54. Трехмерные аффинные преобразования

Основные геометрические свойства трехмерных аффинных преобразований:

1. Плоскости после преобразования остаются плоскостями.

2. Параллельные плоскости - параллельными.

55 Описание и построение составных поверхностей

Одним из видов нерегулярных поверхностей являются поверхности составные; пространственные конструкции, очерченные по этим поверхностям, называют составными. От других видов поверхностей они отличаются тем, что образуются как совокупность нескольких или многих элементов поверхностей, пересекающихся между собой. В местах сопряжения этих элементов имеется сосредоточенное (скачкообразное) изменение кривизны. Составляющие элементы поверхностей могут быть также и разных типов.

Составные поверхности содержат линии перелома в местах сопряжения составляющих элементов, т. е. первые производные функций, описывающих такие поверхности, имеют разрывы в конечном числе линий или направлений.

Сравнение форм Эрмита, Безье и В-сплайна .Каждое из этих представлений оказывается полезным в разных ситуациях. Форма Эрмита пригодна для аппроксимации (приближении) имеющихся поверхностей когда необходимо добиться как соответствия точек так и соответствия касательных векторов, в то же время как представление в виде Всплайна удобно для аппроксимации точек и достижения неприрывности 2-го порядка с^л2. (Кривая в виде куб. Всплайна проходит через любые управляющие точки при этом она непрерывна и непрерывностью изменений обладает ее касательный вектор)

Формы Безье и Вспл пригодны для работы в интерактивном режиме т.к. их геометрич вектора состоят из одних только точек. Обе эти формы обладают свойством выпуклой оболочки которая оказывается полезным при изображении кривых. Отметим что кривую первоначально заданную в одной форме можно преобразовать в другую форму если записать геометрический вектор 1-й формы в терминах второй. Поэтому эрмитову форму к-я не обладает свойством выпуклой оболочки можно преобразовать в форму безье которая обладает этим свойством.

56 Построение составных поверхностей Эрмита

Матрица Qx. В верхней левой части находится координаты углов куска поверхности. В верх левой и нижн правой частях матрицы помещены тангенсы углового наклона касательных векторов в угловых точках для каждой из граничных параметрических кривых. В нижн правой части раположены часные производные по обоим параметрам в угловых точках.

Описание и построение составных поверхностей. Форма Эрмита.

Для поверхности:

x(s, t) = a_­11­ s³ t³ + a_­12­ s³ t² + a_­13 ­s³ t + a_­14 s³ + a_­21­ s² t³ + a_­22­ s² t² + a_­23 ­s² t + a_­24 s^2­ _­ +

+ a_­31­ s t³ + a_­32­ s t² + a_­33 ­s t + a_­34 s + a_­41­ t³ + a_­42­ t² + a_­43 t + a_­44

или: x(s, t) = S C_­x­ T^T, где S – вектор степеней s, T – вектор степеней t

ф орма Эрмита: x(s) = S M­_h­ G­_hx­

x

t = 1

(s, t) = S M­_h­ G­_hx­(t) = S M­_h­­­

P_­1x­(t) = T M_­h­­ P_­4x­(t) = T M_­h­­ R_­1x­(t) = T M_­h­­ R_4x­(t) = T M_­h­­

P_­1x­(t) P_­4x­(t) R_­1x­(t) R_4x­(t) = T M_­h­­

Протранспонируем данное выражение и учитывая, что: (А В С)^Т = А^Т В^Т С^Т, получим:

Тогда: x(s, t) = S M­_h­ Q­_x­ M^T_­h­ T^T

Q­_x­ определяется с помощью точек и углов наклона, где q_­11 ­ - есть x(0, 0), т.к. является начальной точкой для Р­_1х­(t), которая в свою очередь задает начальную точку для x(s,0); q_­12­ – есть x(s, t), т.к. является конечной точкой для Р­_1х­(t), которая в свою очередь задает начальную точку для x(s,t); q_­12 – есть т.к. является начальным касательным вектором для Р­_1х­(t); q_­33­ = , т.к. представляет собой начальный касательный вектор для R­_1х­(t), который в свою очередь задает начальный тангенс угла наклона для x(s,0). Тогда:

В верхней левой части матрицы находится 4 координаты углов куска поверхности; в верхней правой и нижней левой частях помещены тангенсы углов наклона касательных векторов в угловых точках для каждой их граничных параметрических кривых; в нижней правой части расположены частные производные по обоим параметрам в угловых точках, которые являются кривизной.

Форма Эрмита для бикубических кусков поверхностей является одной из форм куска Кунса или поверхности Фергюссона. Для обеспечения непрерывности первой производной бикубического многочлена Эрмита при переходе от одного куска поверхности к другому необходимо, чтобы касательные вектора, пересекающие ребро, имели одно и то же направление; если общее ребро строится при фиксированном параметре s = const, то строки матриц кусков должны соответствовать друг другу.