Теоретические вопросы
Понятие производной, её геометрический и механический
смысл.
Уравнения касательной и нормали к графику функции.
Понятие дифференцируемости функции.
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
Понятие дифференциала, его геометрический смысл.
Инвариантность формы дифференциала первого порядка.
Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
Правила дифференцирования суммы, разности, произведения
и частного функций.
Теорема о производной обратной функции.
10. Правило дифференцирования сложной функции.
11. Производные основных элементарных функций.
12. Дифференцирование функций, заданных неявно.
13. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
14. Логарифмическое дифференцирование.
15. Графическое дифференцирование.
16. Производные и дифференциалы высших порядков.
17. Механический смысл производной второго порядка.
18. Теоремы о дифференцируемых функциях (теоремы Ферма,
Ролля, Лагранжа, Коши).
19. Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей).
20. Условия возрастания и убывания функции.
21. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума диф-
ференцируемой функции. Достаточные условия экстремума.
22. Направление выпуклости графика функции.
23. Точки перегиба графика функции. Необходимое условие точ-
ки перегиба. Достаточное условие существования точек пере-
гиба.
24. Асимптоты графика функции.
25. Общая схема исследования функции при помощи производ-
ных и построения её графика.
26. Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной
на замкнутом промежутке.
Теоретические упражнения
1. Пользуясь определением производной, найти производные функций
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
в) для функции
найти
.
2. Доказать, что производная четной функции – функция нечетная, а производная нечетной функции – функция четная.
3. Доказать, что производная периодической функции есть функция периодическая.
4. Доказать, что
не имеет производной в точке
:
а)
;
б)
;
в)
.
5. Вычислить
:
а)
;
б)
.
6. Показать на
примере, что произведение функций
и
может быть дифференцируемым в точке
,
если:
а) и – не дифференцируемы в точке ;
б) одна из них дифференцируема в точке , а вторая – нет.
7. Построить график
функции
так, чтобы:
а)
и
;
б)
и
;
в)
и
.
8. Изобразить геометрически приращение и дифференциал функции в точке:
а)
в точке
;
б)
в точке
;
в)
в точке
;
г)
в точке
.
9. Какая из функций:
,
и
имеет наибольшую скорость изменения в
точке
?
10. Доказать, что
если в точке
первая производная функции
равна нулю
,
а вторая производная в точке
существует и отлична от нуля
,
то при
в точке
функция имеет максимум и минимум – при
.