125. Понятие графа. Способы задания графа. Основные операции над графами. Основные типы графов.

Графом будем называть совокупность 2х конечных множеств вершин Х{x1... xn,} и ребер (или дуг) U{ui ... un}. Геометрически граф можно изобразить в виде рисунка, в котором вершинам соответствует точки, а ребрам — соединяющие их линии.

Если порядок соединения вершин (хi xj) является не существенным, то граф называется не ориентированным (неорграф), а пара (хi xj) — ребра этого графа. Если порядок соединения вершин (хi xj) является существенным, то граф называется ориентированным (орграф), а пара (хi xj) — дуги этого графа.. Граф, в котором имеются и дуги и ребра называется смешанным .Любое ребро не орграфа можно заменить парой дуг. Пара вершин графа (хi xj) может соединяться 2 я и более ребрами (дугами одного направления). Такие ребра (дуги) называются кратными. Количество одинаковых ребер (дуг) называется кратностью соответствующего ребра (дуги). Две вершины графа называются смежными, если существует соединяющее их ребро (дуга). 2 ребра называются смежными, если они имеют общею вершину. Петлей называются ребра, с совпадающей начальной и конечной вершиной. Граф с петлями и кратными дугами называется псевдограф, граф без петель и с кратными дугами называется мультиграф.

Подграфом графа G (х,u) называется граф G1(х1,u1), в котором множество x1 является подмножеством X, u1 является подмножеством u. Оставным подграфом графа G называется граф, содержащий все вершины графа G. Порожденный подграф состоит из подмножества вершин X_s множества вершин исходного графа и всех таких дуг графа G, у которого конечные и начальные вершины принадлежат подмножеству X_s .

Число дуг, исходящих из вершины xi ориентированного графа называется полустепенью исхода, число дуг, входящих в вершину ориентированного графа – полустепенью захода. В неор. Графах число ребер инцидентных вершине называется степенью вершины хi.

Вершина, имеющая степень 0 - изолированной., а имеющая степень 1 - висячей.

Маршрут —в не орграфе: последовательность ребер, в которой начало каждого последующего ребра совпадает с концом предыдущего. В орграфе: последовательность дуг, в которой начало каждой последующей дуги совпадает с концом предыдущей. Цепь —незамкнутый маршрут, в котором все ребра различны. Цепь, в которой все вершины различны, называется простой цепью. Путь — ориентированный маршрут, в котором все дуги различны. Замкнутый путь —контур. Цикл—замкнутая цепь. Замкнутая про стая цепь -простой цикл. Способы задания графа:

- геометрический (рисунок) – матричный. Различают также:

- матицу смежности (размерность пхп, щ = 1, если вершиныХ1И Xj смежны)

- матрицу инцидентности (размерность nxm, bjj = 1, если вершинахi инцидентна ребру Uj [для неорграфа] или b= 1, если вершина xi начальная вершина дуги uij bij = -1, если вершина xi., конечная вершина дуги и uij [для орграфа])

Основные операции над графами:

- объединение графов - Gi= (Х_ь Ui), G₂ = (Х₂, Ujl => G₃ = (Xi+X₂, Ur+Uj) - пересечение -Gi = (Х_ь Ui), G₂ = (X₂, U) => G₃= (X^X₂, Ui^Uj)

- удаление вершины (при этом удаляются все инцидентные ребра) - удаление ребра (при этом его конечные вершины не удаляются)

- добавление ре бра (обратно удалению) - слияние вершин – все ребра становятся инцидентны одной вершине

- стягивание ребра (удаление ребра и слияние его вершин) - подразбиение ребра (из графа удаляется (хi xj) и добавляется 2 новых ребра:(хi х0 и(х0 xj), где х0 - новая вершина)

Основные типы графов:

- орграф и неорграф

- граф с петлями и кратными ребрами называется псевдографом. Граф с кратными ребрами и без петель — мульти граф. Граф без петель и ребер- простой.

- граф называется взвешенным, если его ребрам (х^ xj) ставится в соответствие веса. Граф называется связным, если любые 2 вершины соединены маршрутом.

- граф называется ациклическим, если он не содержит циклов.

- орграф называется симметрическим, если любые 2 смежные вершины имеют пару противоположно направленных дуг. Неорграф -симметрический..

- граф называется регулярным степени к или однородным , если степени всех его вершин одинаковы и равны к.Число ребер при этом m=0.5*n*k.

- граф называется полным, если все его вершины смежные. К» —полный граф, содержащий п вершин.

- граф (X, U) называется двудольным, если множество его вершин X можно разделить на 2 подмножества Х1 Х2 таким образом, что каждое ребро графа имеет 1 конечную вершину в множестве X1, а другую —в Х2. Множества X1, Х2 — доли. Если любые 2 вершины графа из разных долей смежные, граф называется полным двудольным графом.

- граф называется эйлеровым, если он содержит эйлеров цикл —цикл, проходящий через каждое ребро графа 1 раз.

- граф называется гамипьтоновым, если он содержит гамипьтонов цикл - цикл, проходящий через каждую вершину 1 раз

- граф называется планарным, если его можно разложить на плоскости таким образом, чтобы ребра не пересекались в точке, отличной от вершины. Если он уже так расположен, то он назьшается плоским:

Укладок планерного графа на плоскости может быть несколько

- два графа G1, G2 изоморфны, если существует взаимно однозначное отображение между множествами их вершин, сохраняющее смежность. Для орграфа должна сохраняться ориентация дуг. Для псевдографов должна сохраняться кратность дуг. Изоморфные графы могут быть получены один из другого путем перенумерации вершин (пленарные и плоские графы).