Понятно, что прямоугольники могут быть любого размера, а вычленяться в них может любое количество рядов. Тем самым, с одной стороны, происходит тренинг визуального математического мышления (глаз ребенка научается ВИДЕТЬ соотношение различных величин, когда за единицу принимается клеточный ряд той или иной длины), а, с другой стороны, происходит элементарный счетный тренинг.

Впрочем, более подробно о счетных тренингах такого рода речь пойдет в других главах. На начальном же этапе принципиально важно, что работа идет только с личными вариантами детей, поскольку в этом случае у них формируется ощущение личной сопричастности математике.

Рисунок 9.

На рисунке изображено несколько прямоугольников, состоящих из десяти рядов по пять клеточек в каждом. Но естественно, что для работы в классе достаточно одной модели прямоугольника такого рода, и на этой модели можно демонстрировать все возможные случаи. Учитель на одном и том же прямоугольнике последовательно или хаотически очерчивает различные группы рядов (один, два, три, четыре, пять...), а дети устанавливают, сколько рядов очерчено, а сколько - нет.

ШАГ 14. Сопричастность сложному.

Не сомневаюсь, что у многих читателей этой главы уже неоднократно возник вопрос: а почему вообще я предлагаю начинать обучение детей математике с расчерчивания огромной клеточной сетки с огромными клеточными рядами? Не правда ли, весьма странный путь с точки зрения традиционной школьной математики, которая все обучение подчиняет жесткому сценарию "от простого к сложному"?

В традиционной школе долгое время идет обучение счету в пределах первого десятка, затем происходит переход к числам первой сотни и т.д.

А здесь - все вверх тормашками.

Вначале - безумный клеточный монстр из тридцати двух вертикальных и сорока горизонтальных рядов, и лишь потом введение небольших клеточных структур. Что за странная логика? Не проще ли было бы начинать с небольших прямоугольников - вроде тех, которые описывались в предыдущем шаге?

Весь вопрос в том, как мы понимаем суть образования.

Или это процесс обучающей дрессировки, или это образование-диалог.

А в последнем случае мы должны понимать одну очень важную вещь: такое образование не может состояться и даже начаться, если ребенок не пережил момент удивления и даже недоумения.

Уже на самом первом этапе ребенок должен встретиться с чем-то грандиозным и загадочно-непостижимым.

Именно такое изумление и растерянность призвана выполнить на первых порах расчерчиваемая учителем гигантская клеточная сетка.

Заметьте: мы уже столько возимся с этой сеткой, а до сих пор не решен вопрос, что это за сетка и зачем она нужна.

Она уже испещрена массой пометок, она уже вовсю работает, на ней начинают прорисовываться - смутно пока - контуры каких-то фигур и количественных соотношений... Но все это по-прежнему не для "заучивания", не для "усвоения", не для "запоминания", а для чего-то совершенно другого.

В самом деле, вот оказались вычленены совершенно случайные двенадцать рядов. И учитель специально очерчивает эти двенадцать рядов, и очерчивает оставшиеся двадцать восемь, чтобы дети отчетливо увидели, как много "не дотягивают" Сашины ряды до общего количества горизонталей.

В чем смысл этой процедуры? Возможно, в том, чтобы у детей возник первоначальный - смутный пока еще - образ числа двенадцать в соотношении с числом двадцать восемь и с числом сорок (истинное количество горизонтальных рядов).

Но почему именно двенадцать?

Да потому, что некий мальчик Саша, в данном, конкретном классе совершенно случайно предположил, что на чертеже, должно быть, двенадцать горизонтальных рядов. И его предположение оказалось первым в вероятностной таблице.

А окажись в классе какой-нибудь мальчик Миша, который выдвинул бы гипотезу о восьми рядах, и на визуальную авансцену анализа выплыло бы совершенно иное числовое соотношение: между восемью и тридцатью двумя.

В общем, никакой логики "введения материала"!

Но если все начинается с хаоса случайных чисел, как же этот хаос можно усваивать?! - воскликнет в ужасе какой-нибудь возмущенный учитель.

В том-то все и дело, что пока не идет никакой речи о каком-либо "усвоении". Задача совсем в другом: в том, чтобы ребенок УДИВИЛСЯ, увидев свое отражение (свой вариант) в огромной и непонятной пока сетке из клеток и почувствовал "вкус" числовых соотношений.

Вот - вариант из двенадцати рядов. А вот - из двадцати восьми или сорока. Не надо ничего пока "усваивать", но почувствуйте, что называется, разницу!

Работа, о которой ведется речь в настоящей главе, это вообще не работа счетно-тренингового характера. Ее задача совершенно в ином: будоражить математическое воображение ребенка и формировать ощущение личной причастности к тем или иным математическим проблемам, которые открываются пока лишь маленьким своим краешком, интригуя и завораживая, и лишь обещая быть разрешенными в будущем.

И только в том случае, если ребенок сумел пережить это чувство сопричастности некоей непостижимой пока математической сложности, освоение тех или иных простых математических навыков будет носить для него осмысленный характер.

ШАГ 15. Последовательность вариантов.

Итак, произошла коллективная встреча с первым - Сашиным - вариантом.

И оказалось, что в этой встрече заключено много математически ценного для всех первоклашек.

Обнаружено, в частности, на сколько рядов Сашин вариант "не дотянул" до правильного, обсчитаны оставшиеся ряды, но... До сих пор не установлено общее количество горизонтальных рядов на демонстрационном чертеже.

И вот, наступает минута прощания с Сашиным вариантом - нужно продолжать счет. Но не просто бездумный счет, а счет, предполагающий, что уже в очень скором времени произойдет встреча еще с чьим-то личным вариантом. С чьим же?

"Ну хорошо, а чей там вариант следующий по очереди?.." - задает учитель новый коварный вопрос.

Вопрос, предполагающий новый этап работы с вероятностной таблицей: требуется найти следующее (в порядке возрастания) предположение.

Что значит - "следующий по очереди"?

Разумеется, имеется в виду не порядок поступления вариантов, а то, какой вариант станет очередным предметом коллективного сопереживания, т.е. какой вариант окажется следующим в процессе последовательного порядкового счета.

Если в таблицу записано двадцать четыре варианта, семилетний ребенок вполне способен найти среди этих вариантов тот, который будет очередным после варианта “двенадцать”. Особенно легко это сделать, если ребенок находится в коллективной ситуации класса.

Еще раз подчеркну: в самой вероятностной таблице детские варианты находятся в состоянии хаотической неупорядоченности, обусловленной порядком их поступления. Может ли семилетний ребенок выделить из этой мешанины вариантов некую "цепочку возрастания" от самого меньшего к самому большему варианту? Разумеется, может. При условии, что ему помогает учитель.

Итак, учитель задал вопрос, и дети снова пытаются воспользоваться помощью таблицы, которая с каждым новым шагом становится все более и более знакомой. Кто же там следующий за Сашей?

Пока в таблице отмечен и выделен только один - Сашин - вариант. И эта пометка в таблице упрощает поиск. Сашин вариант, будучи одиннадцатым по порядку поступления, как бы делит таблицу на две части, и это облегчает восприятие. Тем более, что один раз таблица уже зачитывалась вслух.

Тем не менее, и целесообразно зачитать таблицу еще раз. Но на этот раз учитель еще в большей степени пользуется помощью детей. "Ну-ка, вспоминаем. Кто там у нас первый в таблице?" - "Алеша!" - "Сколько он предсказал горизонтальных рядов?" - "Сто!". "А дальше?" - "Катя, у нее 15 рядов!" - "А дальше?" - "Оля, у нее 35 рядов!" Учитель показывает одну за другой позиции вероятностной таблицы , а дети частично вспоминают, а частично считывают информацию с этой таблицы.

Но вот таблица дочитана до конца, и дети приходят к выводу, что вторым вариантом, с которым произойдет встреча, будет Катин вариант, предсказавшей пятнадцать горизонтальных рядов, после чего Катин вариант маркируется в таблице особым цветом.

И снова продолжается хоровой счет, и снова моделируется "коллективное сопереживание" очередному варианту. На этот раз - Катиному.

И отчерчивается группа из пятнадцати рядов, и определяется, что Катин вариант на двадцать пять позиций "не дотягивает" до истинного, и в вероятностную таблицу вносится соответствующая погрешность напротив Катиного имени...

Одним словом, повторяется схема действий, описанная в предшествующих шагах, но уже в применении к новому числовому соотношению. (См. рис.10)

ШАГ 16. Коллективная истина.

И точно так же, по той же схеме идет работа с каждым очередным вариантом.

Следующим после Кати оказывается вариант Олега (восемнадцать горизонталей), затем - вариант Нади (двадцать горизонталей), и так далее. Продолжается хоровой коллективный счет, и происходят все новые и новые встречи с личными предсказательными вариантами детей, и с каждым новым вариантом происходит все большее приближение к заветной цели, а, следовательно, уменьшается погрешность в соответствующей графе вероятностной таблицы.

Но вот, счет все больше и больше подбирается к последней горизонтали.

И последний детский вариант, который встречается на этом пути, - вариант Оли и Юли, согласно которому на демонстрационном листе находится 35 горизонтальных рядов.

Конечно, и этот вариант "не дотягивает" целых пять рядов. Но благодаря чертежу любому первоклашке очевидно что Оли и Юли точность попадания в цель оказывается выше, чем у их предшественников. Особенно если еще раз специально продемонстрировать величину погрешности у всех, чьи варианты встретились раньше.

Итак: у Саши величина погрешности составила двадцать восемь рядов, у Кати - двадцать пять, у Олега - двадцать два, у Нади - двадцать, у Саши - тринадцать, у Сени - двенадцать, а у Оли и Юли - всего пять.

И учитель еще раз показывает на доске соответствующие группы рядов, и у детей появляется еще одна возможность осуществить операцию визуального сравнения этих величин.

Понятно, что учитель радуется изо всех сил тому, как близко приблизились к истине Оля и Юля.

Однако самое главное заключается в том, что дети класса отнюдь не испытывают чувства зависти к удачливым предсказателям. Совсем наоборот: весь класс неудержимо радуется, потому что благодаря пройденному совместному пути Юлин и Олин вариант оказывается уже в каком-то смысле ОБЩИМ вариантом. Ведь описанная выше стратегия торжественных встреч с каждым вариантом необратимо уже детей в единую команду. И тому же Саше нисколько не обидно, что его собственная погрешность составила целых двадцать восемь рядов. Он чувствует себя членом единой команды, и он изо всех сил "болеет" за то, чтобы среди записанных в вероятностную таблицу вариантов оказались гораздо более точные, чем его собственный.

Таким образом, в классе происходит вовсе не соревнование детей друг с другом, (что порождало бы зависть к более удачливым соперникам), а... коллективное соревнование за приближение к истине.

И когда, наконец, обсчитываются последние пять горизонтальных рядов и выясняется, что горизонтальных рядов сорок, и дети обнаруживают, что ни один их прогноз не оказался абсолютно точным, это вызывает общий расстроенный вздох: "Эх, не угадали!!"

В смысле - ВСЕ.

А если бы кому-то все-таки удалось угадать точно, то это вызвало бы взрыв всеобщего восторга: дети восприняли бы это как общую победу, победу команды.

И это, возможно, самый главный психологический результат описываемого процесса: класс начинает чувствовать себя как единое целое, как единая команда.

ШАГ 17. После Рубикона. Ряды-невидимки.

Итак, пройдена сложная счетная дистанция, в ходе которой произошла встреча с восемью детскими предсказаниями, находящимися в зоне "недолета", а также произошло упорядочение этих предсказаний по их абсолютной величине. Выяснены и продемонстрированы величины погрешностей и показано, что самое точное предсказание принадлежит Оле и Юле – у их предсказания погрешность составляет всего пять рядов.

Но что делать дальше? Ведь в предсказательной таблице заявлены двадцать четыре варианта, и большая часть из них, как выясняется, находится в "зоне перелета". Что же, оставить эти варианты без внимания?

Разумеется, нет.

После того, как истинное количество горизонтальных рядов установлено, работа с вероятностной таблицей продолжается как ни в чем ни бывало. Меняется только одно: характер ГРАФИЧЕСКОЙ работы с детскими вариантами.

Ибо на новом отрезке пути учитель вынужден предложить детям работу с... невидимыми рядами, а, следовательно, работу в пространстве воображения.

При этом смысл работы странным образом переворачивается: если до сих пор смысл виделся в том, чтобы установить, сколько же на самом деле учитель начертил рядов, то теперь, когда ответ уже известен, внимание сосредотачивается на самих детских вариантах, оказавшихся в "зоне перелета".

Шаг 18. Так кто же победитель?

"Итак, мы выяснили, что у нас сорок горизонтальных рядов. Так чье же предсказание оказалось самым верным? Кто из нас оказался ближе всех к истине?" - задает учитель очередной исполненный коварства вопрос.

Естественно, что кто-то из детей поддастся на провокацию и простодушно укажет на Олю и Юлю. И действительно, среди восьми уже отслеженных детских вариантов (вариантов из "зоны недолета") это самые точные варианты.

Однако учитель не спешит соглашаться с детьми. "Вы абсолютно уверены в том, что именно Оле и Юле принадлежит вариант, наиболее близкий действительному положению дел?" И настойчиво, в разных формах повторяет этот вопрос, покуда кто-нибудь из детей не вспомнит о том, что в таблице есть еще и другие варианты.

Варианты, с которыми пока не произошла встреча.

"Так кто там у нас на очереди в таблице?" - невозмутимо спрашивает учитель.

И снова - взрыв страстей. Дети снова азартно всматриваются в таблицу, пытаясь определить, кто же идет следующим по очереди. И уже без особого труда определяют, что следующим на очереди оказывает вариант другого Алеши - вариант, предсказавший сорок один (!) горизонтальный ряд.

А ведь это уже почти абсолютно точное попадание "в яблочко".

"А на сколько ошибся Алеша?" – спрашивает учитель.

В общем, ответить на этот вопрос можно уже без всякого чертежа. Ведь Алеша ошибся всего лишь на один ряд.

Тем не менее, учитель подходит к демонстрационному листу и показывает вприкидку, "на глазок", где бы ПРИМЕРНО проходила граница сорок первого ряда - так, чтобы дети могли в воображении увидеть этот сорок первый ряд.

И лишь после того, как будет включена работа воображения, можно будет взять линейку и наметить этот сорок первый ряд легким пунктиром.

Причем уже не требуется прочерчивать этот ряд полностью, а достаточно наметить его фрагмент. Но так, чтобы дети могли отчетливо видеть, сколько это - сорок один ряд по сравнению с сорока рядами, и чтобы они отчетливо могли увидеть величину Алешиной погрешности.

И это будет момент встречи с Алешиным вариантом.

"Ну, так на сколько рядов ошибся Алеша?" "На один!" "Ура?" "Ура-а-а-а!"

Оказывается, кому-то из класса удалось ошибиться в совем предсказании всего лишь на один.

И, разумеется, это победа.

Не просто Алешина победа, а победа всего класса.

ШАГ 19. Работа вприкидку.

Тем не менее, работа продолжается. Ведь в таблице осталось еще много вариантов, и от учителя зависит, чтобы эти варианты превратились из абстрактных символов в что-то наглядно-чувственное. Дети должны увидеть собственными глазами, что из себя представляет, хотя бы примерно, каждый вариант.

Однако это вовсе не значит, что учителю теперь придется расчерчивать демонстрационный лист аж до четырехсотой горизонтали - это просто физически невозможно в силу ограниченности листа.

На самом деле учитель расчерчивает не более десятка дополнительных горизонталей, а далее переходит к работе в воображении.

"Итак, вот Алешин вариант из сорока одного ряда, а вот его погрешность, - показывает еще раз учитель, и идет дальше. - А кто там следующий?"

И снова - поиск по таблице предсказаний.

И обнаружение Наташиного варианта с ее сорока тремя горизонталями.

"А кто-нибудь попробует подойти к доске и показать, где бы проходила граница Наташиного варианта? Где бы проходила внешняя граница сорок третьего ряда?"

И снова идет работа с оценкой "на глазок".

Дети подбегают к демонстрационному листу и ПРИКИДЫВАЮТ, где, по их мнению, заканчивался бы чертеж, если бы на нем было изображено сорок три горизонтальных клеточных ряда. И ставят свои ориентировочные точки, не пользуясь никакими измерительными приборами… за исключением собственных пальцев.

И лишь после того, как все желающие поставили свои точки, учитель намечает пунктиром фрагменты сорок второго и сорок третьего рядов, давая детям возможность самим убедиться, кто из них оказался точнее всех в своих прикидках.

И уже после этого определяется погрешность (составляющая в данном случае три ряда), и эта погрешность заносится в вероятностную таблицу.

И в том же духе работа продолжается дальше. Сначала с помощью вероятностной таблицы отыскивается очередной вариант, затем дети пытаются вприкидку, "на глазок" определить, где бы проходила линия соответствующей горизонтали, а затем учитель вносит свои графические коррективы уже с помощью измерительных приборов.

Рисунок 10.

На рисунке изображен демонстрационный лист с отмеченными пунктиром детскими вариантами количества горизонтальных рядов. Представлено большинство вариантов, но естественно, что некоторые детские варианты здесь просто не поместились. Вместе с тем, это вовсе не значит, что они не имеются в виду.

Такого рода персональная разметка демонстрационного листа позволяет работать с математическим пространством как субъективно-личным пространством. Дети переживают абстрактную математическую модель как свою личную. С другой стороны, такая разметка позволяет отчетливо видеть, насколько точны оказались различные варианты.

Опираясь на такую субъективно-личную разметку, можно решать разнообразные задачи. Например, не составляет труда определить количество рядов, на которое ошибся тот или иной ребенок. Или определить, насколько вариант Наташи ближе к истине, нежели вариант Игоря. Причем для решения этих задач не требуется никакая техника вычислений: все ОЧЕВИДНО, надо только научиться видеть.

Шаг 20. Работа с воображением.

Понятно, однако, что описываемая стратегия работы с детскими вариантами достаточно скоро себя исчерпывает: попросту заканчивается свободное место на демонстрационном листе. И что делать дальше?

И здесь оказывается возможна новая увлекательная игра: учитель предлагает детям ПРИКИНУТЬ (снова прикинуть, т.е. определить приблизительно, "на глазок"), какого размера оказался бы демонстрационный лист, если бы оказались верны именно эти варианты. Иначе говоря, учитель относится к каждому варианту именно как к варианту, а не как к "ошибке". Ведь в чем отличие варианта от ошибки? Ошибка - это то, что требует исправления; вариант - это то, что требует обсуждения условий, в которых этот вариант - верен. И детям предоставляется возможность продемонстрировать условия истинности каждого предложенного варианта.

"Кто там следующий? Да, Коля предположил что у нас на листе поместится семьдесят четыре горизонтальных ряда... Увы, такое количество рядов уже не помещается на нашем листе. Но может быть кто-нибудь попытается показать, где бы закончился наш демонстрационный лист, если бы это было действительно так?... Да, пожалуй, действительно здесь... А возможно и еще дальше..."

При этом учитель может взять в руки указку или еще какой-нибудь длинный предмет и с помощью этого предмета вприкидку показать, где же закончилась бы демонстрационная сетка, будь в ней действительно семьдесят четыре горизонтальных ряда. Для этого достаточно отмерить ширину четырнадцати рядов и присовокупить это расстояние к шестидесятой горизонтальной полосе. Возможно, что результат в буквальном смысле этого слова повиснет в воздухе, но не надо этого бояться: детям такой поворот событий во всяком случае понравится.

Следующий вариант (вариант еще одного Алеши, составляющий сто горизонталей!) вероятнее всего "продлит" (естественно, снова в воображении) демонстрационную сетку до пола. В самом деле, при ширине одной горизонтали в два сантиметра сетка из ста горизонталей вытянулась бы на целых два метра! Можно представить, как изумятся и обрадуются дети встрече с таким вообразительным вариантом! А Алеша будет даже немножечко горд, что ему удалось предложить такой неожиданный (пускай и неправильный) вариант.

Еще более интересным оказывается Митин вариант: ведь он с его двумястами горизонталями растягивается аж на четыре метра! Чтобы отметить, где бы закончился лист с таким вариантом, придется воспользоваться полом и мелом. А дети будут просто в восторге от такого поворота дел: ведь это так удивительно и весело - видеть учителя, ползающего с мелом и указкой по полу!

И, наконец, самый фантастический вариант, вариант из четырехсот горизонталей занял бы... целых восемь метров, т.е. вольготно расположился бы во всю длину класса! И вновь очевидно, что такой вариант вызовет дружный взрыв восторга-восхищения у всех детей. Особенно когда учитель с помощью указки снова будет честно отмерять границу этого варианта прямо на полу между рядами...

И что крайне важно: при соблюдении принципов описанной выше работы ни один ребенок не почувствует себя интеллектуально униженным. Как бы ни был фантастичен тот или иной вариант, дети видят, что это вариант-событие. Настойчивое превращение учителем каждого варианта в учебную ценность - гарантия того, что при работе такого рода исключен издевательский смех более успешных учеников над неудачниками, а, стало быть, исключены психологические травмы детей.

Таким образом, КАЖДЫЙ детский вариант оказывается учебной ценностью, благодаря которой у детей расширяется ощущение числа и формируется способность количественных сравнений. И чем разнообразнее предложенные детьми варианты, тем более богатые учебные возможности открываются для учителя и для детей.

ШАГ 21. Вероятностная таблица в порядке возрастания.

Теперь в самую пору "переформатировать" исходную вероятностную таблицу и расположить ее участников в порядке возрастания предложенных вариантов - в соответствии с тем, как расположились детские варианты на демонстрационном листе.

Новая таблица расчерчивается рядышком с первой, являя пример элементарного упорядочивания произвольного числового ряда (упорядочения по абсолютному возрастанию величин).

И снова учитель ничего не объясняет, а просто вводит организационное правило новой таблицы.

"Чей вариант был самым меньшим? Правильно, Сашин. Записываем его в нашу новую таблицу первым. А кто будет следующим? Конечно, Катя...." и т.д.

При этом было бы очень неплохо, чтобы каждый очередной участник подходил к демонстрационной доске, сам находил себя в предыдущей таблице, и показывал, откуда и куда он перемещается, записывая свое имя и свой вариант в новой таблице.

Помогает в составлении такого рода таблицы демонстрационный лист (рис. 10), с которого без труда считывается возрастающая последовательность вариантов. И лишь "вообразительные" варианты, не поместившиеся на листе, дети упорядочивают без опоры на графику, "в уме".

А после того, как новая таблица составлена, можно дать еще одно, "закрепляющее" задание: прочертить "траектории", по которым произошло перемещение детей из одной таблицы в другую. Каждый ребенок подходит к доске и прочерчивает свою траекторию перемещения, причем желательно - фломастерами разных цветов. . Обычно дети выполняют такое задание с большим энтузиазмом.

Рисунок 11.

На рисунке представлены оба варианта таблицы, расположенные на одном уровне и частично соединенные "траекториями перемещения". Чем больше прочерчивается такого рода "траекторий перемещения", тем больше похож получающийся чертеж на новую головоломку - из серии тех "путаниц", которые так любят дети этого возраста.

ШАГ 22. Задача распределения мест.

И лишь после того, как произошла встреча с каждым без исключения вариантом, а варианты оказались распределены в порядке возрастания их абсолютных величин, можно вернуться к вопросу о их распределении по местам с точки зрения того, насколько тот или иной вариант оказался близок к истине.

Однако это вовсе не традиционная для школы стратегия выявления "победителей" и "побежденных". Нет, это просто-напросто самостоятельная математическая задача, смысл которой еще в одном варианте упорядочения тех чисел, которые внесены в вероятностную таблицу.

Сразу подчеркну: это задача, которую решают сами дети, а вовсе не учитель, а потому распределение детских вариантов в таблице не имеет оценочного характера. Это просто-напросто особая математическая (именно математическая!) задача, решая которую сами дети выясняют, на каком расстоянии от истины находятся их варианты и расставляют эти варианты по соответствующим местам.

И именно потому, что эта задача подается как чисто математическая, а решают ее сами дети (а вовсе не оценивающий детей учитель), в ней не содержится ни грана потенциального унижения. Эта задача, в результате решения которой вовсе не учебные "лидеры" и "отстающие" выявляются, а просто-напросто отрабатывается новый способ формирования числовой последовательности.

Выше было осуществлено упорядочение вариантов в порядке возрастания их абсолютных величин (т.е. их величин по отношению к нулю), от самого меньшего к самому большему. И с этой задачей дети уже превосходно справились, а учитель графически оформил это решение на демонстрационном листе.

Новая задача - гораздо более трудная. На этот раз требуется распределить варианты не просто в порядке возрастания их абсолютных величин, а по отношению к некоей величине, принимаемой за условную точку отсчета, т.е. с точки зрения допущенной каждым вариантом погрешности. Трудность такого рода упорядочения связана с тем, что детские варианты находятся по обе стороны от истины: у одних детей - "недолет", а у других - "перелет". Вот если бы все варианты находились по одну сторону, все было бы проще...

По силам ли решение столь сложной задачи начинающим (правда, уже прошедшим некоторый - описанный в предыдущих шагах - математический путь) первоклассникам? Практика показывает, что - да. Когда есть помощь демонстрационного листа и учителя.

ШАГ 23. Сравнение вариантов.

Итак, зафиксировав на демонстрационном листе все детские варианты, учитель возвращается к вопросу о том, какой из них оказался ближе всех к истине и предлагает детям осуществить распределение мест.

Естественно, чтобы осуществить такое распределение, нужно прежде всего СРАВНИТЬ все зафиксированные варианты. Причем сравнить их не по абсолютной величине (т.е. по отношению к нулю), а по отношению к некоей достаточно условной величине - в нашем случае такой условной величиной является число сорок.

Относительно не трудно выделить, пожалуй, только вариант победителя.

Особенно в том случае, если кому-то из детей удалось сделать абсолютно точное предсказание.

Но в чисто математическом отношении это наименее интересный случай для работы в классе. Нет погрешности - значит, нет самой проблемы сравнения величин.

Впрочем, наличие большого количества других вариантов всегда создает возможность чрезвычайно увлекательной математической работы в первом классе.

В нашем примере отсутствует вариант точного предсказания именно потому, для последующей математической работы этот вариант является несущественным. Реальная математическая работа начинается только тогда, когда речь заходит об определении мест для тех вариантов, которые в той или иной мере не совпали с истиной.

У нас самым близким к истине вариантом оказался вариант Алеши: его погрешность составила всего один ряд. И то, что именно Алеша, а не кто-нибудь другой занял первое место - очевидно. Для этого вовсе не обязательно уметь вычитать сорок из сорока одного или производить какие-то другие сравнительные вычисления. Нарисованная учителем графическая модель позволяет ВИДЕТЬ, что Алешин вариант находится БЛИЖЕ к истине, нежели чей-либо другой (а ведь вопрос именно так и был поставлен: кто оказался ближе к истине).

Учитель начертил на доске сорок рядов, а Алеша предсказал сорок один. Вот они - сорок рядов (обводим по периметру ВСЮ группу!), а вот - сорок один ряд (снова требуется обвести по периметру всю соответствующую группу!).

И любой ребенок может подойти к доске по приглашению учителя и показать ТОТ САМЫЙ один-единственный ряд, на который ошибся в своем предсказании Алеша. И показать (ничего не считая!), что все остальные варианты находятся дальше от истинного. Единственное, что требуется от ребенка - это понимание смысла слов "дальше" и "ближе".

И уже после того, как соответствующая демонстрация произошла, учитель начинает составлять новую таблицу - таблицу распределения мест.

Эта таблица появляется рядом с теми, которые представлены на рис. 11. В новой таблице строчки соответствуют занятым местам, и потому в первую строчку здесь помещается Алеша. А напротив его имени, в графе "Погрешность" учитель делает символическую запись: 41-40=1. При этом каждый ребенок должен уметь расшифровать эту запись, т.е. показать на рисунке число 41, число 40 и число 1, всякий раз обводя периметры соответствующих графических групп.

Определение второго места также не составит труда для зрелых первоклассников. Конечно же, это Наташин вариант с ее сорока тремя рядами. И первоклассники должны уметь показать, что Наташин вариант (43 клеточных ряда) находится ДАЛЬШЕ от истины, нежели Алешин вариант (41 клеточный ряд).

Сравнение этих вариантов с опорой на вопросы учителя и графику демонстрационного листа может происходить примерно таким образом:

"На сколько рядов ошибся Алеша?" - "На один." - "Покажи этот один ряд!" - "Вот он." - "А на сколько рядов ошиблась Наташа?" - На три. - "Покажи эти три ряда!" - "Вот они." - "А на сколько рядов Алеша ближе к истине, чем Наташа?" - "На два." - "Где они?" - "Вот эти два ряда!"

Причем важно не просто сказать, что три ряда, на которые ошиблась Наташа, - это больше, чем один ряд, на который ошибся Алеша. Важно, чтобы каждый ребенок умел ПОКАЗАТЬ эту разницу на графической модели демонстрационного листа. И уже ПОСЛЕ этого можно сделать соответствующие символические записи: 43-40=3 ; 43-41=2.

Впрочем, одновременно нужно уметь показать, что любой другой вариант (кроме Алешиного) находится ДАЛЬШЕ от истины, нежели Наташин вариант.

"Вы уверены, что именно Наташа, а не Никита занимает второе место? Докажите это!" И дети подходят к демонстрационному листу, и показывают, что Никитин вариант отстоит от истины на целых четыре ряда (вот они, эти четыре ряда!), тогда как Наташин - всего на три (вот они, эти три ряда!), и показывают, что Наташин вариант на целый ряд ближе к истине (вот он, этот ряд!).

И точно так же можно провести работу по сравнению Наташиного варианта с любым другим - Пашиным, Лениным, Олиным, Юлиным, Настиным, Сениным и т.д.

А затем для сравнения берутся другие пары вариантов - для выяснения того, кто же занял третье, четвертое, пятое, шестое и так далее места. И всякий раз сравнение осуществляется с опорой на чертеж, и именно чертеж помогает определить, на каком расстоянии от истины находится тот или иной вариант.

Важно подчеркнуть лишь, что эта работа должна быть медленной и долгой, и не следует жалеть на нее времени - ведь в ней чрезвычайно продуктивный математический потенциал.

Рисунок 12.

Третья вероятностная таблица, дополняющая и развивающая таблицы, помещенные на рис. 11. На этот раз детские варианты распределены и упорядочены в соответствии с тем, насколько они оказались близки к истине. Не удивляйтесь, если на составление такой таблицы у вас уйдет целый урок, она действительно сложна. Но и математический потенциал работы по сотавлению такого рода таблицыц очень высок.

И точно так же, как в предыдущем случае, дети прочерчивают траектории перемещения своих вариантов и создают новую головоломку траекторий.

Ценность абсурдного.

В контексте всего выше сказанного должно быть понятно, что работа по определению погрешности всех детских вариантов - это работа, ценность которой состоит не только в том, что у ребенка формируется навык элементарного математического моделирования, навык работы с числом как плотностью и навык арифметических вычислений с помощью двумерной числовой прямой.

Ко всему прочему это крайне важная работа в чисто психологическом отношении, ведь она способна эффективно стимулировать уверенность ребенка в собственных силах и существенно повышать субъективную самооценку.

Но только в том случае, если при этом понимается: смысл вероятностной таблицы вовсе не в выявлении "лидеров" и "отстающих", а совершенно в ином.

Да, ребенок, чей вариант оказался ближе всех к истине, должен быть поощрен каким-нибудь призом.

Но ошибку сделает тот учитель, который решит, что в этом - главный замысел работы, и что варианты других детей обладают меньшей ценностью, нежели вариант победителя. Суть вероятностной таблицы заключается в том, что это – информационно-математическая, а вовсе не соревновательная таблица! Чем больше вариативный разброс первоначальных предположений - с тем более обширным числовым материалом будет работать класс при определении погрешности. И именно это определяет ценность любой детской гипотезы, какой бы ни казалась она нелепой и абсурдной. Чем больше вариантов, тем большее количество чисел можно будет увидеть “во плоти”, а “абсурдные” варианты позволяют работать особенно интересно.

Скажем, благодаря мальчику Мите удается увидеть, как велико число 200 по сравнению с числом сорок и продемонстрировать число сто шестьдесят. И учитель всячески интонационно подчеркивает, насколько это здорово (!!!), что в распоряжении класса оказался столь замечательный, столь смелый Митин вариант.

ШАГ 24. Видеть число.

Итак, сама суть последнего задания состоит вовсе не в распределении мест как таковом, а в возможности предъявить взгляду ребенка различные числовые величины в их модельном соотношении. Распределение мест - это лишь повод к такого рода сравнительной работе. А главное ее содержание заключается в формировании соотносительных образов различных чисел. Ведь чем больше сравнивается вариантов, тем более глубокое ощущение числа складывается у ребенка. И это естественно: сама суть числа такова, что оно может быть познано ТОЛЬКО в сравнении.

Все акции сравнения сопровождаются соответствующими символическими записями; но при том дети всякий раз должны отчетливо видеть графические корреляты этих записей.

Конечно, и задача по распределению мест понемногу решается. Но эта задача не является самоцелью. Поэтому ни в коем случае не нужно торопиться распределить места. Наоборот, следует "растягивать удовольствие" определения каждого очередного места и не упускать возможность лишний раз провести модельно-сравнительную работу всех предложенных детьми вариантов как по отношению друг к другу, так и по отношению к искомому результату.

И еще одно замечание. Важно, чтобы в процессе сравнения каждый вариант демонстрировался во всем его реальном объеме. Например, показывая Наташин вариант, ребенок должен обводить ВСЮ группу из сорока трех рядов, а вовсе не проводить границу последнего только ряда. Только в этом случае ребенок будет видеть, что группа из сорока трех рядов (Наташин вариант) совсем немного отличается от группы из сорока четырех рядов (Никитин вариант), но зато существенно превосходит Сенин или тем более Катин варианты.

Кроме того ребенок должен тщательно обводить те ряды, которые представляют собой разницу между теми или иными двумя вариантами. Например, указывая на то обстоятельство, что Наташин вариант на три ряда отличается от искомого, ребенок обязан обводить эти три ряда по периметру, а не просто тыкать пальчиком в соответствующий прямоугольник. И особенно это важно на самых ранних этапах обучения, когда происходит процесс “обучения глаза”: вначале периметры обводятся пальчиком, и лишь спустя достаточно большой промежуток времени ребенок научается видеть и вычленять соответствующие периметры дистанцированно, только глазами.

Если же учитель не будет с самого начала внимательно следить за точностью демонстрации каждого варианта, ребенок так и не научится видеть число, а, следовательно, процедура сравнения чисел так и останется для него голой абстракцией. И весь моделирующий смысл работы с демонстрационной графикой попросту сведется к нулю.

Поэтому следует имет в виду, что практически ВСЕ описываемые в настоящей книге задания предполагают своего рода включенный тренинг на видение и визуальное сравнение различных чисел. Называя любое число, изображенное графическим образом, ребенок должен уметь ВИДЕТЬ графический объем этого числа, и всякий раз обводить соответствующую графическую модель: на первых порах - пальчиком или кончиком ручки, а в последующем - мысленно.

ШАГ 25. Диаграмма.

Итак, после заполнения в вероятностной таблице графы "Погрешность" появляется возможность распределить всех детей по местам - в зависимости от того, насколько у кого оказалась велика эта самая погрешность.

Но при том следует помнить, что смысл определения погрешности и сравнения допущенных погрешностей не в том, чтобы выявить "лучших" и "худших", а в том, чтобы дать ребенку некоторые точки отсчета, точки видения.

Поэтому в психологическом отношении описываемый здесь шаг - это не столько шаг по распределению мест в смысле выявления "победителей" и "побежденных", сколько шаг по информационному упорядочиванию всех детских вариантов с помощью сравнительной диаграммы погрешностей.

Скажем, если у Алеши С. погрешность составила один ряд, столбик его диаграммы будет состоять из одной клеточки, у Наташи – из трех клеточек и т.д.

На отдельном листе все детские погрешности вычерчиваются "по старшинству", в виде соразмерных “столбиков” с единой точкой отсчета. Смысл построения такого рода диаграммы не соревновательный, а чисто математический.

Понятно, что диаграмма вычерчивается учителем: дети на первых порах не смогут выполнить такого рода работу. Однако уже очень скоро - со второго или третьего раза - возможно задание на самостоятельное вычерчивание диаграмм по составленным вероятностным таблицам, в том числе, в качестве домашнего задания.

Если погрешность слишком велика и не может быть представлена на диаграмме (не помещается на демонстрационном листе), учитель показывает возможную величину соответствующего столбика приблизительно: мол, вот примерно где мог бы закончиться столбик Мити или Маши.

Наличие диаграммы погрешностей позволяет осуществить дополнительную исследовательскую работу: ведь на диаграмме становится очевидным, насколько велика разница между допущенными погрешностями, и любой первоклассник может с легкостью это сосчитать. Например, на сколько погрешность, допущенная Катей больше, чем погрешность, допущенная Олегом или Ириной. А учитель должен только успевать записывать. В первом случае это будет 25-22=3, а во втором 25-14=11. Пользуясь диаграммой, любой первоклассник может дать ответы на эти вопросы, считая "лишние" клеточки.

Рисунок 13.

На рисунке представлен вариант построения диаграммы погрешностей. Рядом с каждым очередным столбиком, представляющим величину погрешности, записаны имена авторов данного варианта, а в скобках записана величина этой погрешности с помощью цифр.

ШАГ 26. Личностная числовая прямая

Впрочем, возможна еще более простая, и еще более абстрактная модель числа и числового ряда - модель, хорошо известная в математике как числовая прямая.

В нашем случае, чтобы построить числовую прямую, достаточно... просто убрать с демонстрационного листа "все лишнее".

В самом деле, на расчерченном нами листе любая вертикаль или любая горизонталь является не чем иным, как такого рода числовой прямой - достаточно эту линию "вынуть" из графической сетки, расположить на отдельном листе и сделать необходимые числовые обозначения.

Именно так и поступает учитель. Вначале он просто маркирует числовую прямую (одну вертикальную и одну горизонтальную) прямо поверх демонстрационной сетки - проставляет символические числовые обозначения, т.е. цифровые обозначения. А затем как бы "вынимает" такого рода прямую и помещает ее на отдельном листе.

И если уж такая модельная числовая прямая нарисована, на ней следует сделать не просто стандартную числовую разбивку, но и особыми цветами отметить все принимавшие участие в игре детские варианты, подписывая снизу (или надписывая сверху) имена тех детей, которым эти варианты принадлежат.

Таким образом, числовая прямая предстает перед глазами детей как модель описанной выше игры в числовую "угадайку", и не удивительно, что эта модель оказывается столь же насыщена личными смыслами детей, как и исходное демонстрационное поле. И потому не достаточно просто отметить на этой числовой прямой различные детские варианты; важно подчеркнуть личный, персональный характер каждой метки.

Поэтому учитель не просто подписывает имена детей под теми или иными точками на числовой прямой, но и всячески интонационно подчеркивает, что точка, допустим, пятнадцати - это персональная точка Кати. И можно под этой точкой не только имя Кати написать, но и нарисовать смешного человечка "Катю". И реальная Катя должна УВИДЕТЬ, что эта точка действительно является как бы ее персональной точкой.

Такого рода персонифицированность пометок на числовой прямой обеспечивает восприятие этой прямой как своей личной, собственной, а не как безлично-отчужденной. А кроме того лишний раз подчеркивается ценность КАЖДОГО (а не только "победного") варианта. Любой вариант ценен, как бы далеко он ни находился от истины. Потому что только в том случае, если есть разнообразие вариантов, с ними можно продуктивно работать.

Итак, возникает что-то вроде личностной числовой прямой: это числовая прямая, на которой каждый ребенок видит личную метку своего варианта, и это числовая прямая, которая с самого начала носит неотчужденный характер по отношению к ребенку. Это числовая прямая, на которой стоит его личная метка.

А поскольку вероятностные задачи плодятся как грибы после дождя, очень скоро класс буквально обрастает множеством такого рода личностных числовых прямых с личными метками вариантов. В результате и сама идея числовой прямой очень скоро оформляется в сознании ребенка как глубоко личная идея - идея, пронизанная личными смыслами...

ШАГ 27. Задача масштабирования.

Понятно, что в процессе "изымания" числовой прямой из плоскости демонстрационного листа можно менять масштаб. Скажем, устанавливать цену деления не в два, а в один сантиметр. И тем самым лишний раз подчеркивать модельный, а не натуральный характер этой прямой.

Понятно, что такой, масштабирующий подход позволяет по-новому взглянуть на соотношение предложенных ранее детьми вариантов.

Так, достаточно предложить цену деления в полсантиметра, и уже все детские варианты окажутся вполне обозримы.

Скажем, для того, чтобы отобразить фантастический вариант в 400 рядов, уже не потребуется отмерять дистанцию в восемь метров, а будет достаточно двухметровой числовой прямой.

А если принять за единицу числовой прямой миллиметровый отрезок, то все детские варианты от одного до четырехсот можно будет отобразить на отрезке длиной всего лишь сорок сантиметров! Правда, при этом будет нелегко графически отдиффиренцировать те варианты, которые находятся недалеко друг от друга: детям придется вставать со своих мест и подходить близко-близко к демонстрационному листу, чтобы разглядеть, где какой вариант находится. Но зато несколько числовых прямых, выполненных в разных масштабах и несущих "личную" информацию о детских числовых вариантах - это весьма наглядная демонстрация "соотносительной" сущности числа.

Главное, чтобы глаз ребенка увидел, что числовые прямые разных размеров несут одну и ту же математическую информацию, и что чисто математически двухметровый отрезок ничем не отличается от сорокасантиметрового: там и там представлено совершенно идентичное соотношение детских вариантов.

Но чтобы это ощущение очевидности возникло, требуется, чтобы на выполненных в разных масштабах личностных числовых прямых вновь были бы осуществлены процедуры сравнения предложенных детьми вариантов. "Ну-ка, Катя, покажи, на каком расстоянии от правильного результата оказался твой вариант? А Олин? А насколько ее вариант точнее?.."

И так обсуждается каждый детский вариант; и не надо жалеть на это времени, не надо бояться, что на это может уйти целый урок, или даже несколько уроков - это очень продуктивная для детского мышления работа. Главное, чтобы каждый ребенок увидел: математическая информация, отображенная на числовой прямой, не зависит от принятого масштаба, и что в чисто математическом отношении разномасштабные прямые абсолютно идентичны.

Впрочем, совсем не обязательно, чтобы взгляд ребенка с первого раза уловил эту математическую тождественность числовых прямых, выполненных в различном масштабе. Но какая-то загадка, какая-то точка математического удивления, у него может быть сформирована уже сейчас.

Рисунок 14.

Личностные числовые прямые, выполненные в двух разных масштабах

ШАГ 28. Определение погрешности по числовой прямой.

Работа с числовой прямой позволяет увидеть, что для определения погрешности того или иного детского варианта вовсе не обязательно пользоваться "натуральным" объектом - в данном случае демонстрационным листом. Достаточно создать "краткую модель" этого объекта - в данном случае числовую прямую, и уже с помощью такого рода модели определить погрешность каждого варианта.

То, что в предыдущих шагах определялось с помощью натурального обсчитывания рядов, теперь можно определить исключительно с помощью отрезков числовой прямой. Для этого дети совместно с учителем подсчитывают, на каком расстоянии от цели (в интервалах числовой прямой) оказался каждый ученик, и сравнивают полученный результат с данными вероятностной таблицы.

Понятно, что определением погрешности того или иного детского варианта занимается в первую очередь сам учитель: дети начального школьного возраста являются на этом этапе по преимуществу наблюдателями, коль скоро приходится устанавливать разницу между, допустим, тридцатью и пятьюдесятью пятью. Но наблюдателями активными.

Учитель указывает на технологию определения погрешности, а уже сами дети (хором, вместе с учителем) сосчитывают промежутки, отделяющие точку того или иного варианта от точки истинного числа.

Приведенный здесь способ введения числовой прямой (через редуцирование двумерной числовой сетки) весьма эффективен в начальной школе, поскольку позволяет отчетливо увидеть, что не сами точки-метки, а именно промежутки между числовыми точками моделируют число. Это тем более важно, что даже использование обыкновенной измерительной линейки зачастую слишком трудно для шестилеток: многие дети в этом возрасте искренне уверены, что "сантиметром" является само МАРКИРУЮЩЕЕ ДЕЛЕНИЕ на линейке, а вовсе не расстояние между двумя делениями. Поэтому работа на определение погрешности с помощью числовой прямой - это вообще крайне важная работа на формирование в детском сознании абстракции числа с помощью элементарной пространственной модели, каковой и является числовая прямая. И естественно, что привычка работать с числовой прямой, привычка работать на определение числовой погрешности - это привычка, которая создает хорошую базу для овладения различными измерительными процедурами.

ШАГ 29. Провокация свободной фантазии.

А теперь вернемся к тому странному обстоятельству, что в вероятностном образовании математика не существует в качестве отдельного “учебного предмета”. В любой момент работа с математическим содержанием может обернуться языковой, лингвистической работой.

Вспомним: когда еще только начиналась работа с расчерчиванием демонстрационного листа, учитель задал детям вопрос о том, на что похож его рисунок. И повесил особый лист для записи наиболее интересных детских вариантов. И этот лист все время в работе. По ходу того, как нарастает “математическая плотность” диалога учителя с детьми, учитель возвращается к исходному вопросу: “Так на что же похоже то, что я здесь рисую?!”

Если у детей не сформировано доверие к учителю, если дети подавлены необходимостью всегда говорить "правильно", если их фантазия не выпущена на свободу - одним словом, если они учатся в обычной, "программной" школе, едва ли учитель услышит в ответ что-нибудь интересное.

Однако если дети учатся в школе вероятностного типа, нужно быть готовым к тому, что даже самые простые вопросы учителя могут оборачиваться настоящим фейерверком детских идей.

И понятно, что по мере развития чертежа изменяется характер ответов.

К моменту, когда чертеж будет закончен, можно будет услышать множество самых неожиданных мнений: "на решетку в тюрьме", "на кафель в ванной", "на окна в доме", "на теннисную сетку", "на невод", "на рыболовную сеть", "на...".

Вполне вероятно, что кто-то из детей скажет и о том, что получившаяся сеточка весьма напоминает то, как разлинована тетрадка. Но если бы задача сводилась просто к тому, чтобы угадать этот вариант - эта задача была бы излишне плоской. На самом деле очень важно, чтобы произошел выплеск самой разнообразной детской фантазии, уводящей, казалось бы, далеко в сторону от собственно математического содержания.

И это не просто способ психологической разгрузки, хотя и он тоже.

Другая сторона дела заключается в том, что ребенок просто обязан осваивать математическое пространство личностно, фантазийно - в этом залог того, что математика не будет восприниматься им как нечто отчужденно-бессмысленное. И потому языковое самовыражение должно пронизывать любые математические занятия. В частности, придумывая самые разнообразные образы того, на что похоже разграфление демонстрационного листа, ребенок ставит на демонстрационный чертеж еще одну свою личную метку - метку своей фантазии. И в результате абстрактный математический объект становится для него теплым и своим. А занятия языком оказываются при этом как бы интегрированы в математику. Или математический урок органичным образом превращается в урок языка.

ШАГ 30. Спеллинг-письмо.

Никогда нельзя заранее предугадать, в какой именно момент математического движения может возникнуть точка вероятностного перехода в лингвистическое пространство. В значительной мере это зависит от интуиции учителя, по настроению класса ощущающему, что дети для такого рода перехода созрели. Критерий же определения такого рода момента зрелости достаточно прост: если в какой-то момент на очередной провокационный вопрос учителя дети начинают выдавать "на гора" яркие языковые конструкции, которые просто невозможно не записать. А, с другой стороны, сама языковая работа может стимулировать новые математические повороты. И такого рода постоянное перетекание математики в язык и языка в математику - непременная особенность вероятностного образования. Важно только, чтобы в педагогическом арсенале учителя были достаточно эффективные средства, которые позволяли бы ему извлекать из этих вероятностных переходов максимальный педагогический эффект.

Приведу в качестве примера технологический прием, позволяющий формировать определенные лингвистические навыки в пространстве так или иначе возникшей свободной детской фантазии.

Когда во время обсуждения какого-то вопроса, провоцирующего возникновение у детей структур образного мышления (в данном случае - вопроса о том, на что похожа расчерченная учителем сетка из клеточек), у детей появляются варианты, которые невозможно не записать, учитель "замораживает" собственно математическое движение и переключается на запись этих спонтанно возникающих "параматематических" детских текстов. При этом он может использовать прием спеллинг-письма (побуквенного письма) под диктовку самих детей.

Суть метода спеллинг-письма заключается в том, что автор предложенного варианта диктует (или пытается продиктовать) свой вариант учителю… по буквам.

Скажем, если кто-то из детей заявляет, что нарисованная сетка из клеток походит на решетку в тюрьме, учитель обращается к этому ребенку: "Диктуй по буквам! Первая буква...". И ребенок диктует: "Рэ!"

И пусть буква называна не совсем по правилам, в данном случае это неважно, и не надо на этом специально фиксировать внимание ребенка; достаточно, что когда сам учитель будет записывать эту букву, он должен внятно и громко произносить ее нормативное имя - "эР".

- "Следующая!" - просит учитель. Ребенок, скорее всего, выпаливает: "И!". Но учитель ни в коем случае не поправляет ученика, а просто говорит ему: "нет", и ждет, когда ребенок предложит другой вариант. Если ребенок теряется - учитель обращается за помощью к классу и запись продолжается уже под диктовку всего класса (или нескольких, наиболее уверенных голосов из класса). Затем аналогичная трудность может возникнут, с буквой "ё", с буквой "т" и т.д.

...Между прочим, такого рода спеллинг-письмо является прекрасным способом овладения чтением и грамотностью в начальной школе. Благодаря технологии такого письма даже дети, которые в начале учебы еще совершенно не умели читать, научаются этому искусству… исключительно на материале собственного словесного творчества и творчества своих товарищей по классу. Ежедневная работа такого рода делает излишним “Букварь”: ребенок осваивает чтение и письмо в пространстве собственной языковой фантазии.

ШАГ 31. Идентификация тетради.

И снова - возвращение к математике.

Из всех предложенных детьми вариантов учитель обращает особое внимание на тот, где сказано, что расчерченный демонстрационный лист напоминает страницу из тетради. А если такого варианта нет – подталкивает к его появлению наводящим вопросом: “А нет ли у кого-то с собой в портфелях или на парте чего-то такого, что очень и очень напоминает мой лист?”

Так от диалога с демонстрационным листом дети переходят к диалогу к собственными тетрадями в клеточку.

Дети сами должны обнаружить, что, оказывается, так долго расчерчиваемый учителем демонстрационный лист есть – но в уменьшенном виде - у каждого из них. Это ли не удивительно? И это ли не повод самым внимательным образом порассматривать пустую пока еще тетрадь?

А вот и первый сугубо математический вопрос, который учитель задает рассматривающим свои тетради детям: “Интересно, а где больше вертикалей и горизонталей - у меня на листе или в ваших тетрадях?"

И дети начинают считать. Кто-то - с большим успехом, кто-то - с меньшим. Но с безусловным энтузиазмом!

Естественно, что кто-то при этом сбивается в счете – и тогда учитель предлагает детям разбиться на пары или на тройки и считать совместно.

И скоро обнаружится, что количество вертикалей и горизонталей на демонстрационном листе практически совпадает с количеством вертикалей и горизонталей в стандартной ученической тетради. Разве что чуть-чуть не совпадает, в связи с тем, что тетрадная страница обычно обрезана не строго по линии клеточек, а с некоторым "заступом". Однако учитель может дорисовать недостающие детали на своем листе, дабы совпадение оказалось полным. И тогда сомнений уже не будет ни у кого: конечно же, учитель изобразил на демонстрационном листе страничку из тетради в клеточку.

ШАГ 32. Открытие модели.

Итак, дети знают, сколько вертикальных и горизонтальных рядов начертил учитель. Знают также, что расчерченный учителем лист является модельной копией их тетрадного листа. И здесь учитель задает следующий "хитрый" вопрос: "Интересно, а сколько тут у меня клеточек?!"

Интересно, что теперь, зная, что расчерченный лист - это модель тетрадного листа дети могут для определения количества клеточек, нарисованных на доске, пользоваться своей тетрадью.

Но для самих детей это, разумеется, не очевидно.

И когда учитель дает задание сосчитать общее количество клеточек, далеко не все дети догадаются, что считать можно... с помощью собственной тетради. Они будут проситься к доске (потому что "не видно"), а у доски будут грудиться в кучу, пока не найдется кто-то наиболее сообразительный, кто начнет считать клеточки у себя в тетради.

И вот тут-то учитель не пожалеет слов восхищения в адрес догадливого ребенка: ведь это и есть самая что ни на есть прямая демонстрация того, что можно назвать математическим мышлением.

Если же никто не догадывается, учитель должен подтолкнуть их к этому: "Неужели есть только один способ считать клеточки на моем рисунке - стоя у доски? Я уверяю, что каждый из вас может справиться с этой задачей, не поднимаясь со своего места и даже не глядя на демонстрационный лист. Кто догадается, как это можно сделать?"

ШАГ 33. Сколько же клеточек на тетрадном листе?

Впрочем, еще до того, как дети начнут считать клеточки у себя в тетради, следует поиграть еще в одну "угадайку" - пусть дети попытаются предположить, сколько клеточек размещается на стандартной тетрадной странице.

Не сомневайтесь, вариантов будет множество, и они будут достаточно разнообразными: дети будут предполагать и пятьдесят, и восемьдесят, и сто, и двести, и пятьсот клеточек. Важно снова не полениться и все детские варианты (с указанием имен детей) выписать на отдельный лист, в таблицу предсказаний, чтобы уже после определить, чей вариант был ближе к истине. А дальше все происходит по той схеме работы с вероятностной таблицей, которая была представлена выше.

ШАГ 34. Метки счета.

После того, как предположения выдвинуты и записаны в таблицу, детям предоставляется возможность самим сосчитать клеточки на тетрадном (и, соответственно, демонстрационном) листе.

Естественно, что совершенно самостоятельно сосчитать на своем тетрадном листе огромное количество находящихся на нем клеточек (а ведь их более тысячи двухсот!) обыкновенному первокласснику пока не под силу.

Важно, однако, чтобы каждый ребенок НАЧАЛ подсчет, отмечая каждую “пройденную” клеточку точкой, и тогда очень скоро станет видно, до какой ступеньки доходит знание натурального ряда у каждого ребенка.

Так и формулируется задание: "Считайте до той клеточки, до которой сможете, и не забывайте отмечать уже сосчитанные клеточки".

Если ребенок не может сосчитать даже клеточек первой горизонтали (т.е. не освоен натуральный ряд в пределах тридцати), и, затормозившись, сообщает, что дальше он считать "не умеет", учитель просто делает цифровую пометку рядом с той клеточкой, в которой появилась последняя точка-метка (разумеется, предварительно проверив, правильно ли сосчитаны клеточки). Эта цифровая пометка обозначает количество сосчитанных и помеченных ребенком клеток, и одновременно фиксирует уровень натурального счета, достигнутый данным ребенком. А пройдет совсем немного времени, и сам ребенок, благодаря сохранившимся меткам, увидит тот прогресс, которого он достиг в натуральном счете.

Если же ребенок с самого начала считает без проблем и в третьем, и в четвертом и в пятом, и в шестом десятках, учитель делает промежуточные пометки в конце каждого ряда, уже сосчитанного ребенком. Для этого он просит всех детей останавливаться и подзывать его в конце каждого подсчитанного ряда.

Таким образом ребенок осваивает важную технологию символического помечивания, которая помогает не сбиться со счета, а также помогает учителю в поиске тех мест, где ребенок сбился со счета.

Кроме того, когда учитель проверяет правильность полученного результата, он отмечает начало каждого нового десятка, формируя у ребенка культуру счета: ведь размечая свой счетный путь десятками, мы существенно облегчаем задачу правильного счета без сбивов при большом объеме счетного материала.

Между прочим, возникает вопрос: что делать тем детям, которые прекратили считать слишком рано, в то время как другие в поте лица упорно продолжают “бороться” с этим огромным клеточным множеством?

Все очень просто: первые приглашаются в качестве наблюдателей ко вторым: смотрите и учитесь!

Таким образом, когда учитель ходит между учениками, продолжающими счет, и делает свои пометки в ученических тетрадях, он учит и тех детей, которые, казалось бы, уже выпали из игры.

ШАГ 35. Публичный счет.

После того, как каждый ребенок завершил свою попытку сосчитать клеточки, учитель организует процедуру публичного счета, в ходе которой устанавливается истинное количество клеточек на тетрадном листе.

Это счет, который ведется дважды. Вначале – только на демонстрационной модели, потом – одновременно на модели и в тетрадях (учитель считает по модели, а дети – по своим тетрадям). При этом счет ведет учитель, а дети лишь соучаствуют в этом процессе, нестройным хором поддерживая громкий голос учителя.

Во время этого счета все выписанные в вероятностную таблицу детские предположения помечаются и очерчиваются: учитель наглядно демонстрирует те объемы клеточек, которые соответствуют названным детским вариантам. Для этого он делает остановку (и соответствующую пометку на демонстрационном листе) всякий раз, когда он доходит до того количества клеточек, которое соответствует тому или иному детскому варианту. При этом важно, чтобы класс помогал учителю делать соответствующие остановки - следить за тем, когда соответствующее число появится в процессе общего счета.

Например, Алеша сделал предварительное предположение, что общее количество клеточек, нарисованных учителем на демонстрационном листе, составит шестьдесят, а Катя предположила, что этих клеточек сто. Свои предположения сделали и другие дети. И вот, происходит дружный публичный счет. И все дети напряженно следят, когда же появится Алешин, или Катин, или чей-либо иной вариант. И как только соответствующий вариант появляется, класс на это тут же реагирует: "Это же Алешин вариант!" А если не успевает - помогает учитель. Делает остановку и спрашивает: "Неужели никто ничего не заметил? Ну конечно, мы наконец-то дошли до Алешиного варианта. Увы, если бы Алеша был прав, это было бы только вот сколько клеточек (обводит сосчитанную группу клеточек по контуру), а на самом деле их здесь значительно больше!"

...И счет продолжается дальше, пока не будут найдены, помечены и показаны все детские варианты, и подсчет не будет доведен до конца. И, честно должен сказать: многие дети будут в конце концов искренне изумлены, когда обнаружат, что количество клеточек на тетрадном листе существенно превышает тысячу.

И вновь: не надо бояться, что такого рода работа (совместное обсчитывание более чем тысячи двухсот клеточек) предлагается уже в начале первого класса. В том-то все и дело, что предлагаемая практика совместного счета является великолепным коллективным тренажом, позволяющим достаточно быстро сформировать и укрепить счетный навык в пределах натурального числового ряда.

Но самое главное заключается в том, что у детей развивается и закрепляется то, что можно было бы назвать "числовым зрением": ребенок начинает видеть глазами, сколько это - пятьдесят, сто, двести или тысяча - в их соотносительном объеме.

Память в метках.

Вообще следует иметь в виду, что любое звуковое называние числа - это тоже не что иное, как метка - метка пройденного числового пути.

Естественно, что в исходном своем существовании это устная, звуковая метка, позднее оборачивающаяся символической записью с помощью тех или иных значков. И весь натуральный числовой ряд в своем исходном назначении представляет собой не что иное, как условный ряд меток - инструмент, с помощью которого можно осуществлять меточную деятельность: ставить условные звуковые или визуальные значки при выполнении тех или иных количественно-измерительных процедур. Например, считать шаги.

Хранение звуковых меток счета осуществляется исключительно в памяти. Поэтому важнейшим условием такого рода деятельности является знание наизусть некоей условной последовательности звуковых сигналов, метящих реальный числовой ряд. Это мы и называем натуральным счетом. И когда взрослые спрашивают маленького ребенка: "До скольких ты умеешь считать?", он реагирует весьма определенным образом. А именно: менее всего пытается продемонстрировать свою способность сосчитать некоторое множество предметов, а просто-напросто предъявляет свое знание той условной меточной лестницы счета, с помощью которой принято осуществлять счет.

Всегда, однако, следует помнить, что такого рода "счет ни о чем" - это лишь демонстрация знания принятой в данном сообществе системы счетных меток, а не сам по себе счет.

К сожалению, многие взрослые, начинающие учить детей считать, забывают об этой мелочи, и вместо реального счета (всегда имеющего дело с той или иной объективной реальностью) учат детей знанию звуковых МЕТОК СЧЕТА. И многие маленькие дети радостно демонстрируют свое "знание счета", т.е. повторяют наизусть выученную последовательность счетных меток ("один, два, три, четыре, пять, шесть..."), даже не пытаясь использовать эти метки инструментально, т.е. для обсчета какой-то реальности. А это значит, что "знание счета", которым обладают эти дети - знание ложное, иллюзорное.

Что толку, если ребенок умеет "считать до ста" (и родители гордятся этим!), если для него это "знание ради знания", а в реальной жизни он никак не использует выученную им меточную систему - не считает шаги от дома до магазина, не считает ступеньки в подъезде и т.п. Безобъектное знание счета - это принципиально мертвое знание; однако многие родители не подозревают об этом. Они учат детей "считать" именно безобъектным образом (т.е. требуют от них запомнить некую абстрактную меточную систему), вместо того, чтобы вместе с ними заниматься реальным, объектным счетом, - а потом удивляются "математической тупости" своих детей.

Числительные количественные и порядковые.

В связи со сказанным не могу не обратить внимания на одну лингвистически-математическую "мелочь", которая обычно игнорируется принятым в школе словоупотреблением. Точнее, формальным образом эта "мелочь" отчетливо проговаривается в любом пособии по русскому языку, однако в реальности огромное большинство людей демонстрируют абсолютно неправильное словоупотребление имен числительных в процессе счета.

Дело в том, что в любом языке существует абсолютно четкое разделение количественных и порядковых числительных. В первом случае числительные обозначают количество, число чего-либо, или просто отвлеченное число ("один, два, три, четыре, пять, шесть...). Во втором случае числительные обозначают порядок следования предметов при счете ("первый, второй, третий, четвертый, пятый...").

Однако в огромном большинстве случаев, если ребенка или взрослого попросить сосчитать некоторое количество предметов, использоваться при счете будут не порядковые, а количественные числительные. И указываться при этом будет не вся группа уже сосчитанных предметов, а лишь на очередной считаемый предмет. И, между прочим, именно таким образом в большинстве случаев взрослые учат считать детей, готовя их к поступлению в школу; но, что самое ужасное, в огромном количестве случаев такую же путаницу допускают и учителя начальных классов и даже профессиональные учителя математики.

Приведу простой пример из "домашней" обучающей практики.

Мама просит пятилетнего ребенка сосчитать стоящие на столе чашки. Ребенок старательно считает: "один!" (указывает на первую чашку), "два!" (показывает на вторую чашку), "три!" (показывает на третью), "четыре!" (показывает на четвертую), "пять!" (показывает на пятую). И мама совершенно довольна, даже не замечая, что ребенок допустил несколько грубейших ошибок.

Во-первых, указывая на первую чашку, ребенок почему-то говорит не "одна", а "один", как будто чашка имеет мужской род. Во-вторых, указывая на очередные чашки, он использует не порядковые, а количественные числительные, и при том совершенно не замечает возникающей путаницы: показывая на ОДИН очередной предмет, он маркирует этот предмет странным, множественным именем "два", "три", "четыре" или "пять".

И это прекрасный пример того, что счет у такого ребенка носит подчеркнуто безобъектный характер: ребенок даже не задумывается над тем, что он считает реальные чашки. Он просто с помощью чашек демонстрирует свое знание маркирующей схемы счета.

Поэтому взрослые, учителя просто обязаны в этой ситуации задать ребенку провокационный вопрос. Когда ребенок указывает на очередную чашку и говорит "два!", нужно искренне изумиться и спросить: "Два - чего? Ведь ты показываешь на ОДНУ чашку - почему же ты говоришь "два"?"

Между прочим, столь простой вопрос кого-то из детей просто сбивает с толку.

А кто-то очень быстро понимает, в чем суть дела и спокойно указывает на то, что речь идет о двух уже сосчитанных чашках.

"Вот они, ДВЕ чашки, о которых я говорю!"

И, считая дальше с помощью количественных числительных, он меняет характер своей указательной жестикуляции. Отныне он будет при счете “два, три, четыре и т.д.” показывать не на очередную чашку, а на ГРУППУ уже сосчитанных чашек. "Одна!" (показывая на первую чашку), "две!" (обводя рукой первую и вторую, уже сосчитанные чашки), "три!" (обводя рукой группу из трех уже сосчитанных чашек), и так далее.

И наоборот: если всякий раз показывать лишь на ОЧЕРЕДНУЮ чашку, ребенок просто обязан использовать не количественные, а порядковые числительные (естественно, и в этом случае не забывая, что чашка - существительное женского рода): "Первая! Вторая! Третья! Четвертая! Пятая! Всего - пять чашек!"

И абсолютно то же самое должно происходить при подсчете клеточек.

Если ребенок считает с помощью количественных числительных, он каждый раз, вводя очередной числительный маркер-метку, должен указывать на ВСЮ ГРУППУ уже сосчитанных клеток: "Одна, две, три, четыре, пять..., двадцать шесть, двадцать семь... триста шестьдесят восемь..." и т.д.

Или, в противном случае, вести счет, используя порядковые числительные: "Первая, вторая, третья, четвертая, пятая... двадцать шестая, двадцать седьмая..., триста шестьдесят восьмая..."

И, заметим, что в первом и втором случаях он имеет дело с РАЗЛИЧНЫМИ ОБЪЕКТАМИ. В первом случае он маркирует звуковыми метками группы клеток, а во втором - лишь с каждую очередную клетку.

Таким образом, владение языковой нормой в данном случае свидетельствует о том, насколько ребенку представлен реальный математический объект, и, следовательно, свидетельствует о сформированности основ математического мышления.

И это лишний раз свидетельствует о том, насколько мышление математика должно быть пронизано филологической культурой.

ШАГ 36. Новые условия старой игры.

Естественно, что после того, как дети вместе с учителем установили, что на демонстрационном листе расчерчивалась тетрадная страница размером примерно 31x42 клеточки, новая "угадайка" с прежними условиями (разумеется, после того, как старый демонстрационный лист окажется полностью использован для записи и для вычерчивания задач, речь о которых пойдет ниже) оказывается уже невозможной: дети будут знать заранее, сколько сколько вертикальных и горизонтальных рядов собирается начертить учитель. Поэтому время от времени нужно изменять параметры чертежа и условия игры, и тогда вероятностная игра, описанная в предыдущих шагах, сможет быть возобновлена.

Скажем, если в первой игре графление листа шло с ориентацией на количество горизонтальных и вертикальных линий на тетрадной странице, то в следующих играх такого рода (через день, через месяц или даже через год - не имеет значения, поскольку эта игра может быть одинаково увлекательной и для первоклашек, и для учащихся старших классов) можно вводить совершенно новые условия.

Например, брать лист бумаги, на котором заведомо не поместится клеточная сетка 31x42 и задавать прежний вопрос: "Как вы думаете, а сколько горизонтальных и вертикальных рядов поместится на ЭТОМ листе бумаги?"

Или изменить масштаб - сделать клеточку размером 4x4 сантиметра - в пределах листа, тождественного прежнему - и задать прежний вопрос. Все это - блестящие средства развития детского глазомера, интуиции, ну и, конечно, чувства числа.

И самое главное, что это задача, постоянно открытая как творчеству учителя, так и творчеству детей. Если рассматривать изложенную выше задачу на графление, обсчет и идентификацию листа всего лишь как интеллектуальную матрицу целого куста задач такого типа, можно прийти к совершенно удивительным дидактическим открытиям. Предоставлю возможность сделать эти дидактические открытия вам самим, дорогие читатели моей книги.

Все, что от вас требуется – это смелость первого вероятностного шага, предполагающего отказ от каких бы то ни было пошаговых методических разработок и плановых сценариев. И открытость детскому самовыражению “здесь и теперь”.

И тогда вы обнаружите, что математика, основанная на вероятностных принципах, – это вовсе не математика, изобретенная неким Александром Лобком, а математика, каждодневно изобретаемая вами. И возможности этой математики воистину безграничны.

И все, что требуется от вас – это верить в себя, в свою математическую интуицию, и в детей. И тогда вас будет ждать встреча с удивительной математикой педагогических открытий. Математикой, которую вы изобретете сами, и которая будет богаче и интереснее любой математики, про которую вы прочитаете в книжке.

А к тому, что написано здесь, отнеситесь только как к провокации своего собственного творчества.