Криптосистема Эль-Гамаля.

В данной системе исправлен недостаток RSA по однозначному шифрованию. В самой схеме заложено присутствие случайного элемента – эфемерного сеансового ключа k, передаваемого в сообщении неявным образом. Кроме того, система позволяет использовать общие для всех абонентов параметры, аналогичные протоколу Диффи-Хеллмана – простое число P и примитивный элемент G.

Каждый абонент системы генерирует секретный ключ

Открытый ключ Y вычисляют как:

Абонент, желающий зашифровать сообщение m выбирает сеансовый ключ

Обязательность соблюдения условий

и аналогична протоколу Диффи-Хеллмана.

Особенностью (и недостатком) шифрования является то, что сообщение при шифровании удваивается по длине и представляет собой пару:

- первая часть сообщения, не зависящая от открытого текста. C₁ служит для неявной передачи эфемерного ключа и, ввиду независимости от шифруемого сообщения, может быть выработано заранее в фоновом режиме.

- вторая часть сообщения, служащая собственно для передачи m.

Расшифрование сообщения m’ производится как:

Ниже приведено краткое доказательство работоспособности, в котором для удобства опущены операции приведения по модулю:

Недостатком системы также является необходимость помимо возведения в степень при расшифровании также применить обобщенный алгоритм Евклида, что отрицательно сказывается на скорости вычислений.

Задача 3.4. Для заданного простого числа P и открытого текста m, определить самостоятельно минимальный порождающий элемент G и остальные параметры шифрсистемы Эль-Гамаля и осуществить зашифрование и расшифрование. Проверить совпадение исходного m и полученного m’ значений открытого текста.

Пример решения

Дано: P = 131 m = 59	Решение:
Найти: Gmin, x, Y, k, C1, C2, m’ Проверить: m’ = m

Криптосистема Рабина.

Данная система не получила широкого применения, но приведена здесь для иллюстрации возможности использовать при асимметричном шифровании операции модульного возведения в квадрат. Система основана на трудности извлечения квадратного корня по модулю составного числа без знания разложения модуля на множители.

Каждый абонент выбирает собственную пару простых чисел p и q, с соблюдением следующего требования: , что позволит извлекать квадратный корень не прибегая к алгоритму Шенкса.

Затем вычисляют: и выбирают

Открытым ключом является пара

Закрытым ключом является пара

Особенностью системы является очень простая и быстрая операция зашифрования :

Для расшифрования необходимо вычислить:

Ниже приведено краткое доказательство работоспособности, в котором для удобства опущены операции приведения по модулю:

Для удобства вычислений принимаем:

и соответственно:

Извлечение корней производится по модулю простых чисел p и q:

Каждое из сравнений дает по два корня и, соответственно вариантов значения s_i получается всего четыре (что является основным недостатком системы). Найдем их попарно, при помощи КТО и свойства корней:

Четыре варианта расшифрования получим, выполнив вычисления:

Для распознавания правильного варианта расшифрования, как правило вводят некоторую обратимую функцию избыточности F(m), позволяющую с высокой вероятностью выбрать правильный вариант. В приведенном ниже примере F(m) = 44||m.

Задача 3.5. Для заданной пары простых чисел p и q и открытого текста m, определить самостоятельно остальные параметры шифрсистемы Рабина и осуществить зашифрование и расшифрование. Проверить совпадение исходного m и одного из четырех полученных m_j’ значений открытого текста.

Пример решения

Дано: p = 127 q = 131 m = 4410 = 44||10	Решение:
Найти: N, B, C, m1-4’ Проверить: mi’ = m