125 Достижимость и связность в графе. Определение компонент связности в неорграфах и сильных компонент в орграфах.

В неорграфе и орграфе вершина Xj достижима из вершины хi если существует маршрут, соединяющий их (для орграфа- путь). Если в орграфе существует путь из хi в Xj и обратно, то говорят, что эти вершины взаимно достижимые. Неорграф называется связным, если любые 2 вершины соединены маршрутом . Орграф называется сильно связным, если любые 2 вершины взаимно достижимы. Односторонне связным, если для любой пары хi Xj по крайней мере одна достижима из другой. Слабо связным, если можно указать 2 вершины, которые недостижимы ни в одну, ни в другую стороны, а не орграф, лежащий в основе данного орграфа, является связным.

Компоненты связности неорграфа называют его максимально связный подграф, т.е. подграф, не содержащийся ни в каком другом

связном подграфе этого графа. Сильные компоненты орграфа называют максимально сильный связный подграф.

Матрицей достижимости орграфа с n вершинами называется квадратная матрица R порядка n, элементы которой определяются

следующим образом , Xj достижима из xi(b противном случае, = О, ц= 1).

Матрицей контр достижимости орграфа с n вершинами называется квадратная матрица Q порядка n, элементы которой определяются: xi достижима из Xj (в противном случае, = 0, qj= 1).

МатрицыR, Q, S связаны: S=Q *R .Qтранспонированная матрица R

Матрицей сильной связности орграфа с п вершинами называется квадратная матрица S порядка п, элементы которой определяются

следующим образом Sij= 1, Хj xi— взаимно достижимы (в противном случае, = 0).

После определения матрицы S, по ней можно указать сильные компоненты графа: если Ху xi принадлежат одной сильной компоненте, то Sjj = 1, при этом строки (столбцы) соответствующие данным вершинам в матрице S одинаковы. Для не орграф а матрицы S, R, Qсовпадают.

Числом вершинной связности графа б (а) называется наименьшее число вершин, при удалении которых граф становиться не связным. Числом реберной связности графа а(а) называется наименьшее число ребер, при удалении которых граф становиться не связным. Вершина xi -точка сочленения, если при ее удалении связность графа нарушается. Ребро графа называется мостом, если его удаление приводит к нарушению связности.

127 Деревья. Построение деревьев с использованием поиска в глубину и в ширину. Алгоритмы Краскала и Прима построения кратчайшего остова графа.

Деревом называется связный ациклический граф. Ориентированным деревом называется орграф без циклов, в котором существует вершина x₀, из которой имеется единственный путь в любую другую вершину графа. Деревом графа G называется его связный ациклический подграф. Остовым деревом графа называется дерево графа G, содержащее все вершины этого графа (остов T).

Ребра остового дерева называются ветвями, а ребра графа G, не принадлежащие остовому дереву, называются хордами. K – деревом называется ациклический граф, состоящий из k-компонентов связи.

Остов существует в любом графе, при чем он может быть определен не единственным способом.

Для остового дерева T справедливо:

- T – связный граф, но он утрачивает связность при удалении хотя бы одного ребра

- T – ациклический граф, но добавление к нему хотя бы одного ребра приводит к появлению цикла

- любые 2 вершины остовного дерева связаны единственной простой цепью

- остовое дерево содержит, по крайней мере, 2 висячие вершины

- число ребер остового дерева на единицу меньше числа его вершин.

Для построения остового дерева связного графа могут быть использованы 2 стратегии: поиск в глубину и поиск в ширину.

При поиске в глубину построение остова начинается с произвольной вершины графа x₀. Затем выбирается вершина смежная с ней, например x₁ и т.д. Если на k-ом шаге поиска для вершины x_k существуют смежные вершины, которые не были еще просмотрены, происходит переход в одну из этих вершин, в противном случае, происходит возврат в предыдущею вершину x_k-1 и поиск продолжается от нее. В процессе поиска вершины соединяются ребрами. Поиск заканчивается, когда будут просмотрены все вершины графа и произведен возврат в x₀.

Поиск в ширину отличается от поиска в глубину тем, что на каждом шаге просматривается не одна, а все вершины смежные с текущей.

Кратчайшим остовом взвешенного графа называется остов, у которого сумма всех весов ребер наименьшая. Для построения кратчайшего остового дерева взвешенного графа могут быть использованы алгоритм Краскала или алгоритм Прима.

Алгоритм Краскала заключается в следующем: на начальном этапе из всех ребер графа G выбирается и включается в остов ребро U₁, имеющее наименьший вес. На каждом последующем i-ом шаге из еще не включенных в остов ребер выбирается ребро, имеющее наименьший вес и не составляющее цикл с уже имеющимися ребрами. Процесс построения остового дерева завершается, когда в него будет включено n-1 ребро (n – количество вершин графа G).

Алгоритм Прима отличается от алгоритма Краскала тем, что в процессе построения необходимо следить за связностью строящегося дерева. При этом, если дерево T_i построено, то новое ребро выбирается не из всех оставшихся ребер графа, а только из тех, которые соединяют дерево T_i с вершинами, не включенными в него.