177 Оценка свойств математической модели технической системы

По спектру матрицы Якоби можно оценить устойчивость линейной динамической системы и характер переходных процессов. Понятие устойчивости системы связано со способностью ее возвращаться с определенной точностью в состояние равновесия после исчезновения внешних воздействий, которые вывели ее из этого состояния. Если система неустойчива, то она не возвращается в состояние равновесия, а либо удаляется от него, либо совершает вокруг него колебания с недопустимо большими амплитудами.

Следует отметить, что большинство реальных физических систем нелинейные. Но на ранних стадиях проектирования часто применяют для их описания системы линейных дифференциальных уравнений, т. е. по существу осуществляют линеаризацию математической модели технической системы. Для нелинейных систем существует понятие устойчивости в малом и устойчивости в большом. При малых отклонениях от положения равновесия нелинейная система может быть устойчивой, а при больших — неустойчивой. Поэтому нельзя ограничиться анализом устойчивости линеаризованной системы. Устойчивость в большом может быть определена лишь на основе решения уравнений нелинейной математической модели. Обычно такой анализ выполняется на заключительной стадии проектирования, а на начальных стадиях ограничиваются анализом устойчивости линеаризованной системы по спектру матрицы Якоби.

Оценка устойчивости является одной из первостепенных задач проектирования. Если рассматриваемый вариант структуры технической системы не обладает устойчивостью, он не может быть использован для дальнейшей разработки конструкции.

Равновесный режим устойчивой технической системы, при котором все ее фазовые координаты v_i, i= остаются постоянными, устанавливается по истечении некоторого интервала времени после приложения внешних воздействий. При этом внешние воздействия должны быть постоянными и в дальнейшем не изменяться. Установившийся равновесный режим может быть нарушен вследствие изменения внешних управляющих или возмущающих воздействий, структуры технической системы (в системе с переменной структурой) или начальных условий (в процессе вычислительного эксперимента). В этом случае возникнет режим неустановившегося состояния системы, характеризуемый изменением ее фазовых координат во времени v_i(t). Неустановившееся состояние физической системы характеризуется избытком или недостатком энергии ее источника, необходимой для привода рабочих органов или передаваемой внешним потребителям, что приводит к изменению режима ее работы.

Определим условия, которым должна удовлетворять линеаризованная математическая модель, чтобы техническая система была устойчивой и имела затухающие переходные процессы. Систему из n уравнений первого порядка приведем к одному дифференциальному уравнению n-го порядка относительно некоторой фазовой переменной v:

где q — одно из внешних воздействий на систему, изменяемое в переходном процессе.

Так как для линейной системы применим принцип суперпозиции, то можно получить решения v_j(q_j,t) для всех внешних воздействий q_j, j= , где L — количество внешних воздействий. Результирующее решение будет равно сумме всех составляющих решений. Поэтому будем рассматривать лишь одно внешнее воздействие q_j = q .

Запишем дифференциальное уравнение (7.24) в операторной форме:

(b₀pⁿ + b₁p^n-l +...+ b_n-1p + b_n)v(t) =

=(c₀p^m + c₁p^{m -1} +...+ c_m-1p +…+ c_m]q(t) . (7.25)

где р = d/dt — оператор дифференцирования.

Решение этого неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму двух решений — частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения (однородное уравнение получают из неоднородного, приравнивая нулю его правую часть). Первое слагаемое определяет вынужденную установившуюся составляющую v_в(t), второе — переходную составляющую v_п(t), характеризующую свободный переходный процесс исследуемой системы:

Техническая система будет устойчивой, если переходная составляющая с течением времени затухает, т. е. выполняется условие

Если с увеличением времени t переходный процесс расходится, т. е.

то техническая система будет неустойчивой.

Системы, в которых переходный процесс с течением времени не расходится и не затухает, называются находящимися на границе устойчивости.

Характер изменения переходной составляющей линейной технической системы зависит только от ее физических свойств, описываемых левой частью уравнения (7.25), т. е. однородным дифференциальным уравнением

Поэтому свойства линейной системы изучают на основании анализа функции v_п(t), представляющей собой общее решение уравнения (7.28). Это решение ищут в виде

где С_i — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий; _i — корни характеристического уравнения; v_пi(t) — слагаемое свободного переходного процесса, соответствующее корню _i .

Характеристическое уравнение составляется непосредственно по виду однородного дифференциального уравнения (7.29)

Характеристическое уравнение (7.31) является одновременно характеристическим полиномом матрицы Якоби системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (7.2), а множество его корней _i, i= составляет спектр матрицы Якоби. Количество корней n равно общему порядку системы уравнений (7.2).

Среди множества корней характеристического полинома могут быть вещественные корни _i = _i, комплексные попарно-сопряженные _i = _i ± j_i, мнимые _i = ±j_i, нулевые _i = 0. Корни _i представляют собой векторы, которые можно изобразить на комплексной плоскости . Модуль и аргумент вектора _i находят по формулам: