Розрахункова робота №2 лінійна регресія Хід роботи

1. На основі вихідних даних побудувати діаграму розсіювання.

2. Розрахувати та пояснити значення параметрів лінійної регресії та їх довірчого інтервалу. Побудувати графік знайденої моделі.

3. Перевірити знайдену модель на адекватність вихідним даним.

4. Знайти і пояснити значення:

а) дисперсій (загальної, пояснювальної, залишкової);

б) коефіцієнта детермінації;

в) коефіцієнта кореляції;

г) загального та часткового коефіцієнтів еластичності.

5. Розрахувати довірчий інтервал для прогнозованого значення показника при визначеному значенні фактора х_р при ймовірності 95%. Дати пояснення.

Теоретичні відомості

Якщо дано сукупність показників y, що залежать від факторів х, то постає завдання знайти таку економетричну модель, яка б найкраще описувала існуючу залежність. Одним з методів є лінійна регресія.

Лінійна регресія передбачає побудову такої прямої лінії, при якій значення показників, що лежать на ній будуть максимально наближені до фактичних, і продовжуючи цю пряму одержуємо значення прогнозу. Процес продовження прямої називається екстраполяцією. Відповідно до цього постає задача визначити цю пряму, тобто рівняння цієї прямої.

У загальному вигляді рівняння прямої має вигляд:

=b₀+b₁x, (2.1)

де ­- вирівняне значення у для відповідного значення х.

Константи b₀ і b₁ - константи, які передбачають зменшення суми квадратів відхилень між фактичним значенням у і вирівняним значенням .

(у - )²  min . (2.2)

Коефіцієнт b₀ характеризує точку перетину прямої регресії з лінією координат.

Коефіцієнт b₁ характеризує кут нахилу цієї прямої до осі абсцис, а також на яку величину зміниться при зміні х на одиницю.

Коефіцієнти b₀ і b₁ знаходять із системи рівнянь (2.3), що випливає з формули (2.2):

(2.3)

Знайшовши значення параметрів розраховують ряд вирівняних значень для відповідних факторів і проводять дослідження знайденої економетричної моделі.

Оцінка адекватності моделі

Для оцінки знайденої економетричної моделі на адекватність порівнюють розрахункове значення критерію Фішера із табличним.

Розрахункове значення критерію Фішера знаходиться за формулою:

, (2.4)

де , (2.5)

, (2.6)

n – число дослідів, m – число включених у регресію факторів, які чинять суттєвий вплив на показник.

Для даної надійної ймовірності р (а=1-р рівня значущості) і числа ступенів вільності k1=m, k2=n-m-1 знаходиться табличне значення F(a, k1, k2). Отримане розрахункове значення порівнюється з табличним. При цьому, якщо Fроз > F(a, k1, k2), то з надійністю р=1-а можна вважати, що розглянута економетрична модель адекватна вихідним даним. У протилежному випадку з надійністю р розглянуту лінійну регресію не можна вважати адекватною.

Дисперсія

Дисперсія в лінійній регресії дає можливість визначити значимість характеристик, вирахуваних в регресійному аналізі (характеристики b₀ і b₁). Для визначення цих характеристик використовується:

1) загальна дисперсія – характеризує рівень відхилень між фактичними значеннями ряду і їх середнім значенням:

; (2.7)

2) пояснювальна дисперсія (дисперсія, що пояснюється регресією). Чим більша доля дисперсії, що пояснюється регресією в загальній дисперсії, тим тісніший зв`язок між у і х. Чим ця доля менша, тим відповідно слабший зв`язок. Ця дисперсія визначається, як сума квадратів відхилень між вирівняним значенням ряду і середнім значенням ряду.

. (2.8)

Якщо ПД  до ЗД, то зв`язок тіснішає між у і х.

Якщо ЗалД  до ЗД, то зв`язок слабшає.

3) залишкова дисперсія - це та частина ЗД, яка не пояснюється регресією

Зал.Д = ЗД – ПД, (2.9)

(2.10),

де у_і – фактичне значення ряду.

Коефіцієнт кореляції

Коефіцієнт кореляції r – міра тісноти зв`язку. Він на відміну від дисперсії характеризує міру тісноти зв`язку (абсолютна величина коефіцієнта дає її числове значення). Змінюється в межах від -1 до +1.

Коефіцієнт кореляції визначається як корінь квадратний з коефіцієнта детермінації r², що показує долю ПД в ЗД:

, (2.11)

і відповідно

, (2.12)

де ПД і ЗД розраховуються відповідно за формулами 2.8 і 2.7.

Знак коефіцієнта кореляції співпадає із знаком коефіцієнта b₁ в рівнянні регресії.

Якщо r=0, то лінія регресії паралельна осі абсцис, тобто залежності між у і х немає (регресія відсутня).

Якщо r  +1 (додатна регресія). Із збільшенням х – у_і теж буде зростати.

Якщо r  -1 (від`ємна регресія). Із збільшенням х – у_і буде зменшуватись.

Таблиця 2.1 – Інтерпретація значень коефіцієнта кореляції

|r|	Інтерпретація
0-0,5	Слабка кореляція
0,5-0,7	Середня кореляція
0,7-0,9	Висока кореляція
0,9-1	Дуже висока кореляція

Коефіцієнт еластичності

Розрахунок коефіцієнта еластичності розраховується для кожного із факторів і показує на скільки відсотків зміниться показник, якщо фактор зміниться на 1%.

Коефіцієнт еластичності:

. (2.13)

Довірчий інтервал

Вихідна економетрична модель лінійної регресії передбачає наявність випадкової величини е, яка вимірює похибку між фактичним значенням і вирівняним значенням показника. Для розрахунку цих похибок використовують поняття "стандартного відхилення":

, (2.14)

де S_r – стандартне відхилення

n-2 – число значень ряду зменшене на кількість параметрів рівняння регресії (тобто b₀ і b₁).

Розрахувавши стандартне відхилення рівняння регресії знаходимо стандартну похибку прогнозу:

. (2.15)

Для розрахунку довірчих меж потрібно знайти значення .

, (2.16)

де t – критерій Стюдента (знаходиться з таблиць в залежності від ймовірності P і ступеня вільності n-m-1).

Нижня межа довірчого інтервалу .

Верхня межа довірчого інтервалу .

Прогнозне значення у_р=b₀+b₁x_p з ймовірністю Р буде знаходитись в межах від у_min до y_max.