Курсовая работа

по математике

на тему:

« Элементарные функции, их свойства и графики»

Подготовила:

студентка

группы З12.1

Воронежского

техникума

строительных технологий

Дурнева А.С.

Преподаватель:

Провоторова Н. В.

2012 г.

Содержание.

Введение…………………………………………………………...2

§ 1. Степенная функция, её свойства и графики……………….3

§ 2. Показательная функция, её свойства и графики…………..9

§ 3. Логарифмическая функция, её свойства и графики………11

§ 4. Тригометрическая функция, её свойства и графики……...13

§ 5. Обратные тригометрические функции, её свойства и графики………………………………………………………………18

Преобразования……………………………………………………

Заключение………………………………………………………23

Введение.

Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.

График функции – это геометрическая интерпретация функции на чертеже. Функция – это зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х ставится в соответствие единственное значение у.

Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний: физика, химия, экономика, биология, социология и др. – имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и взаимосвязи этих объектов. В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и алгебра изучает их в виде свойств чисел.

Алгебра рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями, или функциями. Свободное владение техникой построения графиков функций часто помогает решать многие задачи и порой является единственным средством их решения. График и есть изображение нашего понимания того, как ведет себя функция. Для этого необходимо знать элементарные функции (степенная функция с целым показателем степени, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции), их свойства, владеть методикой построения графиков. А также необходимо знать каким образом можно, преобразовывать графики функций. Все вышесказанное определяет актуальность рассмотрения данной темы.

Поэтому цель курсовой работы: обобщить, систематизировать и расширить знания и умения по построению степенной, показательной, логарифмической, тригометрической и обратной тригометрической функций, их свойств и построить их графики.

§ 1. Степенная функция, ее свойства и графики.

Степенной функцией называется функция, в которой переменная находится только в основании степени.

- функция простого аргумента, где n – действительное число, х – аргумент.

, где - функция сложного аргумента.

1. График функции у= , где m=2n, m – четное натуральное число, например,

у= , у= , у= и тд.

Свойства функции у= :

1. D(y):(−∞; +∞).

2. Е(у):[0;+∞).

3. Точка пересечения с осями (0;0).

4. Функция является чётной, так как: ( )= .

5. Функция непериодична.

6. Функция убывает на промежутке (−∞;0], возрастает на промежутке [0;+∞).

7. Функция имеет экстремум, точка min (0;0).

8. Функция выпуклая вниз на всей области определения.

9. Функция является непрерывной.

10. Асимптот нет.

11. у>0 на всей области определения.

12. Функция ограничена снизу.

Пример:

y=x²

Х	-3	-2	-1	0	1	2	3
у	9	4	1	0	1	4	9

2) График функции у= , где m=2n-1, m – нечетное натуральное число, например, у= , у= , у= и тд.

Свойства функции у= :

1. D(y):(−∞; +∞).

2. Е(у): (−∞;+∞).

3. Точка пересечения с осями (0;0).

4. Функция является нечётной, так как: ( )= .

5. Функция непериодична.

6. Функция возрастает на всей области определения.

7. Функция экстремумов не имеет.

8. Функция выпуклая вверх на промежутке (−∞;0), выпуклая вниз на промежутке (0;+∞), точка перегиба (0;0).

9. Функция является непрерывной.

10. Асимптот нет.

11. у>0, если хє(−∞;0), у , если хє(0;+∞).

12. Функция не ограничена.

Пример:

^y=x3

Х	-2	-1	0	1	2
у	-8	-1	0	1	8

3) График функции у= , где m=-(2n-1).

Свойства функции у= :

1. D(y):(−∞;0) υ (0; +∞).

2. Е(у): (−∞;0) υ (0;+∞).

3. Точек пересечения с осями нет.

4. Функция является нечётной, так как: = .

5. Функция не периодична.

6. Функция убывает на промежутке (−∞;0) υ (0;+∞)

7. Функция экстремумов не имеет.

8. Функция выпуклая вверх на промежутке (−∞;0), выпуклая вниз на промежутке (0;+∞).

9. Функция является прерывной.

10. Асимптоты есть, ось Ох и ось Оу.

11. у>0, если х є(0;+∞), у , если х є (−∞;0).

12. Функция неограниченна.

Пример:

^y=x-1

Х	-4	-2	1	2	4
у			1

4) График функции у= , где m=-2n.

Свойства функции у= :

1. D(y):(−∞;0) υ (0; +∞).

2. Е(у): (0;+∞).

3. Точек пересечения с осями нет.

4. Функция является чётной, так как: = .

5. Функция не периодична.

6. Функция возрастает на промежутке (−∞;0),убывает на промежутке (0;+∞)

7. Функция экстремумов не имеет.

8. Функция выпуклая вниз на промежутке (−∞;0) υ (0;+∞).

9. Функция является прерывной.

10. Асимптоты есть, ось Ох и ось Оу.

11. у>0 на всей области определения.

12. Функция ограниченна снизу осью Ох.

Пример:

^y=x-2

Х	-3	-2	-1					1	2	3
у			1	4	9	9	4	1

5) График функции у= ,где m– четное натуральное число, например, у= , у= и т.д.

Свойства функции у= :

1. D(y): [0; +∞).

2. Е(у): [0;+∞).

3. Точка пересечения с осями (0;0).

4. Функция общего вида.

5. Функция не периодична.

6. Функция монотонно возрастает на промежутке [0;+∞).

7. Функция экстремумов не имеет.

8. Функция выпуклая вверх на всей области определения.

9. Функция является прерывной.

10. Асимптоты нет.

11. у>0 на всей области определения.

12. Функция ограниченна снизу осью Ох.

Пример:

y=

Х	1	4	9
У	1	2	3

6) График функции у= ,где m– нечетное натуральное число, например, у= , у= и т.д.

Свойства функции у= :

1. D(y): (−∞; +∞).

2. Е(у): (−∞;+∞).

3. Точка пересечения с осями (0;0).

4. Функция является нечётной

5. Функция не периодична.

6. Функция возрастает на всей области определения.

7. Функция экстремумов не имеет.

8. Функция выпуклая вниз на промежутке (−∞;0], выпуклая вверх на промежутке [0;+∞), точка перегиба (0;0).

9. Функция является непрерывной.

10. Асимптот нет.

11. у>0, если х є (0;+∞), у , если х є(−∞;0).

12. Функция не ограничена.

Пример:

y=

Х	-8	-1	0	1	8
у	-2	-1	0	1	2