5.2. Распространение вероятностей в эс

Пример. Предположим, что в некоторой БЗ имеется всего три взаимно независимых гипотезы: , которые имеют априорные вероятности: , соответственно. Правила БЗ содержат два условно независимых свидетельства, которые поддерживают исходные гипотезы в различной степени. Априорные и условные вероятности всех гипотез и свидетельств этого примера имеют следующие значения:

При этом исходные гипотезы характеризуют событие, связанное с определением надежности некоторой фирмы: Н1- средняя надежность, Н2- Высокая надежность, Н3- низкая.

Событиями, являющимися условно независимыми свидетельствами, поддерживающими исходные гипотезы являются: Е1-наличие прибыли у фирмы; Е2- своевременный расчет с бюджетом.

Предположим, что мы имеем только одно свидетельство Е1( то есть с вероятностью единица наступил фактЕ1). Наблюдая Е1 мы вычисляем апостериорные вероятности для гипотез согласно формуле Байеса для одного свидетельства:

Таким образом ,

После того как E1 произошло доверие к гипотезам Н1и Н3 понизилось, в то время как доверие к Н2 возросло. В тех случаях, когда имеются факты, подтверждающие как событиеЕ1, так и событиеЕ2, то апостериорные вероятности исходных гипотез также могут быть вычислены по правилу Байеса:

Так как события Е1 и Е2 условно независимые при данных гипотезахНi, то формулу Байеса можно переписать в виде:

Откуда

Хотя исходным ранжированием былоН1,Н2,Н3, только Н1и Н2 остались после получения свидетельств Е1иЕ2..На этом примере мы рассмотрели процесс распространения вероятностей по элементам ЭС при поступлении в неё тех или иных свидетельств.

71 Байесовские сети доверия.

Байесовская сеть доверия (БСД) — это вероятностная модель, представляющая собой множество переменных и их вероятностных зависимостей. Формально, байесовская сеть — это направленный ациклический граф, вершины которого представляют переменные, а ребра кодируют условные зависимости между переменными. Вершины могут представлять переменные любых типов, быть взвешенными параметрами, скрытыми переменными или гипотезами.

Теория математической статистики различает два типа случайных величин: дискретные и непрерывные. Дискретная случайная величина - это изолированные значения исследуемого параметра, которые можно заранее пересчитать. Непрерывная – это случайная величина, которая может принять любое значение из конечного или бесконечного интервала. Байесовские сети, в которых могут присутствовать как дискретные переменные, так и непрерывные, называются гибридными байесовскими сетями.

Базовым положением БСД является гипотеза о том, что человек – эксперт способен формулировать правила, связывающие не более двух – трех элементарных утверждений. Таким образом, база знаний должна состоять из частей, соответствующих этим правилам. Между такими частями базы знаний также существуют определенные взаимоотношения. Исходным данным соответствуют начальные узлы БСД, а результаты работы сети определяются на конечных узлах сети, представляющих переменные, характеризующие конкретную задачу.

Вершины x и y не имеют предков и являются родительскими по тношению к вершине z, которая, соответственно, является дочерней по отношению к ним. Если вершина в БСД может находиться в одном из нескольких состояний, то она является дискретной. Для таких вершин в качестве меры истинности в аппарате БСД используется мера вероятности. Связь между переменными, участвующими в правиле, описывается с помощью условной вероятности -P(z/x,y). Состояния вершин, не имеющих предков, описываются безусловными вероятностями, например, P(x),P(y).

Теорема Байеса. Рассмотрим случай, когда все правила в экспертной системе отражаются в форме если Н- является истинно, то Е будет наблюдаться с вероятность р. В этом контексте Н – событие, заключающееся в том, что данная гипотеза верна, Е- событие, заключ. в том , что наступило определенное доказательство, которое может подтвердить правильность гипотезы.

Формула Байеса записывается след образом: p(H/E)=P(E/H)*P(H)/P(E/H)*P(H)+P(E/-H)P(-H).

В ЭС вероятности, требуемые для решения некоторой проблемы , обеспечиваются экспертом и запоминаются в БЗ. Вероятности включают:

1. Априорные вероятности всех возможных гипотез р(н)

2. Условные вероятности возникновения свидетельства при условии осуществления каждой из гипотез р(е/н)

3. Р(Н/Е)- апостериорная вероятность.

Пользователь дает экспертной системе информацию о наблюдении , т.е. наличие определенных синдромов и ЭС вычисляет апостериорную вероятность для всех гипотез . Апостериорные вероятности дают сравнительное ранжирование всех возможных гипотез, результатом вывода ЭС является вывод гипотезы с наибольшей апостериорной вероятностью.

Формула Байеса , обобщенная на случай множества гипотез и множества свидетельств будет выглядеть след образом:

P(Hi/E1,E2…En)=P(E1,E2…En|Hi)*P(Hi)/

С учетом положения о взаимной зависимости свидетельст ф-а Байеса имеет вид:

P(Hi/E1,E2…En)=P(E1/Hi)*P(E2/Hi)*…*P(En/Hi) / *…* P(En/Hk)