137. Постановка задач нелинейного программирования. Задачи выпуклого программирования. Функция Лагранжа, принципы ее построения. Метод множителей Лагранжа для решения задач на условный экстремум.
1) В общем виде задача нелинейной оптимизации может быть сформулирована в следующем виде: f(x)->max (min);
gi(x)<=>bi, i=1..m. При этом хотя бы одна из функций f(x) или gi(x) является нелинейной. Задача с ограничениями называется задачей с условной оптимизацией , а задачи без ограничений- задачи безусловной оптимизации.
Для задач безусловной оптимизации необходимое условие экстремума заключается в том, что в оптимальной точке все частные производные целевой функции должны быть равны 0. Для проверки достаточного условия экстремума необходимо построить матрицу вторых производных G(x*)целевой функции в оптимальной точке.
Характер точки X* связан со знакоопределенностью квадратичной формы : XT G(X*)X, x не равен 0.
Данная квадратичная форма является положительно определенной если она > 0, отрицательно определенной если она < 0, Положительно полуопреленная если она >=0, отрицательнополуопреленная <=0, неопределенной если при некоторм x не равным 0 она может приниать как положительные значения таки отрицательные.
Если квадратичная форма в точке х* является положительноопределенной, то в этой точке функция имеет локальный минимум, если квадратичная форма является отрицательноопределенной, то в этой точке функция имеет локальный максимум. Если она является неопределенной, то функция не имеет экстремума в данной точке, если функция является полуопределенной, то требуетсядополнительное исследование.
Для проверки знакоопределенности используют критерий Сильвестра, согласно которому квадратичная форма положительноопределена тогда, когда все главные миноры матрицы G(x*) положительны, квадратичная форма отрицательно определена, когда первый угловой минор отрицательный, а далее знаки чередуются +,-.
2)
Задачи выпуклого программирования.
Задачей
выпуклого программирования называется
задача
нелинейного программирования,
у которой все функции
являются
выпуклыми функциями. Общая задача
выпуклого программирования состоит в
отыскании такого вектора х (т. е. такой
точки выпуклого допустимого множества),
который является минимум выпуклой
функции
или
максимум вогнутой функции
3) Функция Лагранжа, принцип ее построения.
F(x1,x2…xn,
λ1…λm)=f(x1…xn)+
,
-
являются произвольными числами и
называются множителями Лагранжа.
4) Метод множителей Лагранжа позволяет находить экстремум функции при ограничениях – равенствах.
- Составляется функция Лагранжа.
- Определяются частные производные функции Лагранжа по всем переменным и приравниваются к 0. В итоге получается система из n+m уравнений с n+m неизвестными, решая эту систему уравнений получаем точки подозрительные на экстремум.
Найденные точки дальше исследуются на минимум или максимум.
Дальнейшее исследование проводится как в случае безусловной оптимизации, т.е строится матрица вторых производных и сравниваются значения главных миноров.
