§ 9.5. Критерий Сильвестра.

Квадратичные формы подразделяют на различные типы в зависимости от множества их значений.

Определение. Квадратичная форма , где называется

− положительно (отрицательно) определенной, если для любого ненулевого столбца справедливо неравенство ;

− неотрицательно (неположительно) определенной, если для любого столбца выполняется неравенство , причем существует ненулевой столбец , для которого ;

− знакопеременной (неопределенной), если существуют такие столбцы и , что , .

Тип квадратичной формы зависит только от множества значений, которые она принимает, но не зависит от переменных, в которых она записана. Представив квадратичную форму в каноническом виде, получаем следующие критерии для типа квадратичной формы в зависимости от множества собственных значений ее матрицы:

1) если , , то для любого ненулевого столбца справедливо неравенство и квадратичная форма является положительно определенной;

2) если , , то для любого ненулевого столбца справедливо неравенство и квадратичная форма является положительно определенной;

3) если существуют собственные значения и такие, что , то существуют такие столбцы и , что , и квадратичная форма является знакопеременной (неопределенной);

4) Если хотя бы одно собственное значение равно 0, то существует ненулевой столбец такой, что , и квадратичная форма называется вырожденной.

Во многих случаях тип квадратичной формы можно определить, не вычисляя собственных значений ее матрицы.

Теорема. Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы после ее приведения к каноническому виду все коэффициенты при квадратах новых переменных были положительны.

Доказательство. Пусть форма преобразуется к виду посредством линейной подстановки с невырожденной матрицей

,

,

…………………………,

.

Из-за невырожденности матрицы эта подстановка обратима, поэтому

,

,

…………………………,

.

Если , , …, , то неравенство не выполнимо, а равенство возможно только в том случае, когда и, следовательно, , Если же , то положив при и , можем найти соответствующие значения переменных из первой системы, которые не будут равны нулю одновременно. Тогда . Теорема доказана как в части достаточности, так и в части необходимости условия.

Из этой теоремы следует, что если в каком-либо каноническим виде квадратичной формы все коэффициенты положительны, то и в любом другом каноническом виде все коэффициенты будут также положительными.

Определение. Угловыми (главными) минорами ( ) квадратной матрицы -го порядка называются миноры, расположенные на пересечении первых строк и первых столбцов.

Теорема (критерий Сильвестра). Для того, чтобы квадратичная форма , R была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ( ) были положительными.

Доказательство. Необходимость. Пусть квадратичная форма положительно определена. Тогда существует подстановка , , …, или X=BY с невырожденной матрицей В, которая переводит исходную квадратичную форму в форму , причем ( ). Тогда , где А – матрица квадратичной формы, D – диагональная матрица, у которой диагональные элементы равны . В силу ортогональности преобразования квадратичных форм , поэтому .

Рассмотрим часть квадратичной формы . Эта форма положительно определена и равна , т. е. при .

Достаточность. Пусть при . Тогда форма может быть преобразована к каноническому виду посредством преобразования переменных с верхней унитреугольной матрицей и квадратичная форма будет равна . Все коэффициенты при квадратах переменных положительны и, следовательно, исходная форма положительно определена. Теорема доказана.