10.5 Основные законы аэродинамики

Движение воздуха в шахтах подчиняется тем же основным законам, что и остальные физические явления материального мира, а именно: закону сохранения массы и закону сохранения энергии. Эти фундаментальные законы природы, примененные к движению воздуха в горных выработках, определяют основные характеристики шахтных вентиляционных потоков. К этому следует добавить второй закон Ньютона или закон количества движения, позволяющий получить уравнение движения воздуха, связывающее основные характеризующие движение величины.

Закон сохранения массы. Закон сохранения массы применительно к движению воздуха можно сформулировать следующим образом: масса любого объема воздуха остается постоянной в процессе его движения. Иными словами, изменение массы во времени равно нулю.

Если в потоке воздуха выделить элементарный объем , достаточно малый, чтобы плотность воздуха в нем  можно было считать постоянной, то закон сохранения массы можно представить:

, (10.20)

где  - масса выделенного объема;

t – время.

Уравнение (10.20) можно преобразовать через проекции скорости потока в рассматриваемой точке:

, (10.21)

где , , w – проекции скорости потока в точке на оси координат.

Уравнение (10.21) называется уравнением неразрывности.

Для стационарного движения, при котором характеристики потока в некоторой фиксированной точке пространства (плотность, скорость, давление и др.) не изменяются во времени, и уравнение неразрывности будет:

, (10.22)

а при  = const:

(10.23)

В выработке постоянного сечения =w=0 и из (10.23) имеем u=const, т.е. скорости воздуха в сходственных точках постоянны.

Из уравнения (10.23) следует, что в однородном по плотности потоке увеличение скорости в одном направлении должно вызывать соответствующее уменьшение ее в другом направлении. Например, при переходе потока из узкой выработки в широкую, в общем случае, появляется составляющая скорости , которая в узкой выработке была равна нулю (рис.10.1). Следовательно, а (w=0 в обеих выработках), т.е. в расширяющейся части выработки продольная скорость u уменьшается.

w=0 y

=w=0

 u

0 x

Рисунок 10.1 – Изменение скорости воздуха при расширении

потока

Из уравнения неразрывности (10.20) для изотермического потока следует уравнение расхода:

u₁·S₁=u₂·S₂, (10.24)

где S₁ и S₂ – площади начального и конечного сечений элементарной

струйки потока;

u₁ и u₂ - скорости движения воздуха через эти сечения.

Интегрируя правую и левую части уравнения (10.24) по всему сечению выработки, получим:

Q₁=Q₂, (10.25)

т. е. объемный расход воздуха в выработке является величиной постоянной. Уравнение (10.25) не соблюдается при разветвлении струй и утечках воздуха из выработки, а для неизотермических потоков вместо него следует написать

М₁=М₂, (10.25а)

где М₁, М₂ - массовые расходы воздуха.

Закон сохранения энергии. Для случая движения воздуха закон сохранения энергии может быть сформулирован следующим образом: изменение энергии произвольного объема воздуха за некоторый промежуток времени при его движении равно сумме количества сообщенного ему тепла и работы приложенных к объему внешних сил за то же время, т.е.

Е_вн+Е_п+Е_к=J·Q+A, (10.26)

где Е_вн - изменение внутренней энергии данного объема воздуха, оп-

ределяемой кинетической энергией движения молекул и по-

тенциальной энергией их взаимодействия;

Е_n - изменение потенциальной энергии этого объема, опреде-

ляемого его перемещением по вертикали;

Е_к - изменение кинетической энергии объема;

J - механический эквивалент тепла;

Q - количество тепла, полученное (отданное) данным объемом

воздуха;

А - работа внешних сил.

Внешними силами при движении воздуха по выработке являются силы трения о стенки и силы статического давления, приложенные к поверхности рассматриваемого объема.

В случае адиабатического движения несжимаемой жидкости, которой можно считать воздух, при существующих в шахте давлениях Е_вн=Q=0. При этих условиях для установившегося движения элементарной струйки воздуха соотношение (10.26) может быть записано в виде:

(10.27)

где  - удельный вес воздуха;

p - давление воздуха;

z - аппликата центра тяжести сечения струйки относительно про-

извольной горизонтальной плоскости сравнения;

u - скорость воздуха в рассматриваемом сечении струйки;

h - работа внешних сил, отнесенная к единице веса воздуха.

Уравнение (10.27) называется уравнением Бернулли в дифференцированной форме (по имени русского ученого Даниила Бернулли, впервые получившего это соотношение в 1738 г.).

Интегрируя выражение (10.27) вдоль струйки от сечения I до сечения II (рис. 10.2) при  = const, получим:

(10.28)

Уравнение (10.28) может быть записано для случая разного удельного веса воздуха в I и II сечениях и для всего потока в выработке в виде:

, (10.29)

где p₁-p₂ – разность статических давлений воздуха в сечениях I и II;

₁·z₁-₂·z₂ - разность давлений двух столбов воздуха, имеющих

высоту z₁ и z₂ и удельный вес ₁ и ₂;

- разность динамических давлений в сече-

ниях I и II

u

I

₁ и u₂ - средняя скорость движения воздуха в сечениях I и II.

p₁

u₁

z₁

II

p₂ u₂ z₂

плоскость сравнения

Рисунок 10.2 – Элементарная струйка тока

Коэффициенты k₁ и k₂ в уравнении (10.29) называются коэффициентами кинетической энергии и учитывают неравномерность распределения скоростей в сечениях I и II выработки.

Величина h в уравнении (10.29) обозначает работу всех внешних сил при перемещении рассматриваемого объема воздуха из I-го во II-е сечение. Роль внешних сил может заключаться в уменьшении первоначальной энергии воздуха (силы сопротивления) или в ее увеличении (например, при работе вентиляторов); в первом случае h0, во втором h0.

В уравнении (10.29) первые два слагаемых в скобках представляют собой изменение потенциальной энергии потока, третье – изменение его кинетической энергии. Как видим, изменение полной энергии потока между двумя произвольными его сечениями равно энергии, затраченной на преодоление сопротивлений движению воздуха на этом участке (h0), или поступлению энергии в поток (h0), или тому и другому одновременно.

Важным следствием из уравнения Бернулли является тот факт, что при h=const изменение u в сечении вызывает обратное изменение р. Действительно, при увеличении u₂ давление р₂ должно уменьшаться, чтобы было соблюдено условие h=const. Справедливо и обратное заключение. Следовательно, увеличение скорости движения воздуха в сечении (например, вследствие его уменьшения) вызывает уменьшение в нем статического давления и наоборот.

Уравнение Бернулли является одним из основных уравнений рудничной аэродинамики, ибо, являясь математической формулировкой закона сохранения энергии, оно объединяет в себе все основные величины, необходимые для решения любой аэродинамической задачи.

В уравнении (10.29) все члены имеют размерность давления, т.е. кГ/м²=кГм/м³. Иными словами, уравнение Бернулли выражает баланс потенциальной и кинетической энергии единицы объема потока.