[Введите текст]

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Малаховский Н.В.

Контрольные задания

для студентов заочного отделения

по дисциплине «Математический анализ»

Калининград 2013

Пояснительная записка

Дисциплина «Математический анализ» является базовой дисциплиной математического и естественнонаучного цикла дисциплин Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению «Экономика» (бакалавриат).

Дисциплина «Математический анализ» является общей теоретической и методологической основой для всех математических и естественнонаучных дисциплин, входящих в ООП бакалавра по направлению «Экономика». Вместе с дисциплинами «Линейная алгебра», «Теория вероятности и математическая статистика», «Методы анализа данных» курс математического анализа составляет основу математического образования студента. Курс рассчитан на студентов, имеющих подготовку по математике в объеме программы средней школы или соответствующих дисциплин среднего профессионального образования

Основной целью курса «Математический анализ» является обучение студентов фундаментальным методам исследования переменных величин посредством анализа бесконечно малых, основу которого составляет теория дифференциального и интегрального исчислений, а также развитие у студентов навыков математического мышления, необходимых для анализа и моделирования систем, процессов и структур в экономике. Фундаментальность математической подготовки определяет квалификацию специалистов, владеющих математическими методами анализа экономических систем и поиска оптимальных решений практических задач. Изучение математики способствует формированию личности обучаемого как специалиста в экономике и управлении, развивает его интеллект и способность к логическому и конструктивному мышлению.

По окончании изучения дисциплины студенты должны иметь чёткое представление об основных методах исследования свойств функций методами дифференциального и интегрального исследования. Они должны знать основные определения, теоремы и формулы математического анализа и уметь их применять к решению практических задач, в том числе, решаемых с помощью ЭВМ.

Правила выполнения контрольной работы

Данная методическая разработка предназначена для студентов заочного отделения обучающихся по направлению «Экономика» (бакалавриат). В ней содержатся варианты контрольных работ по математическому анализу для студентов со средним образованием и для студентов со средним профессиональным или техническим образованием.

Своевременно и правильно выполненная работа является необходимым условием сдачи экзамена по предмету. Выполненная не до конца или содержащая ошибки контрольная работа не зачитывается и возвращается студенту для повторного выполнения. Кроме того, на экзамене преподаватель может использовать контрольную работу для собеседования со студентом и задать по ней ряд вопросов. Поэтому студент, являясь на экзамен, должен иметь при себе зачтенную контрольную работу.

При выполнении контрольной работы следует обратить внимание на следующие требования:

1. Каждый студент выполняет свой вариант. Номер варианта и правила его выбора определяется по таблице, приведённой в разделе вариантов для контрольной работы. Замена задач не допускается. Номер варианта указывается в самом начале работы.

2. При решении контрольной работы не допускается использование вычислительной техники и специальных математических пакетов программ.

3. Нельзя ограничиваться приведением только готовых ответов. Расчеты должны быть представлены в развернутом виде применяя, где это необходимо, табличные оформления исходной информации и расчетов со всеми формулами, пояснениями и выводами, соблюдая достаточную точность вычислений.

4. Работа должна быть написана разборчиво, без помарок. Работа должна содержать список использованной литературы, быть подписана студентом.

5. Если работа не принимается к зачету, то она вместе с рецензией возвращается студенту. Студент обязан учесть все замечания и внести их в текст работы или выполнить ее заново; при этом рецензия преподавателя должна быть приложена к работе. Несамостоятельно выполненные работы рассматриваются как неудовлетворительные.

Варианты контрольных работ

Чтобы определить номер своего варианта, студент должен воспользоваться приведённой ниже таблицей. Например, если номер студента в учебном журнале - первый, то он выполняет задание для варианта № 1, если двенадцатый- то вариант № 2, если тринадцатый -то вариант № 3 и т. д. Затем, определив номер своего варианта, необходимо из каждого задания контрольной работы выбрать задачу с соответствующим номером.

Вариант, присвоенный студенту учебным отделом	Вариант контрольной работы
1, 11, 21	1
2, 12, 22	2
3, 13, 33	3
4, 14, 24	4
5,15, 25	5
6, 16, 26	6
7,17, 27	7
8, 18, 28	8
9, 19,29	9
10, 20, 30	10

Образцы решения типовых заданий.

ПРИМЕР 1. Найдите предел

Решение.

Разделим числитель и знаменатель выражения на 7ⁿ. После преобразований получим:

.

(Так как при выражение стремится к нулю по свойству показательной функции с основанием 0<a<1).

ПРИМЕР 2. Найдите предел

Решение.

Имеем неопределённость вида . Чтобы устранить её, разделим числитель и знаменатель на :

.

ПРИМЕР 3. Найдите предел .

Решение.

Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное ему выражение . Получим:

.

ПРИМЕР 4. Найти предел

Решение.

Имеем неопределенность вида “0/0”. Подвергнем функцию преобразованию, чтобы получить возможность использовать первый замечательный предел;

.

ПРИМЕР 5. Найти предел .

х

Решение.

Имеем неопределённость вида . Чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, преобразуем данную функцию:

^.

ПРИМЕР 6. Продифференцировать функцию: .

Решение.

Находим производную данной функции по правилам дифференцирования сложной функции:

.

ПРИМЕР 7. Найти производную функции, заданной неявно: .

Решение.

Дифференцируем данную функцию по х:

, откуда

ПРИМЕР 8. Найти производную от функции, заданной параметрически: .

Решение.

.

ПРИМЕР 9. Найти область определения функции

Решение.

Данная функция определена для всех х, не обращающих в нуль знаменатель, т.е. не являющихся корнями уравнения . Это все числа вида .

Таким образом, область определения D(у) - вся числовая прямая, кроме точек .

ПРИМЕР 10. Исследовать функцию и построить ее график:

Решение.

Функция определена и непрерывна в интервале (0;+). В граничной точке области определения функция имеет бесконечный разрыв, так как .

Так как в точке функция имеет бесконечный разрыв, то прямая является вертикальной асимптотой. Найдем уравнение наклонной асимптоты (если она существует).

;

.

(При нахождении пределов воспользовались правилом Лопиталя).

Итак, и уравнение асимптоты . Таким образом, график имеет в качестве асимптот оси координат.

Найдем производную функции и критические точки:

. Стационарная критическая точка: . Исследуем знак производной на интервалах(0;е) и (е;).

х

0

е

+

-

Составим таблицу:

x	(0;e)	e	(e;+)
y`	+	0	-
y	возрастает	max	убывает

Экстремум функции: .

Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:

, при .

Определим знак второй производной в интервалах и :

+

-

-

х

0

+

x	(0; )	4,48	( ;)
y``	-	0	+
график	выпуклый	точка перегиба	вогнутый

Составим таблицу:

y( )=3/( )  0.33

График пересекает ось абсцисс в точке (1;0). Точек пересечения с осью ординат нет. Строим эскиз графика функции:

у

х

1

е

е

ПРИМЕР 11. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах

Решение.

Построим график данной функции в декартовых координатах для :

r

/2



3/2

2

φ

0

Из этого графика видно, что при имеем .

Поэтому требуемый график будет находиться в секторах, соответствующих данным значениям , а также в секторах, симметричных им относительно начала координат (в силу того, что перед стоит чётный коэффициент).

Учитывая характер изменения r в этих промежутках (от 0 до 1 и затем снова до 0) получим следующий график (восьмилепестковую розу):

ПРИМЕР 12. Исследовать сходимость ряда

Проверим, выполняется ли необходимое условие сходимости знакоположительного ряда. Найдём предел общего члена ряда

.

^{Так как данный предел не равен нулю, то не выполняется необходимое условие сходимости ряда, следовательно, он расходится.}

ПРИМЕР 13. Разложить функцию в ряд по степеням х.

Решение.

Разложим функцию в ряд Маклорена. Учитывая, что , разложим функцию на сумму двух более простых:

.

Далее преобразуем:

.

Воспользуемся разложением:

.

*

Получим (при <1, т.е. при <2)

то есть .

Аналогично получим второе разложение:

.

Тогда:

.

Окончательно получаем:

ПРИМЕР 14. Найти неопределённый интеграл .

Решение.

Введем подстановку , откуда . Тогда . Находим полученный табличный интеграл и возвращаемся к прежней переменной:

.

ПРИМЕР 15. Найти неопределённый интеграл .

Решение.

Подведем под знак дифференциала знаменатель подынтегральной дроби:

.

ПРИМЕР 16. Найти неопределённый интеграл .

Решение.

^{Применим формулу интегрирования по частям: . В данном случае:}

^{. Подставляя эти выражения в формулу, получим:}

^.

^{ПРИМЕР 17. Вычислить интеграл или установить его расходимость.}

^{Решение.}

^{Точка является особой точкой, поскольку подынтегральная функция имеет в ней бесконечный разрыв. Поэтому:}

^{- получили бесконечный предел.}

^{Таким образом, данный интеграл расходится.}

^{ПРИМЕР 18. Решить уравнение: .}

^{Решение.}

^{Данное уравнение является дифференциальным уравнением первой степени с Разделяющимися переменными. Разделим переменные:}

^.

^{Проинтегрируем части последнего равенства:}

^.

^{Отсюда:}

^.

^{Окончательно имеем:}

^{- общее решение данного уравнения.}

^{ПРИМЕР 19. Решить уравнение: .}

^{Решение.}

^{Данное дифференциальное уравнение относится к типу однородных дифференциальных уравнений}

^,

^{которые решаются с помощью подстановки}

^.

^{Отсюда:}

^.

^{После подстановки в исходное уравнение получим:}

^.

^{Это – уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:}

^{Интегрируя обе части, получим:}

^{Используя обратную подстановку, получим:}

^{Окончательно имеем обще решение в виде:}

^.

^{Теперь, чтобы найти частное решение, подставляем в общее решение начальное условие:}

.

Искомое частное решение:

.

Контрольные работы для студентов со средним полным образованием.

Контрольная работа № 1.

Задание 1. Найти следующие пределы:

1 a) ; б) ;

в) ; г) ;

2. a) ; б) ;

в) г) ;

3. а) ; б) ;

в) ; г) ;

4. a) ; б) ;

в) ; г) ;

5. a) ; б) ;

в) ; в) ;

6. a) ; б) ;

в) ; г) ;

7. a) ; б) ;

в) ; г) ;

8. a) ; б) ;

в) ; г)

9. a) ; б) ;

в) ; г) ;

10 a) ; б) ;

в) ; г)

Задание 2. Найдите производные функций:

1. а) y = e^xtgx+ ; б) x = ln(xy) ; в)

2. a) y = ln(e^xcosx + e^xsinx) ; б) x⁴+y⁴ = x²y² ; в)

3. a) y = arcsin(sinx – cosx) ; б) x = e^x+y ; в)

4. a) y = ln ; б) cos(xy)=x ; в)

5. a) y = x²log₃x+3^x ; б) x³+y³-3xy=0 ; в)

6. a) y = sin³x ; б) ; в)

7. а) y = ; б) y^x = x^y ; в)

8. а) y = ; б) x³+y³-6xy=0 ; в)

9. а) y = ; б) y=2x+arctg y ; в)

10. а) y = arctg ; б) x³+x²y+y²=0 ; в)

Задание 3. Найти область определения функций

1. y = ; 2. y = ; 3. y = ; 4. y =

5. y = ; 6. y = ; 7. y = ; 8. y =

9. y = ; 10. y =

Задание 4. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график:

1. y = ln sin x; 2. y=log₂ -x, 3. y= ; 4. y=cos³x, 5. y= ln(x²-1)

6. y=3 ^, 7. y= x³+ ; 8. y=2 ; 9. y= (x-1)e^3x+1 ; 10. y= ln x

Задание 5. Построить график функции, заданной уравнениями в полярных координатах.

1. r=sin4; 2. r=; 3. r=cos2; 4. r=ln ; 5. r=sin +1,

6. r=sin2; 7. r=2+sin; 8. r=cos ; 9. r=cos²-sin²; 10. r=sin3