Типовой расчет по высшей математике №4 для 1-го курса
«Частные производные и графики функции»
Вариант 1.
I. 1) Найти частные производные и следующих функций:
А)
;
Б)
;
В)
.
Для заданных функций найти
и
производную в этой точке по направлению
вектора
:
А)
;
Б)
.
Найти частные производные 2ого порядка для функции:
.
II. Исследовать и построить на миллиметровой бумаге графики функций (вклеить в тетрадь)
А)
;
Б)
;
В)
.
III. Исследовать на экстремум функцию:
А)
;
Б)
.
IV.** 1) Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м3 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.
2) Два источника света расположены в 30 м друг от друга. На прямой, соединяющей их, найти наименее освещенную точку, если силы света источников относятся как 27:8.
Типовой расчет по высшей математике №4 для 1-го курса
«Частные производные и графики функции»
Вариант 2.
I.. 1) Найти частные производные и следующих функций:
А)
;
Б)
;
В)
.
Для заданных функций найти и производную в этой точке по направлению вектора :
А)
;
Б)
.
Найти частные производные 2ого порядка для функции:
.
II. Исследовать и построить на миллиметровой бумаге графики функций (вклеить в тетрадь)
А)
;
Б)
;
В)
.
III. Исследовать на экстремум функцию:
А)
;
Б)
.
IV.** 1) Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиуса R.
2) На
какой высоте над центром круглого стола
радиуса а следует
поместить электрическую лампочку, чтобы
освещенность стола была наибольшей?
(Яркость освещения:
, где
-
угол наклона лучей,
r - расстояние источника света от освещенной площади,
k – сила источника света ).
Типовой расчет по высшей математике №4 для 1-го курса
«Частные производные и графики функции»
Вариант 3.
I. 1) Найти частные производные и следующих функций:
А)
;
Б)
;
В)
.
Для заданных функций найти и производную в этой точке по направлению вектора :
А)
;
Б)
.
Найти частные производные 2ого порядка для функции:
.
II. Исследовать и построить на миллиметровой бумаге графики функций (вклеить в тетрадь)
А)
;
Б)
;
В)
.
III. Исследовать на экстремум функцию:
А)
;
Б)
.
IV. 1) В данный шар вписать цилиндр с наибольшим радиусом.
2) Поперечное сечение открытого канала имеет форму равнобедренной трапеции. При каком наклоне у боков “мокрый периметр” сечения будет наименьшим, если площадь “живого сечения” воды в канале равна S, а уровень воды равен h?
Типовой расчет по высшей математике №4 для 1-го курса
«Частные производные и графики функции»
Вариант 4.
I. 1) Найти частные производные и следующих функций:
А)
;
Б)
;
В)
.
2) Для заданных функций найти и производную в этой точке по направлению вектора :
А)
;
Б) .
3) Доказать, что
функция
удовлетворяет
уравнению
.
II. Исследовать и построить на миллиметровой бумаге графики функций (вклеить в тетрадь)
А)
;
Б)
;
В)
.
III. Исследовать на экстремум функцию:
А)
;
Б)
.
IV. 1) Кусок проволоки данной длины l согнуть в виде прямоугольника так, чтобы площадь последнего была наибольшей.
Из данного круга вырезать такой сектор, чтобы свернув его получить конус с наибольшим объемом.
Типовой расчет по высшей математике №4 для 1-го курса
«Частные производные и графики функции»
Вариант 5.