Восьмеричная система счисления

Для более удобного представления двоичных данных также используется система счисления с основанием восемь (восьмеричная система счисления). В восьмеричной системе счисления используется восемь цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7.

В общем виде число в восьмеричной системе счисления представляется в форме:

X = a_n*8ⁿ + a_n-1 *8^n-1 + ... + a₁ *8¹ + a₀ *8⁰, а цифры a_i 0, ... ,7

В литературе восьмеричные числа обозначается с помощью буквы O (Octal)или нижнего индекса 8, например 512O или 512_8.

Для нахождения восьмеричного представления двоичного числа каждый байт делится на триады (по три бита) справа налево, недостающие биты слева дополняются нулями. Каждая триада выражается соответствующей восьмеричной цифрой. В табл. 2 приведены двоичные, десятичные и восьмеричные значения чисел от 0 до7.

табл. 3. Двоичное, десятичное и восьмеричное представления

Двоичная система счисления	Десятичная система счисления	Восьмеричная система счисления
000	0	0
001	1	1
010	2	2
011	3	3
100	4	4
101	5	5
110	6	6
111	7	7

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Ограничимся рассмотрением целых положительных чисел и примем без доказательства следующие правила перевода целых чисел из одной системы счисления в другую.

Правило 1. Перевод числа x из системы счисления основанием P в систему счисления с основанием Q заключается в последовательном нахождении остатков от деления числа x на основание Q, при этом процесс продолжается до тех пор, пока частное от деления не будет меньше основания Q. Все вычисления выполняются в системы счисления с основанием P, т.е. основание Q должно также быть выражено в системе счисления с основанием P. Остатки от деления должны быть выражены цифрами системы счисления с основанием Q. Представление искомого числа в системе счисления с основанием Q получается выписыванием последнего частного и остатков от деления в обратном порядке.

На практике такой порядок перевода чисел используется при переводе из десятичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную. Однако перевод в двоичную систему осуществляется, как правило, через промежуточную восьмеричную систему.

Пример 1. Перевод из десятичной системы счисления в восьмеричную.

574₁₀  ? ₈ 574₁₀  1076 ₈

0

Пример 2. Перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную.

575₁₀ ? ₁₆ 575₁₀ 23F ₁₆

Правило 2. Перевод числа x из системы счисления основанием P в систему счисления с основанием Q осуществляется путем представления числа их по степеням основания P. Все вычисления выполняются в системе счисления с основанием Q, т.е. основание P и цифры исходного числа должны также быть выражены в системе счисления с основанием Q. На практике такой порядок перевода чисел используется при переводе из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления в десятичную.

Пример. Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную

23E ₁₆ ?₁₀ 23E ₁₆ 574₁₀

2_n*16² + 3*16¹ +14 *16⁰

23E ₁₆ 574₁₀

Пример. Перевод из восьмеричной системы счисления в десятичную

1076 ₈? ₁₀ 1076 ₈ 574₁₀

1*8³ + 1*8² +6*8¹ + 7*8⁰

1076 ₈ 574₁₀

Правило 3. Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную и наоборот переводится по триадам.

При переводе из восьмеричной системы в двоичную каждая цифра заменяется триадой, согласно табл.3

При переводе из двоичной системы в восьмеричную число развивается на триады справа налево, недостающие цифры слева дополняются нулями. После этого, каждую триаду заменяют восьмеричной цифрой согласно табл. 3.

Пример. Перевод числа из восьмеричной системы счисления в двоичную.

1076 ₈ 001000111101₂

Пример. Перевод числа из двоичной системы счисления в восьмеричную.

[00]1.000.111.101₂ 1076 ₈

Правило 4. Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную и наоборот переводится по тетрадам.

При переводе из шестнадцатеричной системы в двоичную каждая цифра заменяется тетрадой, согласно табл.2

При переводе из двоичной системы в шестнадцатеричную число разбивается на тетрады справа налево, недостающие цифры слева дополняются нулями. После этого, каждую тетраду заменяют шестнадцатеричной цифрой согласно табл. 2.

Пример. Перевод числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную.

23E ₁₆ 001000111101₂

Пример. Перевод числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную.

0010.0110.1101₂ 25E ₁₆