I. 1) Найти частные производные и следующих функций:

А) ;

Б) ;

В) .

2. Для заданных функций найти и производную в этой точке по направлению вектора :

А) ;

Б) .

2. Найти частные производные 2^ого порядка для функции:

.

II. Исследовать и построить на миллиметровой бумаге графики функций (вклеить в тетрадь)

А) ; Б) ; В) .

III. Исследовать на экстремум функцию:

А) ;

Б) .

IV.^** 1) Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м³ так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

2) Два источника света расположены в 30 м друг от друга. На прямой, соединяющей их, найти наименее освещенную точку, если силы света источников относятся как 27:8.

Типовой расчет по высшей математике №4 для 1-го курса

«Частные производные и графики функции»

Вариант 18

I.. 1) Найти частные производные и следующих функций:

А) ;

Б) ;

В) .

2. Для заданных функций найти и производную в этой точке по направлению вектора :

А) ;

Б) .

2. Найти частные производные 2^ого порядка для функции:

.

II. Исследовать и построить на миллиметровой бумаге графики функций (вклеить в тетрадь)

А) ; Б) ; В) .

III. Исследовать на экстремум функцию:

А) ; Б) .

IV.^** 1) Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиуса R.

2) На какой высоте над центром круглого стола радиуса а следует поместить электрическую лампочку, чтобы освещенность стола была наибольшей? (Яркость освещения: , где

- угол наклона лучей,

r - расстояние источника света от освещенной площади,

k – сила источника света ).

Типовой расчет по высшей математике №4 для 1-го курса

«Частные производные и графики функции»

Вариант 19

I. 1) Найти частные производные и следующих функций:

А) ;

Б) ;

В) .

2. Для заданных функций найти и производную в этой точке по направлению вектора :

А) ;

Б) .

2. Найти частные производные 2^ого порядка для функции:

.

II. Исследовать и построить на миллиметровой бумаге графики функций (вклеить в тетрадь)

А) ; Б) ; В) .

III. Исследовать на экстремум функцию:

А) ;

Б) .

IV. 1) В данный шар вписать цилиндр с наибольшим радиусом.

2) Поперечное сечение открытого канала имеет форму равнобедренной трапеции. При каком наклоне у боков “мокрый периметр” сечения будет наименьшим, если площадь “живого сечения” воды в канале равна S, а уровень воды равен h?

Типовой расчет по высшей математике №4 для 1-го курса

«Частные производные и графики функции»

Вариант 20

I. 1) Найти частные производные и следующих функций:

А) ;

Б) ;

В) .

2) Для заданных функций найти и производную в этой точке по направлению вектора :

А) ;

Б) .

3) Доказать, что функция удовлетворяет уравнению

.

II. Исследовать и построить на миллиметровой бумаге графики функций (вклеить в тетрадь)

А) ; Б) ; В) .

III. Исследовать на экстремум функцию:

А) ;

Б) .

IV. 1) Кусок проволоки данной длины l согнуть в виде прямоугольника так, чтобы площадь последнего была наибольшей.

2. Из данного круга вырезать такой сектор, чтобы свернув его получить конус с наибольшим объемом.

Типовой расчет по высшей математике №4 для 1-го курса

«Частные производные и графики функции»

Вариант 21.