Лекция №6

«Международный факультет прикладных информационных технологий

Бакалавриат «Информатика и вычислительная техника»

2009/2010 Уч. Год, 1 семестр Математические основы информатики. Системы счисления

Системы счисления 1

Двоичная система счисления 2

Двоичная арифметика 3

Шестнадцатиричная система счисления 3

Восьмеричная система счисления 4

Перевод чисел из одной системы счисления в другую 5

Отрицательные числа 7

Системы счисления

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел.

В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые базовые символы (цифры), и все числа получаются в результате строго определенных операций над ними.

Существует два известных типа систем счисления: непозиционные и позиционные.

В непозиционных системах счисления каждая цифра имеет одно и тоже значение независимо от положения в записи числа. Примером такой системы является римская система счисления. Базовыми символами (цифрами) римской системы являются: I, V, X, L, C, D, M. Например, в записи XIX цифра X повторена дважды и ее значение в обоих случаях равно десяти.

В настоящее время наиболее распространены позиционные системы счисления. Конкретное значение числа в такой системе определяется не только самими его цифрами, но и местоположением каждой из цифр, т.е. цифры имеют разный вес в записи числа. Примером такой системы счисления является десятичная система счисления. Эта система использует десять базовых символов (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Количество различных цифр, используемых для записи чисел в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления. Например, в записи 1909 цифра 9 повторена два раза, при этом первая слева цифра означает число сотен, а вторая - число единиц в числе в указанном числе. Само же число 1909 можно представить в виде многочлена по степеням основания:

1*10³ + 9*10² + 010¹ + 9*10⁰

Соответственно любое другое десятичное число X можно также представить в виде многочлена по степеням основания системы счисления:

X = a_n*10ⁿ + a_n-1 *10^n-1 + ... + a₁ *10¹ + a₀ *10⁰ ,а цифры a_i 0, ... ,9

Основание системы счисления может быть отличным от 10. Запись произвольного числа X в системе счисления по основанию R имеет вид:

X = a_n*Rⁿ + a_n-1 *R^n-1 + ... + a₁ *R¹ + a₀ *R⁰, а цифры a_i 0, ... ,R-1

Говорят, что десяток системы счисления с основанием R равен R.

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе. При этом только нужно пользоваться соответствующими таблицами сложения и умножения.

В компьютерных науках используется несколько позиционных систем счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.

Двоичная система счисления

Для выполнения программ компьютер временно записывает программу и данные в основную память. Память образована интегральными микросхемами (или "чипами"), которые содержат тысячи электронных компонент. Подобно обычным лампочкам компоненты имеют только два возможных состояния: «включен» (равным 1) и «выключен» (равным 0), с помощью которых комбинации компонентов могут представлять программу и данные. Компоненты основной памяти компьютера называются битами. Название бит происходит от английского словосочетания "BInary digiT" (двоичная цифра).

Группа из восьми бит называется байт. Каждый байт в памяти компьютера имеет уникальный адрес, начиная с нуля. Поскольку байт является основной единицей обработки, то и емкость памяти меряется в байтах, килобайтах (Кб), мегабайтах (Мб), гигабайтах (Гб).

Восемь бит обеспечивают основу для двоичной арифметики и для представления символов в памяти компьютера. Восемь бит дают 256 различных комбинаций включенных и выключенных состояний: от «все выключены» (00000000) до «все включены» (11111111). По соглашения биты в байте пронумерованы от 0 до 7 справа налево, как это показано в таблице:

Номера битов:	7	6	5	4	3	2	1	0
Значения битов:	0	1	0	0	0	0	0	1

Для представления и интерпретации данных в компьютере используется система счисления с основанием два (двоичная система). Для записи двоичных чисел используется только две цифры: 0 и 1. Сочетанием двоичных цифр (битов) можно представить любое число. Двоичная система счисления является позиционной, а соответственно значение двоичного числа определяется позицией каждого бита. В общем виде число в двоичной системе счисления представляется в форме:

X = a_n*2ⁿ + a_n-1 *2^n-1 + ... + a₁ *2¹ + a₀ *2⁰, а цифры a_i 0,1

В литературе двоичные числа обозначается с помощью буквы B (Binary) или нижнего индекса 2, например 01000001B или 01000001_2.

Далее показано восьмибитовое число, содержащее все единичные биты:

Позиционные веса:	128=27	64=26	32=25	16=24	8=23	4=22	2=21	1=20
Включенные биты:	1	1	1	1	1	1	1	1

Самая правая цифра имеет весовое значение 1, следующая цифра влево – 2, следующая – 4 и т.д. Общая сумма для восьми единичных битов в данном случае составит

1+2+4+…+128= 255 или (2⁸-1).

Пример. Для двоичного числа 01000001 единичные биты представляет значения 1+64, т.е. 65

Двоичное число не ограничивается только восьмью битами. В зависимости от архитектуры компьютера, он оперируют 16-битными, 32-битными, 64-битными представлениями чисел.