123. Нечеткие множества и операции над ними.

Рассмотрим множество Е и его подмножество А. Принадлежность элемента х множества Е подмножеству А обозначается хÎ А. Также для выражения этой принадлежности можно использовать характеристическую функцию µ_А(х), элементы которой определяются следующим образом: µ_А(х)=1, если хÎ А, и 0- в обратном случае. Здесь µ_А(х) это функция принадлежности, принимающая свои значения в множестве М и указывающая степень принадлежности элемента х подмножеству А.

Нечетким подмножеством А в множестве Е называется множество упорядоченных пар {(x| µ_А(х))}

Множество М называется множеством принадлежности, если М принимает значение 0 или 1 , то множество рассматривается как обычное; если М принимает значение на интервале от 0 до 1, то это нечеткое множество.

Значение функции принадлежности задается в каждом случае субъективно, часто для построения функции принадлежности используются экспертные оценки.

Основные операции над нечеткими множествами:

Пусть дано множество Е и 2 его нечетких подмножества А и В , и задано множество принадлежностей µ_.

1. Включение. Множество А включено в множество В если для любого x из множества Е выполняется соотношение: µ_А(х)<= µ_B(х).

2. Равенство. Нечеткое множество А равно нечеткому множеству В , если для любого х из множества Е выполняется соотношение: µ_А(х)= µ_В(х).

3. Дополнение. Нечеткое подмножество неА называется дополнением к нечеткому множеству А, если выполняется соотношение: µ не_А(х)=1- µ_А(х).

4. Пересечение. Пересечение нечетких множеств Аи В называется множество, для которого выполняется следующее соотношение: µ_А*B(х)=min{ µ_А(х); µ_B(х)}.

5. Объединение. Объединение нечетких подмножеств А и В называется подмножество, для которого выполняется: µ_А+B(х)=max{ µ_А(х); µ_B(х)}.

6. Разность. Разностью нечетких подмножеств называется А и В определимо соответствием: A\B=A*не B

7. Дизъюктивная сумма: (А* неВ)+(В* неА).

8. Алгебраическое произведение. Алгебраическое произведенеи нечетких подмножеств называется подмножество А*В, функция принадлежности которого определяется след. образом: µ_А*B(х)=µ_А(х)* µ_B(х).

9. Алгебраическая сумма: µ_А+B(х)=µ_А(х)+µ_B(х)- µ_А(х) * µ_B(х).

124. Типы комбинаторных задач. Основные правила комбинаторики. Основные комбинаторные конфигурации.

Комбинаторика- раздел, посвященный решению задач выбора и расположения элементов конечного множества , в соответствии с заданными правилами. Каждое правило определяет способ выбора элементов из исходного множества для построения некой конструкции, которая называется комбинаторной конфигурацией.

Основные правила комбинаторики:

Пусть B- это множество из n-ых элементов. Тогда каждый элемент из множества В может быть выбран n-ым способом.

1. Правило суммы. Если элемент х может быть выбран n способами, а элемент y может быть выбран m способами, то выбор либо х либо у осуществляется m+n способами.

2. Правило произведения. Если элемент х может быть выбран n способами, а затем элемент у может быть выбран m способами, то выбор пары х у осуществляется m*n способами.

Комбинаторные конфигурации.

Набор элементов (а1, а2, …аr), составленный из элементов множества А {a1,a2,…an}, называется выборкой r из n элементов или (n,r)- выборка.

Выборка называется упорядоченная, если порядок следования элементов в ней существенен. Если порядок следования элементов не существенен, то выборка называется неупорядоченной.

Упорядоченная (n,r)- выборка , в которой элементы могут повторяться- называется размещение с повторением. Если элементы упорядоченной выборки не могут повторяться, то (n,r)- выборка называется размещение без повторений.

(n,n) размещений без повторений называется- перестановкой.

Неупорядоченная (n,r)- выборка, в которой элементы могут повторяться называется сочетание с повторениями. Если элементы неупорядоченной выборки не могут повторяться – сочетание без повторений.

Пример: Дано множество А {1,2,3}, определить все его выборки:

1. Размещение с повторениями {(1.1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}

2. Размещение без повторений {(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}

3. Сочетание с повторениями {(1.1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2)}

4. Сочетание без повторении {(1,2),(1,3),(2,3)}

5. Перестановки {123,321,231,321,132,312}.

Размещение без повторений :

Размещение с повторениями: .

Сочетание без повторений: .

Сочетание с повторениями:

Перестановка: