Глава IV

ИСКУССТВО СТРОИТЬ ИНТРИГУ.

Быть субъектом.

Итак, вы начинаете работу с группой детей пяти или шестилетнего возраста.

Сразу оговорюсь: вероятностные задачи гораздо более эффективны при работе с большими группами детей (в пределах стандартного школьного класса до 25-30 человек), нежели при работе с одним или несколькими детьми. Это связано с тем, что в большом классе легче сформировать ситуацию азарта и спровоцировать достаточно большой разброс предварительных детских мнений, которые и становятся предметом последующей работы. Кроме того, в большой группе быстрее обнаруживаются дети, которые берут на себя инициативу "первопроходцев", т.е. тех, кто осмеливается предложить самые первые - и самые рискованные - варианты ответов. А с другой стороны, дети, неуверенные в себе, получают возможность постепенно подключиться к работе, первоначально исполняя роль пассивных наблюдателей и лишь со временем обретая ту меру смелости, которая позволяет ребенку включаться в азартную работу со сколь угодно сумасбродными и невероятными вариантами.

Поскольку вероятностные задачи носят принципиально открытый характер, в них важно не столько усвоение каких-то готовых алгоритмов решения (что является основой прохождения традиционного школьного курса математики), сколько сформированность ПОТРЕБНОСТИ ребенка вступать в некую долговременную интеллектуальную и психологическую игру по тем или иным вводимым учителем правилам.

В вероятностных задачах ученик поневоле становится субъектом математического творчества, становится конструктором математической реальности, и потому традиционные школьные проблемы, связанные с "контролем знаний", оказываются здесь совершенно несущественными. Главное - не пресловутый "уровень знаний", а УРОВЕНЬ АЗАРТА, который раскручивает пружину математической самореализации ребенка и заставляет его создавать все новые и новые вариативные ответвления при работе с теми или иными задачными комплексами.

Кстати говоря, учитель, работающий в вероятностных технологиях, просто обязан обладать вкусом к импровизации. Он должен сам получать удовольствие от ситуаций с высокой степенью неопределенности; он должен любить попадать в такого рода ситуации и уметь из них выкарабкиваться и выпутываться. И уж во всяком случае он должен быть субъектом разворачивающегося в классе математического действа, а не пассивным исполнителем воли учебника и программы. И тогда каждый урок вероятностной математики будет превращаться в настоящий интеллектуальный праздник с лихо закрученной интригой и непредсказуемым финалом, и будет доставлять истинное наслаждение не только детям, но и учителю.

Интеллектуальная археология.

Итак, важнейшим техническим средством для урока вероятностной математики является ученическая тетрадь, расчерченная на правильные квадратики.

Но это - у ученика.

Что касается учителя, то у него также должен быть аналог такой тетради - но, так сказать, публичный, видимый всему классу.

Вроде бы такой аналог есть - традиционная для начальной школы классная доска с процарапанной на ней имитацией тетрадного листа в клеточку. Беда только в том, что клеточки эти плохо видно, а количество этих клеточек невелико, и потому многоклеточные композиции на такой доске не помещаются.

Но более серьезная беда заключается в том, что все, что нарисовано мелом на доске, приходится тут же стирать, чтобы освободить место для новых задач; а это крайне неэффективно при работе с задачами вероятностного типа.

Гораздо более эффективной выглядит работа с большими листами бумаги, расчерчиваемыми на клетки с помощью цветных фломастеров. В этом случае рисунок оказывается четким и хорошо воспринимаемым визуально всем классом, даже если размер стороны клетки не превышает двух сантиметров. А это значит, что страница ученической тетради, состоящая приблизительно из 1200 клеточек, может быть полностью воспроизведена на такого рода листе. Такого рода листы могут крепиться на специальные деревянные рейки, прибитые к стене, либо на доску чертежного кульмана. И в любом случае такого рода исписанные рабочие листы сохраняются на долгое время вперед, что позволяет учителю и детям время от времени возвращаться в собственное прошлое и по-новому всматриваться в содержание задач "давно минувших дней". И это способно порождать импульс к новому диалогу со старым содержанием, коль скоро речь идет о задачах вероятностного типа.

К слову замечу, что учитель, начинающий работать в вероятностных стратегиях, в принципе должен морально подготовиться к тому, что практически все, что он будет записывать и чертить на демонстрационных листах, должно тщательно сохраняться, и потому в очень скором времени пространство класса окажется чрезвычайно плотно насыщено содержанием прошлых уроков. Расчерченные на клеточки демонстрационные листы с теми или иными заданиями, вероятностные таблицы, личностные числовые прямые и многое другое - все то, о чем пойдет речь ниже - должны развешиваться по стенам класса на специальные рейки, во много слоев. Эта многослойная информация о прошлом учебном содержании создает эффект интеллектуально-математической археологии: в любой момент времени ребенок может забраться в любой из этих слоев, т.е. осуществить своего рода “раскопки” собственного учебного прошлого.

Разумеется, и сам учитель может сознательно актуализировать те или иные археологические слои - "вскрыть" наугад тот или иной демонстрационный лист и попросить детей вспомнить, восстановить события соответствующего дня. А поскольку все демонстрационные листы на уроках вероятностной математики активно насыщаются ЛИЧНЫМИ МЕТКАМИ, то и учебное прошлое, зафиксированное на этих листах, оказывается для детей личностно значимо. Здесь прошлое – это не мир абстрактно-безличного знания, а мир личной памяти каждого ребенка. И потому многочисленные рейки с торчащими из них штырьками, на которые можно нанизывать все новые и новые демонстрационные листы по мере развития учебного процесса являются важным средовым фактором в пространстве вероятностного класса.

Бесконечный урок.

И еще одно удивительное обстоятельство. Когда я говорю об “уроках” вероятностного образования, я менее всего имею в виду то структурное образование, которое досталось современной школе в наследство от новоевропейской школы Яна Амоса Коменского. В частности, я менее всего имею в виду некий более или менее жесткий временной интервал, в рамках которого должны быть реализованы те или иные учебные цели.

В вероятностной системе нет жестких урочных тем и нет жесткого поурочного планирования тех или иных действий и событий. И все то пошаговое движение, которое ниже будет описывается как вероятностное разворачивание различных образовательных ситуаций, - это движение, которое невозможно втиснуть в жесткие временные рамки. Каждая задача начинается и развивается на протяжении многих дней.

В этой связи целесообразнее всего проводить уроки вероятностного типа по принципу "погружения", когда несколько дней подряд учащиеся и учитель занимаются разворачиванием целостного пространства той или иной задачи с различными ее ответвлениями. И потому все то, что описывается ниже как “пошаговое” движение, рассчитано на весьма значительные отрезки времени.

Понятно, что спланировать заранее, какое конкретное количество времени уйдет на полное разворачивание той или иной задачи, принципиально невозможно. В одних классах и с одними детьми движение пойдет по одному временному графику, в других - по совершенно другому. Важно при этом не торопиться и помнить: в вероятностной системе быстро - не значит хорошо.

Чем медленнее - тем глубже.

Ведь главное не в том, чтобы как можно быстрее освоить некий нормативный материал, а в том, чтобы ПЕРЕЖИТЬ пространство каждой задачи как свое собственное, личное пространство...

* * *

Очертив предварительные условия, приступим теперь к пошаговому описанию возможного развития вероятностно-событийного урока (или, точнее, целой многочасовой серии уроков) в рамках одного из разработанных нами задачного комплекса. Однако еще раз подчеркну: все нижеследующее - это вовсе не методические или дидактические рекомендации, а своего рода ДИДАКТИЧЕСКИЕ ПРОВОКАЦИИ, призванные возбудить в читателе встречное творчество, а вовсе не желание слепо следовать указаниям.

ШАГ 1. “Здесь и теперь”.

Первый шаг - это шаг, который может быть охарактеризован как предварительный. Это шаг, в рамках которого всего-навсего создаются некоторые предварительные условия для последующей работы с задачами вероятностного типа. Вместе с тем, это шаг, в котором уже в полной мере представлена сама философия вероятностного урока, и потому это весьма и весьма ДОЛГИЙ шаг.

С формальной точки зрения смысл этого шага заключается в том, чтобы в классе появился демонстрационный лист, имитирующий тетрадь в клеточку.

Однако учитель, который заблаговременно “подготовится” к уроку и придет в класс с ЗАРАНЕЕ расчерченным на клеточки листом бумаги, совершит серьезную ошибку. Поскольку будет гораздо более продуктивно, если демонстрационный лист окажется расчерчен на правильные “клеточки” прямо на глазах у детей и с их участием. И не надо бояться, что процедура расчерчивания первого листа может занять не один час. Как раз подчеркнутая медленность этой процедуры обладает значительным интеллектуальным потенциалом для первоклассников.

Дети, пришедшие в первый класс, должны своими глазами увидеть это простейшее геометрическое чудо - чудо рождения разграфленного на правильные клеточки листа. А учитель должен сделать все от него зависящее, чтобы процедура расчерчивания оказалась максимально интересной для каждого ребенка. А для этого надо психологически точно построить интригу.

Например, это может выглядеть так.

Учитель прикрепляет к стене чистый лист бумаги, берет в руки линейку, треугольник, фломастер и… начинает без всяких предисловий расчерчивать чистый белый лист на правильные квадратики со стороной в два сантиметра - так, чтобы все дети класса могли своими глазами наблюдать этот процесс.

Совсем идеально, если в классе установлен чертежный кульман. Тем более, что и во многих других отношениях наличие в классе чертежного кульмана с многофункциональной рейсшиной является весьма эффективным образовательным средством для учащихся начальной школы. И в любом случае это превосходная альтернатива традиционным школьным доскам с их вечной меловой пылью и бликующим поверхностям.

Впрочем, и без помощи кульмана операцию по разграфлению бумажного листа на клеточки на глазах у детского колектива можно провести чрезвычайно эффектно и интригующе. Важно только иметь в виду одно обстоятельство: учитель ни в коем случае не объясняет детям, что он делает в тот или иной момент, а лишь с загадочным видом совершает некоторые интригующие действия, предлагая детям САМИМ расшифровать (или хотя бы просто предложить свои варианты объяснения) этих действий.

Итак, учитель просто занимается разграфлением листа, но перед каждым очередным своим действием (беря в руки линейку и фломастер, прочерчивая первую горизонталь или вертикаль, размечая размеры будущих клеточек и т.п.) настойчиво побуждает детей разгадывать эти свои действия вопросами примерно такого типа: "А ну-ка, кто попробует догадаться, что я сейчас буду делать?" Или: "А зачем я это делаю?" "А что я буду делать дальше?"

Но именно такие вопросы - вопросы с явно размытыми очертаниями - способны вызвать у детей прилив энтузиазма. Важно только не оставить без внимания ни одно из детских предположений, а наиболее интересные и неожиданные из них даже записать на другом демонстрационном листе…

ШАГ 2. Загадочная графика

Итак, учитель закрепляет на стене или доске лист бумаги, берет в руки линейку и фломастер и в ходе этих действий задает детям первый вопрос: "Кто догадается, что я сейчас собираюсь делать?"

Для любого взрослого вопрос нелепейший. Как можно о чем-то догадаться, если пока решительно ничего непонятно? Однако что касается детей, то как раз для них этот вопрос представляется совершенно не страшным. Чем меньшую точность предполагает вопрос, чем размытее его очертания, тем легче предлагать варианты ответа.

"Рисовать!" "Писать!"

"Ну хорошо, я действительно сейчас буду что-то рисовать. А как вы думаете, что именно?"

И снова вопрос достаточно нелепый.

И тем интереснее с ним работать детям. Учитель еще не приступил к работе, а они уже выкрикивают первые приходящие на ум варианты: "Себя самого!" "Наш класс!" "Дерево!" и т.п. Естественно, что ответы связаны с характером деятельности, которая уже происходила ранее в классе.

Но вот учитель приступает к работе, и постепенно демонстрационный лист испещряется сеткой горизонтальных и вертикальных линий.

И на протяжении всего того процесса учитель время от времени возвращается к своему исходному вопросу о том, что и зачем он рисует на доске

"Ну, а сейчас кто как думает? Что я черчу? Что я собираюсь чертить?", - и учитель продолжает свою деятельность, по вычерчиванию все новых горизонталей и вертикалей, и одновременно настойчиво побуждает детей на высказывание, на выдвижение гипотез относительно того, что же в конце концов должно появиться из-под рук учителя. И это продолжается до той поры, пока весь лист не оказывается расчерчен на клетки.

Возможно, что дети в конце концов догадаются, что учитель расчерчивает что-то, напоминающее страничку из тетради в клеточку. Однако вовсе не в этом главное (хотя, казалось бы, именно этот вопрос исходно задавался детям).

Главное, чтобы дети уже на самом начальном этапе обучения активно вовлекались в черновую работу по организации самого математического пространства урока - в данном случае клеточного пространства. И это будет залог их дальнейшей активной вовлеченности в математику как таковую (хотя кто может сказать, чем является "математика как таковая": ведь все описанные выше действия - это не просто "подготовка" к математике, но и математика ее собственной персоной).

ШАГ3. Проблема горизонтали.

Но вернемся к моменту, когда учитель еще только приступает к работе и чертит с помощью линейки или рейсшины первую (верхнюю) горизонтальную линию.

Длинную, во весь демонстрационный лист.

При этом он безусловно называет прочерченную линию "горизонтальной", но ни в коем случае не торопится объяснить детям, что означает слово “горизонталь”, как это обычно происходит в школе, где учительское объяснение предшествует учебной загадке, и дети вынуждены не столько сами догадываться о чем-то, сколько постоянно вникать в те или иные вербальные учительские объяснения.

Наш учитель, скорее, действует наоборот.

Начертив первую горизонталь и НАЗВАВ ее горизонталью, учитель спрашивает детей: "Как вы думаете, а ПОЧЕМУ эта линия называется горизонтальной?"

При этом учитель должен быть достаточно настойчив и не принимать реплик типа "я не знаю".

"Я ведь не спрашиваю, знаете ли вы. Я прошу вас попробовать ДОГАДАТЬСЯ, и я уверяю вас, что это не так уж трудно!"

И можно ответственно утверждать, что это действительно так: дети семилетнего возраста обладают достаточно широкими семантическими полями, и среди этих детей наверняка найдется кто-то, кто вспомнит слово "горизонт" и сможет догадаться о том, что горизонтальная линия - это линия, которая расположена "так же", как и линия горизонта (естественно, что слово "параллельно" детям пока неведомо).

И только в том случае, если никто из детей не сможет самостоятельно вспомнить слово "горизонт", учитель имеет право сделать подсказку и напомнить это слово: "Ну хорошо, а никто не знает, что означает слово "горизонт"? А кто-нибудь видел в своей жизни линию горизонта?" И тут уже не будет недостатка в объяснениях. А вслед за тем - и в объяснениях, касающихся того, что такое горизонтальная линия. И в каком положении должна находиться горизонтальная линия по отношению к земле.

Учитель при этом выступает исключительно в качестве корректора. Но предметом коррекции является не понятие, а ОБРАЗ горизонтали. Ибо суть дела не в том, чтобы запомнить “взрослое” значение слова, а в том, чтобы создать собственный образ того, что скрывается за словом.

А для этого достаточно взять указку и порасполагать ее различным образом по отношению к земле или по отношению к воображаемой линии горизонта, а дети при этом должны комментировать расположение указки с точки зрения идеи горизонтальности: действительно горизонтально расположена в тот или иной момент указка или не совсем горизонтально? Или совсем не горизонтально? И существуют ли какие-то способы ПРОВЕРИТЬ, в каких случаях указка расположена более горизонтально, а в каких – менее...

При этом дети сами приходят к идее измерения расстояний, на которых находятся противоположне концы указки от поверхности пола. (“Горизонтально – это когда оба конца указки на одинаковой высоте от пола!”). А чтобы это понимание произошло, учитель располагает указку под различными углами по отношению к полу, и все время спрашивает про “горизонтальность”: “А сейчас более горизонтально или менее горизонтально?”

При этом на первых этапах негоризонтальность положения указки должна быть очевидна; но по мере ее все большего "огоризонталивания" становится все более трудно определить степень ее горизонтальности "на глазок".

И вот учитель совершает уже совершенно незначительные изменения положения почти горизонтально расположенной указки. Как же теперь определить какое положение указки является "более горизонтальным"?

В этот момент у детей и возникает идея измерения расстояний, на которых находятся концы указки по отношению к полу. Оказывается, максимальная горизонтальность достигается тогда, когда концы указки находятся на РАВНОМ расстоянии по отношению к полу. И эту горизонтальность можно установить посредством соответствующих измерений.

ШАГ 4. Физическое и математическое.

Правда, тут же возникает серьезный вопрос, к ответу на который дети пока не готовы: как же измерить эти расстояния? Ведь это очень сложная задача. Нужна идея вертикального отвеса, нужна точность измерения... Откуда это все у начинающего первоклассника?

Разумеется, чтобы провести сколько-нибудь точные измерения, нужно пройти достаточно длинный математический путь. Однако уже сейчас, на самом первом этапе важно ПОСТАВИТЬ серьезную математическую задачу; а вернуться к ней мы сможем уже значительно позднее, когда дети освоят соответствующий математический инструментарий.

Сейчас же эта задача может быть решена только приблизительно. Например, так: учитель кладет указку на пол, а затем медленно-медленно приподнимает ее, чтобы оба конца указки двигались с одинаковой скоростью и поднялись на одинаковую высоту. А ученики наблюдают за этим действом. А затем сами по очереди пытаются осуществить то же самое и активно комментируют действия друг друга: кому в большей, а кому в меньшей степени удалось сохранить параллельность указки по отношению к полу.

Естественно, что при этом всякий раз достигается лишь приблизительная горизонтальность, и дети должны отчетливо это понимать.

Но самое удивительное заключается в том, что, как бы ни были точны измерительные процедуры, абсолютная (математическая) точность построения ФИЗИЧЕСКОЙ горизонтали оказывается невозможна даже для учителя, и учитель должен в этом сокрушенно признаться: как бы ни были мы точны в своих построениях, мы обречены на хотя бы минимальную погрешность.

Правда, существуют особые физические приборы, с помощью которых можно устанавливать уровень физической горизонтальности того или иного предмета. В частности, это так называемые “строительные уровни”. И будет просто замечательно, если в классе окажется такого рода уровень и учитель сначала покажет его действие в разных ситуациях, а потом даст его детям, чтобы они на переменах поэкспериментировали с различными поверхностями на предмет того, какая из них является более горизонтальной, а какая - менее.

Однако даже тогда, когда в нашем распоряжении есть такого рода прибор, мы должны понимать, что и он определяет уровень горизонтальности с известной погрешностью. И что как бы мы ни совершенствовали этот прибор, минимальная погрешность всегда будет иметь место.

Тем не менее, в этом нет ничего страшного, потому что даже семилетний ребенок обладает способностью выполнить точное математическое построение.

Правда... это будет построение В ВООБРАЖЕНИИ.

Пусть наша физическая горизонталь несовершенна, мы можем создать мысленный, вообразительный образ математически выверенной горизонтали; и вот это искусство - искусство математического воображения - будет являться важнейшим во всей последующей работе. Любые физические или графические образы, которые будут появляться в нашей последующей работе - это всего лишь математические МОДЕЛИ, призванные активизировать математическое воображение ребенка.

ШАГ 5. Загадка вертикали.

Итак, дети выяснили, в каком случае линия может рассматриваться как максимально горизонтальная. Следующий вопрос, который ставит учитель: "А в каком случае горизонтальность линии окажется наименьшей?"

И снова дети экспериментируют с указкой и устанавливают то ее принципиальное положение, которое можно было бы назвать "антигоризонтальным".

И снова это, разумеется, лишь приблизительное положение; но как раз это-то положение мы и будем называть "вертикальным".

Вертикальное положение - это положение... с наименьшей горизонтальностью. И самое любопытное, что такое определение вертикальности чрезвычайно нравится детям.

И снова дети пытаются сначала установить вертикаль "на глазок", причем каждый ребенок должен получить возможность своей попытки, а все остальные коллективно обсуждают, насколько получилась очередная попытка. При этом важно, чтобы демонстрация происходила В КРУГЕ детских глаз - в этом случае станет очевидно, что вертикальность должна удерживаться ВО МНОЖЕСТВЕ плоскостей.

И лишь на следующем этапе учитель демонстрирует детям специальный инструмент для установления вертикалей - строительный отвес - и предлагает попробовать установить степень вертикальности тех или иных поверхностей, в том числе стен (которые, увы, могут оказаться весьма и весьма далекими от идеала вертикальности; впрочем, и горизонталь пола далеко не всегда оказывается строгой физической горизонталью).

А после берется обыкновенный чертежный треугольник, и каждый ребенок получает возможность убедиться в том, что вертикаль находится под прямым углом по отношению к горизонтали. Но для этого предварительно нужно будет найти поверхность, которая достаточно близка к идеалу физической горизонтали.

Тем не менее, учитель снова и снова подчеркивает, что подлинная вертикальность возможна только в воображении, а при любых реальных измерениях неизбежна погрешность.

Вообще это чрезвычайно важно - уже в первом классе начинать работать с феноменом погрешности: ведь математический объект по сути своей является ИДЕАЛЬНЫМ объектом, а потому, по большому счету, может быть представлен только в воображении. А любой чертеж или любой физический объект является лишь моделью этого идеального математического объекта.

ШАГ 6. "Верх" и "низ".

До сих пор вопрос о вертикалях и горизонталях обсуждался исключительно в физическом пространстве класса. Здесь вертикальность и горизонтальность строго сориентированы в соответствии с тем, что можно назвать физическим верхом и низом.

Но как быть, если мы переходим к плоскости тетрадного листа? Что здесь представляют из себя вертикальные и горизонтальные линии? Ведь совершенно очевидно, что физическое понятие верха и низа здесь не работает.

Да, не работает. Но зато на листе бумаги вводится УСЛОВНОЕ представление о верхе и о низе, и, соответственно, условное представление о том, что можно считать верхним или нижним краем тетради. И это еще одна тонкость, еще одна культурная условность, в которую нужно посвятить ребенка.

Хотя тетрадь лежит на горизонтальной поверхости и объективно, физически ни один ее край не является "верхним", любой взрослый человек отчетливо понимает, что имеется в виду, когда мы говорим о "верхнем" или о "нижнем" крае и соответственно с этим определяются вертикали и горизонтали тетрадного листа.

Причем, что примечательно, если кто-то будет писать в тетради поперек или еще каким-то образом изменив ориентацию листа на горизонтальной плоскости, изменится соответствующим образом и положение верха и низа. Тетрадь (как и книга) - это своего рода антропоморфное образование, в которое человек смотрится как в зеркало, и оттого в каком бы положении ни находилась тетрадь, "верх" будет находиться там, где находился бы человеческий верх, будь на месте теради настоящее зеркало.

Соответственно и принцип вертикалей или горизонталей на поверхности тетрадного листа будет носить относительный характер.

Стоит мне повернуть поверхность тетрадного листа на девяносто градусов, и вертикали становятся горизонталями, а горизонтали вертикалями. Поэтому, кстати, работая с вертикалями и горизонталями на тетрадном листе, следует обращзать внимание на то, под каким углом зрения смотрит на лист ребенок. Иначе высока вероятность, что он видит совсем не то, что мы ему пытаемся объяснить.

ШАГ 7. Разметка листа.

Впрочем, прежде чем учитель начнет расчерчивать на доске вертикали и горизонтали, он должен произвести разметку демонстрационного листа.

Разумеется, публично. На глазах у детей

Выше уже было сказано, что расчерчивание демонстрационного листа начинается с того, что учитель прочерчивает верхнюю горизонтальную линию (при том как раз на вертикальном демонстрационном листе символический "верх" соответствует физическому верху). Но это - самая простая часть задачи.

Затем требуется провести крайнюю левую вертикаль.

При наличии чертежного прибора на кульмане это не составит труда. В противном случае придется использовать дополнительные чертежные инструменты. Но в любом случае учитель подчеркивет, что вертикаль находится по отношению к горизонтали под прямым углом и демонстрирует этот прямой угол с помощью прямого угла чертежного треугольника.

А далее на этих двух базовых перпендикулярных друг другу линиях производится разметка расстояний, на которых будут находиться по отношению друг к другу последующие вертикальные или горизонтальные линии. На горизонтальной линии делается разметка для вертикалей, а на вертикальной - для горизонталей. Таким образом, первоначально начерченные учителем горизонтальная и вертикальная линии начинают играть роль меточных линий. Это линии, на которых проставляются метки для последующих вертикалей и горизонталей.

Масштаб выбирает учитель. Но практика показывает, что оптимальна разметка через каждые два сантиметра: в этом случае нарисованные фломастером клеточки достаточно отчетливо видны, и при том их можно нарисовать достаточно много.

Впрочем, не надо об этом говорить о размерности вслух. Дети в процессе наблюдения за действиями учителя должны САМИ догадаться, чем руководствуется учитель, ставя очередную точку, должны САМИ отследить ту мерку, которой пользуется учитель, ставя очередную метку-точку.

Шаг 8. Педагогика Тома Сойера.

Естественно, делая первоначальную разметку делает учитель делает ее “медленно и со вкусом” – так, чтобы у детей была возможность наблюдать каждое его движение и разгадывать суть этих движений.

“Кто догадается, что я сейчас сделаю? А куда я поставлю следующую точку?”

При этом следует подпустить детей поближе к доске, чтобы дети отчетливо видели, каким образом производит разметку учитель, и чтобы у них "текли слюнки" от желания самим поучаствовать в этом священнодействии (никогда не надо забывать о великой педагогике Тома Сойера, красящего забор!). И в какой-то момент учитель может предложить желающим самим попробовать поучаствовать в этой работе.

Вначале дети пытаются показать место каждой очередной точки-метки просто пальчиком, а учитель радуется, если кому-то удалось показать это место достаточно точно. Но вот находится смелый ребенок, который сам берет в руки линейку, фломастер, и сам пытается поставить следующую точку. А учитель следит не только за тем, чтобы ребенок правильно пользовался делениями линейки, но и чтобы меточная точка ставилась аккуратно и не смещалась влево или вправо. Типичная детская ошибка: ставя точку, ребенок смотрит на деления линейки немного сбоку, и потому допускает погрешность в один-два миллиметра. На это сразу следует обратить внимание и показать, как важно при таких процедурах смотреть на измерительный прибор “перпендикулярным” взглядом.

Вообще нужно быть готовым к тому, что первые попытки поставить самостоятельные точки-метки могут оказаться совершенно неудачными. В самом деле, чрезвычайно не просто “на лету” схватить принцип делаемой учителем разметки и отложить необходимое количество сантиметров, учитывая, что соответствующие измерительные процедуры детям пока не знакомы. Естественно, что учитель комментирует действия ребенка с точки зрения их удачности или неудачности: кому удалось отложить необходимые два сантиметра и поставить метку в нужном месте, а кому не удалось.

Впрочем, понятно, что чисто психологически эта ситуация вовсе не является ситуацией "невыученного урока": ведь дети делают то, чему их никто не учил! А потому ребенок, который с первого раза не сможет решить эту задачку (точно поставить очередную точку-метку) не напрягается, не фрустрирует, а просто внимательно присматривается к действиям других. И в конце концов неизбежно понимает на уровне внутреннего образа, в чем же состоит суть осуществляемой учителем и другими детьми процедуры. И когда до него снова доходит очередь, он решает свою задачу гораздо более эффективно.

А поскольку общее количество необходимых меток довольно велико (по общем количеству вертикалей и горизонталей на стандартной тетрадной странице), понятно, что работы хватит на всех.

ШАГ 9. Разметка как субъективный акт.

Так или иначе, но процесс разметки может оказаться весьма привлекательным и увлекательным процессом для первоклассника; а уж об учебно-развивающем потенциале этого процесса говорить не приходится.

Но возможно самое неожиданное заключается в том, что ребенок, поставивший на общий лист свою персональную точку, ЗАПОМИНАЕТ ее как личную метку.

Особенно если учитель не поленится и поставит над соответствующей точкой маленькую буковку - начальную буковку имени того ребенка, который поставил эту точку.

А еще лучше, если ребенок поставит начальную букву своего имени сам - только он должен выполнить важное условие: эта буковка должна быть как можно более маленькой, но в то же время читаемой.

Естественно, что учитель помогает ребенку.

Например, если ребенок не умеет писать свое имя (а это случается у шестилетних или даже семилетних детей), учитель пишет это имя на отдельном листе и просит ребенка воспроизвести первую букву. Если же ребенок все же не решается сделать это сам, учитель берет руку ребенка (с зажатым в ней карандашом или фломастером) в свою руку и надписывает соответствующую букву рукой ребенка. Это крайне важно, чтобы ребенок увидел на разграфленном листе метку своего имени, поставленную собственной рукой.

Таким образом, когда разметка будет завершена, часть точек окажется помеченной детскими именами.

Шаг 10. Личные линии.

Впоследствии, когда учитель начнет прочерчивать сами вертикальные и горизонтальные линии с помощью рейсшины (опираясь на предварительно созданную точечную разметку), он будет не просто безликие линии чертить, а прочерчивать как бы персонифицированные линии.

"Та-а-а-к... А сейчас прочертим Анину линию... Ну-ка, где у нас Анина меточка?.. Кто найдет Анину меточку?.. Ага, вот она: на горизонтальной линии. А как вы думаете, сама Анина линия будет вертикальной или горизонтальной?.. Ну конечно, вертикальной!.. Вот она, Анина линия, я уже ее веду!"

Или другой вариант: "Ну, а теперь проведем вертикаль вот от этой меточки... Кто-нибудь вспомнит, чья это меточка? И какая-то совершенно непонятная буковка здесь стоит рядом... Кажется, буква "И"... Кто вспомнит, чья это метка? Метка Игоря? Ну что ж, внимание, начинаю чертить линию Игоря!"

Понятно, что на первых порах линии вертикалей и горизонталей проводятся только рукой учителя: ведь речь идет о демонстрационной доске, и потому линии вертикалей и горизонталей должны быть выполнены качественно. В последующем, когда рука ребенка окрепнет в процессе выполнения различных графических работ у себя в тетради (где есть "подпорка" в виде уже существующей клеточной разлиновки), этот ребенок сможет принимать участие уже не только в разметке, но и в разлиновке демонстрационного листа.

ШАГ 11. Меточный букварь.

Очевидно, что описываемая работа выступает для ребенка и особым психологическим тренингом, и особым, дополнительным тренингом чтения и письма.

Используя имена детей для обозначения линий, учитель создает своеобразный меточный букварь, по которому дети с удовольствием путешествуют в поисках собственной, личной метки, либо вспоминая, чье имя скрывается под той или иной меткой. А прочерчивая ту или иную вертикаль или горизонталь, учитель может выписывать персональное имя этой линии рядом с чертежом с помощью своеобразного "флажка" (см. Рис. 1)

Особенно это целесообразно сделать в тех случаях, когда ребенок совсем не умеет читать - в этом случае запись на "флажке" будет для него дополнительным стимулятором чтения, особенно если она сделана крупным и ясным шрифтом. Однако не следует злоупотреблять такого рода "флажками": их должно быть немного, чтобы не перегружать восприятие.

Но в любом случае в результате дети переживают рисуемый чертеж как... свое личное пространство, маркированное метками личных смыслов и имен.

Шаг 12. Пространство ассоциаций.

Впрочем, учитель по-прежнему не раскрывает карты и не объясняет детям, зачем ему нужна эта разметка, и по-прежнему принимает от детей различные варианты объяснений того, что и зачем он делает.

И притом он прочерчивает вертикальные и горизонтальные линии не в строгой последовательности, одна за другой, а опираясь на прихотливую и причудливую "логику имен". "Чью линию мы будем чертить следующую? Димину? Ну хорошо, давайте искать Димины пометки!".

Поскольку каждая новая горизонталь или вертикаль появляется "не по порядку", а довольно-таки случайным образом, в процессе заполнения листа вертикальными и горизонтальными линиями будут возникать самые разнообразные рисунки из перекрещивающихся линий. Не забывайте обращать на это внимание: графика случайных перекрестий бывает очень красива! Не торопитесь как можно быстрее заполнить лист. Делайте остановки, рассматривайте получающееся "произведение искусства", отнеситесь к своему развивающемуся чертежу как к ЭСТЕТИЧЕСКОМУ и как к ЖИВОМУ феномену. И имейте в виду одну простую вещь: сколько бы раз вы ни расчерчивали демонстрационный лист (а вас придется это делать многократно в течение учебного года), ваш рисунок всякий раз будет развиваться по-новому! И пусть ваши дети удивятся этому обстоятельству вместе с Вами.

Так или иначе, но расчерчиваемый лист еще долго не будет походить на тетрадное клеточное пространство, и потому сможет вызывать в детях самые неожиданные и непредсказуемые ассоциации. Надо только время от времени задавать детям вопрос: "Ну, так на что же похоже то, что мы чертим?", а самые интересные предположения фиксировать на отдельном листе. Причем чем фантастичнее, чем неожиданнее ответ ребенка - тем с большим энтузиазмом должен учитель к этому варианту относиться. А в результате на демонстрационном листе будет появляться множество сочиненных детьми фраз, которые так же можно будет в качестве тренинга чтения. В качестве второй, так сказать, части создаваемого детьми “меточного букваря”.

Впрочем, об этой процедуре свободного обращения математического творчества в творчество лингвистическое речь еще впереди.

Рисунок 1.

На рисунке представлена модель описываемой "личностной" разметки демонстрационного листа с несколькими уже проведенными вертикалями и горизонталями. Естественно, что вся разметка производится на чистом, нелинованном листе бумаги. Первые точки разметки проставлены учителем (и потому не имеют личных значков), а очередные - детьми. Напротив каждой точки стоит метка имени того ребенка, который эту точку поставил.

Несколько вертикалей и горизонталей уже проведены. Прежде всего это исходные, меточные линии - базовая вертикаль и базовая горизонталь, на которых производится последующая разметка и дети проставляют начальные буквы своих имен. Кроме того проведены несколько "авторских” линий, личных горизонталей и вертикалей.

На рисунке вертикали и горизонтали надписаны своими персональными именами. Однако при создании реального демонстрационного листа в классе такие развернутые надписи не нужны, поскольку они будут мешать последующей работе с расчерченным клеточным пространством. Достаточно каждой вертикали или горизонтали давать ее устное персональное имя. Ребенок будет помнить "свою" горизонталь или вертикаль опираясь исключительно на соответствующую метку и ее буквенное обозначение.

Впрочем, как уже говорилось выше, можно выписать название той или иной горизонтали с помощью специального "флажка", причем специальным, крупным шрифтом - для работы с детьми, которые еще совсем не умеют читать.

Естественно, что на приведенном рисунке чертеж весьма далек от завершения: проведены лишь десять линий из необходимых семидесяти двух (а именно таково количество вертикалей и горизонталей на тетрадной странице).

Понятно, что в конечном итоге должны быть проведены все вертикали и горизонтали - лист должен быть разлинован до конца. Как много времени уйдет на эту работу - неважно. Не надо никуда торопиться. Пусть на это уйдет целый день, или два, или три дня - но как много в этом будет пользы для ребенка!

Лишний раз подчеркну: расчерчивание следует производить либо светлым фломастером, либо карандашом – так, чтобы в последующем, поверх расчерченной сетки можно было бы наносить новые линии, с помощью более темных цветов.

ШАГ 13. Достоинства недостатков.

Понятно, что если в классе нет кульмана с рейсшиной, задача расчерчивания демонстрационного листа существенно усложняется: прочерчивание параллельных линий с помощью чертежного треугольника чревато большими погрешностями.

Однако на раннем этапе обучения этот технический недостаток можно обернуть на пользу обучающему процессу. Ведь в этом случае придется размечать вторую вертикаль и вторую горизонталь (также через каждые два сантиметра), а потом соединять поставленные метки прямыми линиями вертикалей и горизонталей.

Работа усложняется, а, следовательно… повышается ее обучающий потенциал. При этом горизонтали и вертикали обретают как бы "двойное личное гражданство", поскольку соединяют метки, принадлежащие разным детям. А дети радуются и удивляются тому, какие неожиданные личные пары у них возникают.

Важно только, чтобы учитель не уставал обращать на это внимание, снова и снова подчеркивая авторский характер каждой горизонтали и вертикали. И уже в последующем, когда он будет рисовать на демонстрационном листе какие-то фигурки (об этом пойдет подробная речь в следующей главе), он должен обращать внимание на то, ПО ЧЬИМ вертикалям и горизонталям прочерчивается контур очередной фигурки.

Естественно, что общее количество личных меток может достичь в этом случае аж ста сорока. И это означает, что при наличии в классе двадцати пяти детей каждый ребенок сможет "отметиться" до шести раз.

При этом учитель должен всячески помогать детям не запутаться в принятых буквенных обозначениях. Существенную помощь может оказать, в частности, использование фломастеров разных цветов. Особенно важно это в том случае, если у нескольких детей в классе имя начинается на одну и ту же букву или, тем более, если у каких-то детей имена совпадают. Скажем, буква "А" красного цвета будет "персональной буквой" Алеши, бува "А" синего цвета - "персональной буквой" Ани, а буква "А" зеленого цвета - "персональной буквой" другого Алеши.

К вопросу об этикете.

Что же касается использования наряду с начальными буквами имен начальных букв фамилий, то это представляется не целесообразным: во-первых, метка будет занимать слишком много места, а, во-вторых, принятое во многих школах "официальное" обращение к детям по фамилиям вообще следует признать некорректным, тем более - в первом классе.

Замечу в скобках, что норма языкового этикета в русском (да и не только в русском) языке требует при обращении к другому человеку по фамилии обязательного употребления какого-то служебного слова, как-то: "господин", "госпожа", "товарищ", "мистер", "мадмуазель" и т.п. Поэтому классическое школьное "Сидоров, выйди из класса!" является признаком элементарной необразованности учителя в области этикета. К ребенку, как и ко взрослому, следует обращаться либо по имени: "Алеша, выйди из класса!", либо с соблюдением строгих церемониальных норм: "Господин Сидоров! Не соблаговолите ли Вы удалиться из класса?.."

ШАГ 14. Группы встреч.

Но вернемся к меточным линиям.

Наличие двойной разметки позволяет учителю устроить дополнительную игру на угадывание своего потенциального “линейного партнера” (естественно, уже после того, как разметка произведена).

Например, учитель указывает на очередную метку и спрашивает, кому она принадлежит. Если руки поднимут сразу несколько детей, учитель предоставляет им возможность самим обсудить, кто же из них на самом деле является автором данной метки. Как правило, дети без проблем решают такого рода коммуникационную задачу, и лишь в наиболее трудных случаях учитель помогает своим авторитетом.

Ну, а после того, как авторство метки установлено, учитель предлагает автору этой метки угадать, с чьей меткой на его взгляд он встретится, когда будет проведена соответствующая вертикаль или горизонталь. А затем предоставляется возможность высказать свои предположения другим детям.

Напомню: лист пока неразлинован, и потому задача эта достаточно трудна, требуя развитого глазомера. Особенно если меточные вертикали или горизонтали находятся на значительном расстоянии друг от друга.

Практика показывает, что при такой работе происходит совершенно потрясающий тренинг глазомера, и постепенно дети научаются проводить вертикальные и горизонтальные линии "на глазок", в воображении. Раз за разом погрешность угадывания будет уменьшаться, и дети научатся "видеть" потенциального партнера, даже если меточные линии находятся весьма далеко друг от друга.

Понятно, что на первых порах следует помещать меточные линии не слишком далеко друг от друга (но и не слишком близко - иначе будет неинтересно), а при расчерчивании новых демонстрационных листов все более и более их раздвигать.

Рисунок 2.

На рисунке прочерчены две "меточные" вертикали и две "меточные" горизонтали, на которых проставлены именные метки детей. Расстояние, котором находятся эти линии, должно составлять на первых порах семь-восемь клеточных рядов. Показано, как образуются “группы встреч” в виде вертикалей и горизонталей с двойным авторством.

ШАГ 15. Параллели и перпендикуляры.

В процессе расчерчивания клеточной сетки учитель должен пользоваться не только уже привычными для детского уха терминами "вертикаль" и "горизонталь", но и словами, которые на первых порах будут носить для этого слуха явно загадочный оттенок.

Речь идет о терминах "параллельно" и "перпендикулярно".

Что существенно: учитель начинает пользоваться этими терминами, вовсе не пытаясь заранее объяснить детям их значение. Он просто рисует очередную линию, строго соблюдая принцип параллельности и перпендикулярности (подчеркнуто используя рейсшину и чертежный прямоугольники) и приговаривает: "Еще одна параллельная вертикаль... Еще одна вертикальная параллель... Ну, а теперь попробуем еще одну горизонталь, она у нас пойдет перпендикулярно предыдущей..." И не трудно догадаться, что в результате такого рода работы у ребенка неизбежно сформируется интеллектуальны ОБРАЗ того, что такое “параллельность”.

Ну, а потом не будем забывать, что сугубо математические, казалось бы, слова - "параллели" и "перпендикуляры" - имеют крайне широкое хождение в повседневном языке. И чтобы дети отчетливо почувствовали "вкус" этих слов, можно дополнительно поработать со словосочетаниями типа: "идти параллельными курсами" (то есть не пересекаясь) или "идти по перпендикуляру" - то есть в полный разрез и отрыв от принятых мнений. И можно даже попробовать театрализовать обе эти формы движения прямо в классе.

Шаг 16. Вообразительная математика.

Чтобы чертеж получился точным, время от времени приходится проверять (и, разумеется, снова на глазах у детей), действительно ли все вертикальные и все горизонтальные линии оказываются параллельными, и действительно ли между вертикальными и горизонтальными линиями соблюдается строгий прямой угол?

Проверка параллельности производится с помощью обыкновенной измерительной линейки: учитель проверяет, чтобы вертикальные или горизонтальные линии находились на неизменном расстоянии друг от друга, и даже может попросить детей подойти и убедиться в том, что расстояние между линиями все время остается одинаковым. Разумеется, это возможно только в том случае, если линия, по которой производится измерение, проходит под прямым углом к вертикальным или горизонтальным линиям.

Впрочем, еще раз подчеркну, что чрезвычайно важно уже в самом начале математического обучения пользоваться словами "примерно" и "приблизительно".

Учитель должен объяснить, что абсолютно точный в математическом отношении чертеж принципиально невозможен, и что задача математика заключается не столько в том, чтобы абсолютно точно начертить параллельность двух или более линий, сколько ВООБРАЗИТЬ себе их абсолютную параллельность, пользуясь более или менее условным чертежом. Вместе с тем начертательная погрешность не должна быть слишком высокой: линии должны выглядеть параллельными хотя бы на глаз.

"Ну ладно, пусть наш чертеж получился не совсем точным и наши линии не совсем параллельны друг другу... А вы можете представить, вообразить себе, что это две прямые линии, которые все время находятся на абсолютно равном расстоянии друг от друга?" И сразу после этого задать "роковой" математический вопрос: "А как вы думаете, если мы эти линии продлим в какую-то невозможную даль - они где-нибудь пересекутся?.."

И ни в коем случае учитель не должен торопиться сам отвечать на такой вопрос. Дети будут предлагать варианты, а учитель пусть хитро улыбается и спрашивает: "А почему ты думаешь, что не пересекутся?" Или: "А почему ты думаешь, что пересекутся?"

Разумеется, никто не требует от детей доказательства пятого постулата Евклида; однако факт заключается в том, что это совершенно чудесная дразнилка для детского воображения. И ни в коем случае не следует бояться того, что уже на самых первых шагах знакомства с математикой ум ребенка столкнется со столь сложной проблемой.

Шаг 17. Зона погрешности.

И то же самое следует сказать относительно перпендикуляров.

Учитель подчеркивает, что вертикальные и горизонтальные линии должны быть абсолютно перпендикулярны друг другу и с помощью транспортира или треугольника измеряет получившиеся на чертеже углы. Естественно, что и в этом случае будет обнаружена некоторая погрешность - и учитель должен тут же сообщить об этом детям.

Дети могут подойти к демонстрационной доске и самолично убедиться в том, что некоторая погрешность все же есть, и что связана она с несовершенством чертежных инструментов (причем учитель может предложить детям самим догадаться, почему возникает погрешность, и пообсуждать предложенные варианты).

Итак, учитель с самого начала подчеркивает, что геометрический чертеж всегда предполагает некую зону допустимой погрешности. И это имеет чрезвычайное пропедевтическое значение.

Благодаря столь раннему знакомству с феноменом погрешности ребенок осознает, что абсолютная “безошибочность” возможна только в воображении, и что во многих случаях ошибка (а погрешность – это, конечно же, ошибка, но ошибка особая, "допустимая") - это нечто совершенно нормальное, и что даже учитель не может сделать чертеж без такого рода ошибок.

А, с другой стороны, ребенок постигает и то, что погрешность может большой, а может быть минимальной, и что чертить с минимальной погрешностью чрезвычайно нелегко, но что следует стремиться именно к минимальной погрешности.

ШАГ 18. От линии к ряду.

Но вот демонстрационный лист расчерчен.

Догадались ли при этом дети, что учитель вычерчивал на листе тетрадную клеточную сетку - пока неважно.

Важно другое: учитель чертил на доске линии, а получились... клетки. Причем клетки, сгруппированные в вертикальные и горизонтальные ряды.

Однако ребенок на первых порах этих клеточных рядов не видит. Он по-прежнему видит линии. А очень важно для всей последующей работы, чтобы глаз ребенка научился видеть именно клеточные ряды.

Поэтому учитель предлагает новую "угадайку". Он заштриховывает один или несколько вертикальных и горизонтальных рядов, показывает эти ряды детям и спрашивает: "Кто ответит, СКОЛЬКО у меня получилось заштрихованных вертикальных, а СКОЛЬКО - горизонтальных рядов?".

Сразу замечу: это первый случай, когда в устах учителя появляется вопрос "сколько?" – самый популярный, как известно, математический вопрос. Но это вовсе не значит, что в предыдущих шагах у нас не было математики. Математика была, но, так сказать, в форме предощущения. Были, если угодно, геометрические и физические предобразы математики; но только с появлением вопроса "сколько" в классе появляется математика как таковая.

Естественно, что заданный учителем вопрос по силам любому первокласснику - что за проблема сосчитать несколько заштрихованных рядов?

Однако это еще пока только первая часть задачи. И после того, как дети определят количество уже заштрихованных рядов, учитель штрихует еще несколько рядов (обязательно другим цветом, это нужно для последующей работы!) и снова задает тот же самый вопрос: "А сколько теперь у меня заштриховано вертикальных и горизонтальных рядов? И на сколько стало больше тех и других?"

Шаг 19. Число и символ.

А это уже такая математическая задача, которая, между прочим, предполагает возможность символической записи (записи с помощью цифр): сколько было, сколько добавилось, сколько стало всего.

И учитель делает соответствующую символическую запись на отдельном листе.

Например, записывает 3+3=6 (для вертикальных рядов) и 4+2=6 (для горизонтальных рядов), и в процессе записи показывает прямо на чертеже, что вот они - первые три вертикальных ряда, а вот - те три вертикальных ряда, которые появились потом, а вот - все шесть вертикальных рядов. И то же самое касается горизонтальных рядов: учитель не просто делает символическую запись, а ПОКАЗЫВАЕТ, чему эта символическая запись соответствует на чертеже. Вот они - первые четыре ряда, вот они - вторые два ряда, а вот они - все шесть выделенных горизонтальных рядов вместе. (См. Рис. 3)

Впрочем, будет гораздо эффективнее, если всю эту демонстрацию будет делать вообще не учитель, а кто-нибудь из детей.

Учителю достаточно сделать символическую запись 3+3=6 и попросить детей: "А ну-ка, кто попробует показать на чертеже, что обозначает первая тройка в моей записи, вторая тройка и итоговая шестерка?", - и дети сами показывают соответствующие ряды. Причем, показывая ряды, они должны показывать каждый ряд ПОЛНОСТЬЮ, во всю его реальную длину, от одного конца до другого.

Важно подчеркнуть, что первая тройка в нашей символической записи обозначает отнюдь не любые три вертикальных ряда, а только те ряды, которые учитель заштриховал вначале (т.е. ряды, заштрихованные одним цветом или одним типом штриховки). И точно так же вторая тройка – это не всякие ряды, а только ряды, заштрихованные во втором заходе (другой цвет или другой тип штриховки). И дети должны уметь показать именно те ряды, которые нужно. Если же показываются любые три ряда, это признается за ошибку: "Разве ЭТИ ряды я выделил в самом начале? Разве ЭТИ ряды обозначает моя первая тройка?.."

Рисунок 3.

На рисунке заштрихованы сначала три вертикальных и четыре горизонтальных клеточных ряда, а потом (другим цветом или другой штриховкой) еще три вертикальных и два горизонтальных ряда. Естественно, ряды для штриховки выбраны совершенно произвольно. После того, как штриховка выполнена, учитель может записать сумму вертикальных и сумму горизонтальных рядов: 3+3=6 и 4+2=6.

ШАГ 20. Символический дебют.

Особо следует подчеркнуть, как появляется в описываемой нами образовательной модели математическая символика.

В традиционной системе обучения математическая символика появляется по заранее написанному сценарию.

Вначале изучаются "однозначные" числа, т.е. числа, записываемые с помощью одного математического символа или условного знака (это числа натурального числового ряда от нуля до девяти). Затем происходит переход к изучению принципа записи двузначных чисел, и снова по порядку: числа второго десятка, третьего десятка и т.д.

Это именно ОБУЧЕНИЕ: детей УЧАТ, детям ВТОЛКОВЫВАЮТ то, что скрывается за теми или иными символическими обозначениями, причем делают это в соответствии с заранее разработанной программой обучающих шагов "от простого к сложному".

Что касается нашего пути, то он, как уже отмечалось в предыдущих главах, состоит существенно в другом.

Здесь нет заранее распланированной последовательности вхождения ребенка в мир чисел. Соответственно и математическая символизация появляется здесь вполне, ненаправленным образом. Учитель просто начинает ПОЛЬЗОВАТЬСЯ в тех или иных случаях (тогда, когда это уместно и необходимо) принятыми в математике символическими обозначениями, предоставляя детям на первых порах САМИМ расшифровывать тайну той или иной записи.

Именно этот процесс был заявлен в предыдущем шаге. Две символические записи 3+3=6 и 4+2=6 - это вполне случайный дебют математической символики: с равным успехом могли появиться выражения 4+1=5, 3+4=7 и т.д. - все зависит исключительно от того, сколько горизонтальных и вертикальных рядов заштриховал учитель в первый и во второй раз. А сколько он заштрихует рядов, зависит исключительно от его произвола. И это, в общем-то, не имеет решительно никакого значения. Лишь бы количество этих рядов не было слишком большим по отношению к счетным возможностям детей данного класса. А последовательность появления чисел может быть любой.

Итак, символические числовые обозначение появляются на нашем уроке как совершенно случайные. Но зато у них с самого начала есть некий графический коррелят: есть конкретные клеточные ряды, обозначаемые соответствующими символами. А у ребенка шаг за шагом начинает накапливаться некий эмпирический опыт... ПЕРЕЖИВАНИЯ символа. При этом не реальность подгоняется под мир символов (как это происходит в традиционном обучении, когда элементы реальности вводятся в соответствии с последовательностью натурального числового ряда: 1, 2, 3... и так далее), а мир символов появляется в процессе математического описания некоей модельной реальности, каковой выступает у нас наша клеточная сетка.

ШАГ 21. Проблема сравнения.

После того, как дети сосчитывают, а учитель записывает с помощью математических символов количество заштрихованных вертикальных и горизонтальных рядов, следует новый коварный вопрос: "А каких рядов заштриховано больше - вертикальных или горизонтальных?".

На первый взгляд вопрос крайне прост: любой взрослый человек видит, что тех и других рядов поровну, по шесть. И наверняка среди первоклассников найдутся такие, кто ответит точно таким же образом.

Однако следует иметь в виду, что для взгляда маленького ребенка не все так просто. Ведь вертикальные ряды ДЛИННЕЕ чем горизонтальные, и потому их совокупный ОБЪЕМ, разумеется, больше чем совокупный объем вертикальных рядов. А сознание начинающего первоклассника еще не привыкло работать с абстракцией чистого количества, и потому можно ожидать, что найдется немало первоклассников, которые заявят, что вертикальных рядов БОЛЬШЕ, нежели горизонтальных.

Не следует этому удивляться, и, тем более, не стоит возмущаться этим обстоятельством. В каком-то смысле они правы: ОБЪЕМ шести вертикальных рядов действительно больше чем объем шести горизонтальных рядов.

Поэтому не следует торопиться с оценкой, мол, прав тот, кто сразу заявил, что заштриховано равное количество вертикальных и горизонтальных рядов. Ведь доля истины есть и у тех, кто считает, что вертикальных рядов больше. Просто они сравнивают не счетное количество этих рядов, а их физические объемы.

Мы уже упоминали об этом фундаментальном математическом парадоксе: предметом математики является абстракция количества, а не физическая наполненность тех или иных счетных единиц.

Скажем, если на одном столе лежит пять огромных арбузов, а на другом - шесть арбузных семечек, то факт заключается в том, что число семечек при этом больше, нежели количество арбузов.

Шаг 22. Тренинг абстракции количества.

В этой связи целесообразно предложить детям учебный тренинг на формирование абстракции количества.

Например: стоит шесть восьмидесятиэтажных небоскребов, а рядом - шесть одноэтажных хибар. Каких домов больше ПО КОЛИЧЕСТВУ (или ПО ЧИСЛУ)?

Или: идет по африканской саванне стадо из двадцати слонов. А над ними вьется стая из тридцати мух. Каких животных больше? Понятно, что с точки зрения МАССЫ больше слонов, но зато с точки зрения количества экземпляров – больше мух.

И так далее. Каждый учитель может насочинять сколько угодно такого рода задач. Так, чтобы небольших предметов было много, а больших - мало.

И тогда уже ни у кого из детей не вызовет сомнения, что КОЛИЧЕСТВО заштрихованных вертикалей и горизонталей на нашем рисунке совпадает. И записать это можно следующим образом: 6=6.

Впрочем, здесь пока рано углубляться в философию знака равенства - об этом подробная речь еще впереди. Здесь этот знак вводится просто как знак совпадения количеств.

Шаг 23. “Больше” и “меньше”.

Если же количества не совпадают, следует использовать знак неравенства или всем хорошо известный знак "больше-меньше".

Относительно использования последнего знака в начальной школе не могу не обратить внимания на одно связанное с ним недоразумение.

Дело в том, что в начальной школе сложилась и узаконена несколько странная интерпретация этого знака. Детей учат, будто есть два разных знака: знак "<", который читается как "меньше", и знак ">", который читается как "больше". И дети долгое время путаются, пытаясь запомнить, в какую же сторону должен быть повернут уголок, чтобы знак читался как "больше".

Однако такой способ чтения данного знака подчеркнуто нелеп. Дело в том, что этот знак (равно как и знак равенства или знаки сложения, вычитания, умножения или деления) принципиально не является векторным или односторонне направленным. Это ДВУСТОРОННЕ направленный знак, и потому выражение 3>2 можно АБСОЛЮТНО В РАВНОЙ СТЕПЕНИ прочитать как "три больше двух" или как "два меньше трех".

Итак, значок ">" вовсе не является значком "больше", а является значком "больше-меньше", и будет таким значком в любом положении, даже если сравниваемые величины будут находиться… одна над другой. Важно только одно: чтобы широкий раструб находился около большего числа, а уголок - около меньшего.

Можно предложить простейший тренинг на эту тему. На нелинованном листе бумаги разноуровнево записывается несколько чисел, а затем предлагается соединить все эти числа значками: либо значком равенства, либо значком "больше-меньше". Такого рода задания с изменением привычной, линейной геометрии строки вызывают у первоклассников прилив энтузиазма

Рисунок 4 (а,б).

На рисунке "4а" шесть чисел расположены таким образом, чтобы их можно было в максимальной степени связать друг с другом значками сравнения, и все близлежащие числа связаны соответствующими значками. После того, как ребенок выполнит работу по сравнению записанных чисел, рисунок приобретет вид "4б".

ШАГ 24. Рядовая "угадайка".

Но главное наступает потом, на следующем этапе: учитель предлагает детям угадать общее количество начерченных на демонстрационном листе горизонтальных и вертикальных клеточных рядов. То есть предлагает детям поиграть в числовую угадайку.

Подчеркну, что речь идет именно об УГАДЫВАНИИ (а не об определении посредством счета!) количества рядов. Ведь до сих пор дети успели сосчитать только ряды, уже заштрихованные учителем. А сколько же их всего? Хотя бы приблизительно?

Да, дети делали предварительную разметку и следили за тем, как учитель прочерчивает линии вертикалей и горизонталей. Но вряд ли, однако, кому-либо из детей пришло в голову сосчитать количество получившихся вертикальных и горизонтальных клеточных рядов.

Правда, те ряды, которые уже выделены учителем, дают некоторые предварительные ориентиры. Однако этих ориентиров явно мало для взгляда шести-семилетнего ребенка. Его логические способности еще не развиты, и графика уже заштрихованных рядов пока не выполняет для него роль счетной опоры. Поэтому в ответ на заданный вопрос можно ожидать каких угодно, самых невероятных вариантов.

Правда, кое-кто из детей попытается начать пошаговый обсчет расчерченных на демонстрационном листе рядов. Но, во-первых, это очень нелегко сделать, когда демонстрационный лист - далеко, общее количество рядов - слишком велико (семьдесят два), а заштриховано из них (т.е. выделено для глаза) лишь двенадцать. А, во-вторых, чтобы сделать задачу более трудной, учитель может заслонить демонстрационный чертеж (или часть демонстрационного чертежа) своим телом.

Правда, стоит учителю на несколько секунд отойти от тщательно скрываемого демонстрационного листа, как дети тут же начинают обсчитывать вертикали и горизонтали, как бы ни было трудно это делать на расстоянии.

Но ведь учителю неизбежно придется отойти! Например, затем, чтобы начертить "вероятностную таблицу" (о которой речь ниже).

И вот, учитель действовует методом "коротких перебежек": он быстро заносит в вероятностную таблицу очередной результат, и тут же возвращается к своей "амбразуре". И естественно, что такая манера действий вызывает дополнительный разогрев детского интереса к обсчету расчерченного листа.

Коллективный азарт.

Особо подчеркну, что ситуация "угадайки" - это очень демократичная по своей сути ситуация. Ведь ни для кого не секрет, что дети приходят в школу с разной степенью подготовленности. Кто-то читает с четырех лет и ко времени поступления в школу свободно считает до тысячи, а кто-то еще совсем не умеет считать и путается в порядковом счете в пределах второго десятка. Правда, сегодня массовый характер приобрело стремление различных школ производить жесткую сортировку детей по уровню их подготовленности к школе, однако и в этом случае уровень подготовленности детей, оказавшихся в одном классе оказывается существенно различен. Вместе с тем, наличие в первом классе детей с существенно различным уровнем подготовленности к школе может явиться благом, если специально создать учебную ситуацию "обучающего дифференциала", предполагающую внутригрупповое взаимодействие между более и менее подготовленными к школе учащимися.

Что касается "угадайки", то она чрезвычайно демократична, поскольку не дает практически никаких преимуществ тем детям, которые лучше подготовлены к школе.

В самом деле, действительное количество рядов никому (кроме учителя) не известно. Опорного счетного материала крайне мало. Поэтому ребенок с более развитой аналитикой не будет в этой игре получать преимуществ, а угадать верный результат или приблизиться к верному результату может кто угодно. И в этом психологическая ценность "угадайки" для детей с неразвитой аналитикой или счетными способностями.

В процессе "угадайки" все участники соревнований находятся принципиально в равных условиях (в отличие от традиционной школьной ситуации, где шансы на победу у учащихся принципиально различны: всегда будет победителем тот, кто больше знает). И это крайне важно для формирования ситуации подлинного азарта. Угадать может кто угодно, независимо от имеющихся у него знаний! А если победитель такого рода вероятностной игры получит еще и какой-нибудь символический приз - скажем, печенинку или конфетку - то в последующем такого рода азарт будет просто неудержим…

И не важно, что кто-то в классе пока еще вообще не умеет считать до тридцати или до сорока. Смысл вопроса об об общем количестве горизонтальных и вертикальных клеточных рядов состоит в том, чтобы поставить саму задачу счета этих рядов. Главное - привлечь взгляд ребенка к вычерчиваемой учителем клеточной структуре, сделать эту структуру значимой и охватываемой взглядом. Ведь будет и второй, и третий, и десятый раз, когда учитель будет вычерчивать модель тетрадного листа и задавать с помощью этой модели различные условия задач. И скоро выяснится, что работа эта более чем небессмысленна для детского взгляда.

Во всяком случае, когда спустя какое-то время (через несколько недель или месяцев) учитель положит перед каждым учеником по неразлинованному листу бумаги и предложит самостоятельно расчертить этот лист на клеточки, вдруг выяснится, что для многих детей эта задача вполне по силам.

Ведь когда учитель упорно, изо дня в день разлиновывал все новые и новые листы бумаги на глазах у класса, дети не просто пассивно созерцали этот процесс, а становились в каком-то смысле соучастниками этого действа и проделывали ту же самую работу как бы вместе с учителем, но мысленно, во внутреннем плане.

Стратегия вероятностного подхода. Не учить, а интриговать.

Кстати говоря, это вообще крайне важный обучающий принцип в стратегиях вероятностного образования (и крайне важный обучающий принцип в стратегиях самой жизни): дети наиболее эффективно учатся не тогда, когда их целенаправленно "УЧАТ", а когда они сами втихомолку подглядывают за какими-то действиями взрослых.

К сожалению, это обстоятельство совершенно не учитывается современной школьной дидактикой. В школе детей насильственно учат, и зачастую это рождает глубокий личностный протест со стороны ребенка, поскольку человек есть существо свободное по своей сути.

Ребенок инстинктивно сопротивляется тому, что ему навязывают. И наоборот: стремится к тому, в чем видит тайну, интригу, запрет. Важно только уметь создать эту атмосферу тайны. И отказаться от замшелого педагогического принципа пошагового контроля за пресловутыми "результатами" обучения.

Учитель, который изо дня в день расчерчивает демонстрационное клеточное пространство – он ведь не “учит”, а просто выполняет некую подготовительную черновую работу, необходимую для уроков "клеточной математики".

Но на глазах у детей.

Эта работа совершается вовсе не для того, чтобы дети ее “усвоили”. И потому отношение детей к этой работе свободно. И в этом - суть. Потому что именно такая, подчеркнуто неучебная ситуация становится в итоге чрезвычайно эффективной с учебной точки зрения.

И в этом - ключ к пониманию всей стратегии вероятностного образования.

Детей не учат специально, а только моделируют событийные ситуации, в которых заключен некоторый образовательный потенциал. И проблема лишь в том, чтобы суметь приковать внимание детей к этим событийным ситуациям.

Традиционная школа - это школа, которая ставит те или иные сознательные обучающие цели и предлагает систему средств, позволяющих эти цели достичь.

Школа вероятностного образования вообще отказывается от моделирования учебных целей; вместо этого она моделирует различные ситуации, которые содержат некий образовательный потенциал и предлагает средства мотивации ребенка к освоению этих ситуаций; однако какой конкретный образовательный эффект будет при этом произведен - всегда остается тайной, загадкой.

Если в традиционной школе есть общая для всех учащихся схема освоения учебного материала, и школьные учителя прилагают максимум усилий, чтобы каждый ученик мог овладеть этой схемой научения, то в школе вероятностного обучения каждый ученик оказывается вынужден вырабатывать свою собственную стратегию взаимодействия с ситуацией, которую можно назвать потенциально образовательной.

Учитель, расчерчивающий демонстрационный лист на клеточки, даже предположить не может, каким образом его публичная работа отражается в глазах наблюдающих за его работой детей. Да он и не должен превращаться в традиционного учителя, сжигаемого маниакальным желанием узнать, а что же все-таки поняли и усвоили его подопечные.

И это не стиль обучения, а стиль самой жизни.

Ведь когда мы живем, мы вовсе не “даем уроки", своим детям; но наши дети, тем не менее, непрерывно какие-то уроки из нашего образа жизни извлекают. И это есть подлинная школа жизни или подлинная школа вероятностного образования.

ШАГ 25. Вероятностная таблица.

Впрочем, вернемся к нашим клеточкам и сделаем следующий мотивационный шаг.

Весь спектр детских предположений по поводу возможного количества вертикальных и горизонтальных рядов учитель выписывает на отдельный лист в виде вероятностной таблицы, которая становится дополнительным средством мобилизации детского азарта.

Эта таблица, состоит из трех простейших граф: 1."Имя", куда заносится имя ребенка, предложившего тот или иной вариант ответа; 2."Вариант", куда заносится предложенный данным ребенком вариант ответа и 3."Погрешность", куда заносится разница между предложенным вариантом и реальностью, но уже после того, как дети получат возможность сосчитать реальное количество вертикальных и горизонтальных клеточных рядов, а учитель поможет им определить, на сколько ошибся тот или иной ребенок в своем предварительном варианте.

Важная деталь: учитель записывает в эту таблицу детские предсказания, используя общепринятую математическую символику, абсолютно не принимая в расчет, какое количество детей из класса уже сейчас способны эту символику расшифровать. Как раз построение и заполнение вероятностной таблицы и становится для детей очередным этапом знакомства с системой символической записи. Ведь вся последующая работа с вероятностной таблице заставляет детей напряженно в нее всматриваться и расшифровывать символическую запись внесенных в эту таблицу вариантов.

От каждого ребенка принимается только один вариант - это повышает ответственность. Варианты принимаются и записываются в той последовательности, в какой они поступают от детей (т.е. хаотически, неупорядоченно).

Записывая очередной вариант, учитель несколько раз проговаривает его вслух по слогам, и многократно подчеркивает голосом, что это личный, авторский вариант. "Итак, Митя считает, что у нас будет начерчено двести горизонтальных рядов… Записываем в первой колоночке: "Ми-тя", а во второй: две-сти". Естественно, что число двести записывается при этом принятым в математике способом: "200". Тем самым происходит дополнительный тренинг чтения слов и чисел.

Разброс вариантов, предлагаемых детьми, может быть очень велик: семилетний ребенок часто называет то или иное количество предполагаемых рядов совершенно случайным образом, берет свой вариант, что называется, с потолка. И это естественно: представления о количественных соотношениях у ребенка пока развиты очень слабо. Поэтому возможны варианты совершенно фантастические: кто-то может предположить десять рядов, а кто-то и все четыреста. Обязанность учителя - совершенно спокойно, как ни в чем ни бывало, записать ВСЕ предложенные варианты. И именно в той хаотической, случайной, никак неупорядоченной последовательности, в какой варианты поступают от детей.

Следует иметь в виду, что предложить тот или иной вариант - вот так, "с бухты-барахты" очень нелегко чисто психологически. Если некоторые дети включаются в игру "с полуоборота" и по собственной инициативе предлагают тот или иной вариант, то к другим нужно обращаться специально: "Лена! А какой вариант у тебя?.." Кроме того всегда встречаются дети, которые наотрез отказываются предложить свой вариант даже после того, как к ним специально обратились. Не нужно настаивать, и тогда страх такого рода пройдет сам собой.

Варианты во вторую графу вероятностной таблицы заносятся без всякого предварительного обсуждения, как бы ни казались эти варианты фантастичны и нелепы. Учитель на этом этапе всего лишь писец, работающий под диктовку учащихся.

Зато когда наступит время сравнения предложенных детьми вариантов с реальностью расчерченного листа, учитель должен будет наглядно продемонстрировать каждый предложенный вариант.

Рисунок 5 .

На рисунке представлена вероятностная таблица, в которой занесены детские предположения о количестве горизонтальных рядов. В таблице записаны имена детей и предложенные ими варианты.

Графа "Погрешность" пока не заполняется.

ШАГ 26. Волшебная игра в предсказания.

Кстати говоря, такого рода вероятностные таблицы будут сопровождать и весь последующий процесс обучения. И чрезвычайно важно, чтобы с самого начала дети почувствовали некоторую волшебность этих вероятностных таблиц.

В самом деле, любое вероятностное задание предполагает на первом этапе некую игру в "угадайку", а затем - сравнение действительных значений с интуитивными предположениями. И чем дальше, тем в большей степени эта игра будет развивать у ребенка прогностическую интуицию, и одновременно - способность к рациональной самооценке и оценке своих интуитивных ходов.

Со временем ребенок получает возможность оценивать уровень своей интуиции САМ, не прибегая к помощи учителя; притом он может сравнивать уровень своей интуиции как с уровнем интуиции других детей, так и со своим собственным уровнем интуиции в прошлом.

Важно только, чтобы с самого начала ребенок почувствовал и понял: суть вероятностной таблицы состоит в том, что это предсказательная таблица или таблица предсказаний, а он сам играет роль предсказателя. То есть занимается деятельностью немножечко волшебной.

А чтобы таблица приобрела еще более личный и еще более значимый для ребенка характер, учитель предлагает каждому ребенку подойти к этой таблице и поставить фломастером рядом со своим именем какую-нибудь персональную закорючку, чтобы в случае чего сразу можно было бы находить в таблице свое имя. За счет этих меток-закорючек предсказательная таблица приобретает празднично-карнавальный вид и становится подчеркнуто привлекательной для ребенка.

ШАГ 27. Счетчик или метчик?.

Но вот таблица детских предположений составлена.

И учитель наконец-то открывает демонстрационный лист на достаточное количество времени, чтобы каждый ребенок мог попробовать обсчитать количество начерченных клеточных рядов.

Увы, это по-прежнему оказывается крайне трудно. Во-первых, рядов слишком много, и далеко не все дети умеют считать в пределах сорока.

А, во-вторых, слишком легко сбиться со счета, считая ряды на расстоянии: ряды мельтешат, рябят и сливаются в глазах. Поэтому дети просятся подойти поближе, но учитель не позволяет это сделать: ведь они должны отчетливо ПЕРЕЖИТЬ трудность дистанцированного счета.

И лишь после того, как это переживание состоялось, учитель предлагает свою помощь.

При этом неплохо предварительно обсудить с детьми, какая помощь от учителя в этой ситуации возможна.

Самый скверный вариант - это когда учитель сам берет на себя роль "счетчика". В этом случае многие дети выключаются из работы и пассивно ждут счетного результата (зачем считать самим, если за них сосчитает учитель?).

Не очень хорош и вариант с подбеганием детей к доске: в этом случае окажутся включены в активную работу лишь некоторые дети.

Зато весьма продуктивен вариант, когда учитель берет на себя не роль счетчика, а роль "метчика": он метит горизонталь за горизонталью (или вертикаль за вертикалью) какими-то значками (например, обыкновенными точками), а дети хором ведут счет.

Шаг 28. Ритм счета.

В этом случае учитель действует как профессиональный дирижер: ведь скорость, с которой он метит фломастером отсчитываемые ряды, определяет скорость хорового счета. Учитель убыстряет меточную деятельность - убыстряется хоровой счет; учитель замедляет меточную деятельность - замедляется счет.

Понятно, что такая игра с ритмом счета дополнительно активизирует детское внимание: дети не просто считают, но и напряженно следят за коварной рукой учителя, которая постоянно изменяет ритм счета. А в результате обыкновенный счет превращается в увлекательный психологический тренинг внимания и воспринимается детьми с повышенным азартом и энтузиазмом.

В целом же надо иметь в виду, что считать МЕДЛЕННО - это зачастую гораздо труднее и продуктивнее, чем считать быстро.

Если ребенок просто ВЫУЧИЛ порядок счетного натурального ряда, ему легче выпалить названия чисел, чем удерживать этот порядок в процессе медленного объектного счета, о котором речь пойдет ниже.

Но, так или иначе, задача учителя заключается в том, чтобы организовать коллективный обсчет нарисованной на демонстрационном листе сетки вертикалей и горизонталей, и уже в процессе этого обсчета нарисованная им сетка разворачивается в модельное математическое пространство, обретает, если можно так выразиться, математическую плоть и смысл.

Завершается этап построения математической интриги, начинается этап разворачивания многоуровневого и многофакторного математического пространства. И с каждым новым шагом расчерченная учителем сетка из клеток все в большей и большей степени разворачивается перед детьми как сложный математический объект, а разнообразная работа с этой сеткой и становится первичной основой для формирования у детей элементарных структур математического понимания.

Но об этом речь пойдет уже в следующей главе.