111 Приближенные числа и действия над ними. Классификация погрешностей.
В процессе решения задач с использованием методов вычислительной математики возникают различные виды погрешностей. Они делятся на следующие типы:
1) Погрешность задач. Она возникает из-за несоответствия математической модели явлению или процессу. 2) Погрешность исходных данных. 3)Погрешность метода . 4)Вычислительная погрешность- возникает в процессе вычисления –округления.
Погрешности первых 2 типов называют неустранимыми. Поскольку они вносят в решение ошибки, которые в дальнейшем не могут быть устранены.
Погрешности последних 2 типов могут корректироваться в процессе решения. Таким образом погрешность решения задач на ЭВМ определяется как сумма неустранимых погрешностей, погрешностей методов и погрешность вычислений.
Вычислительный метод считается удачно выбранным, если его погрешность в 2-10 раз меньше неустранимой погрешности, а величина вычислительной погрешности хотя бы на порядок меньше погрешности метода.
На практике часто приходится иметь дело с числами, которые выражают истинную величину не точно, а приблизительно. Такие числа называются приближенными.
Обозначим
точное числовое значение некоторой
величины а,
приближённое
числовое значение этой же величины а*
. Тогда
а
а*
. Заменяя
точное число а
приближенным
числом а*
,
мы совершаем ошибку (погрешность).
Абсолютной
погрешностью
приближенного числа а
называется
абсолютная величина разности между
этим числом и его точным значением
(
а*) =|а-
а*| .
Относительной
погрешностью
приближенного числа а
называется
отношение абсолютной погрешности к
абсолютному значению точного числа.
(а*
)=
(
а*) / |а|
Предельной
абсолютной погрешностью
называется возможно меньшее число,
удовлетворяющее условию: |а-
а*|
.
То
есть точное значение числа а лежит в
интервале a=a*-+
.
Предельно
относительной погрешностью приближенного
числа a*
называется возможно меньшее число
,
удовлетворяющее условию:
(
а*) / |а|
1(а*
).
Предельно абсолютная и относительная погрешность связаны между собой следующим образом: (а* )= |а|.
Погрешности арифметических операций над приближенными числами.
Абсолютная погрешность суммы или разности приближенных чисел не превосходит суммы абсолютных погрешностей слагаемых:
Для предельных абсолютных погрешностей это неравенство превращается в равенство.
Относительная погрешность суммы удовлетворяет неравенству: (а*+в* ) max.
Для предельной относительной суммы это неравенство превращается в равенство.
Для предельной относительной погрешности разницы : 1(а* -в*)=
1max.Для относительной погрешности произведения и частного выполняются условия:
(а* x в* ) (а* )+ (b* )+ (а* )* (b* ). Для частного (а* / в* ) (а* )+ (b* )/1- (b* ).
Для предельных погрешностей эти неравенства становятся равенствами.
Абсолютные погрешности произведения и частного:
Для относительной погрешности степени: (а* )^m
m
(а*
).Для абсолютной: ( а*))^m |(а*)^m| ) (а* )^m
