Групповой выбор.
В человеческом обществе единоличное принятие решений является не единственной формой выбора. "Ум — хорошо, а два — лучше", гласит поговорка, имеющая в виду тот случай, когда оба ума с одинаковыми намерениями пытаются найти хороший выбор. Что мы и рассмотрим. Пусть на множестве альтернатив X задано n в общем случае различных индивидуальных предпочтений (для определенности будем говорить о бинарных отношениях) R1, R2, …, Rn. Ставится задача о выработке некоторого нового отношения R, которое согласует индивидуальные выборы, выражает в каком-то смысле "общее мнение" и принимается за групповой выбор. Очевидно, что это отношение должно быть какой-то функцией индивидуальных выборов: R = F(R1, …, Rn). Различным принципам согласования будут отвечать разные функции F. В принципе, т.е. теоретически, функции F могут быть совершенно произвольными, учитывать не только индивидуальные выборы, но и другие факторы, в том числе и исход некоторых случайных событий (например, бросания жребия), и главный вопрос состоит в том, чтобы правильно отобразить в функции F особенности конкретного варианта реального группового выбора.
Возможные
условия решения задач группового выбора
1)
в ряде случаев циклические ранжирования
могут отсутствовать, либо они не
охватывают наиболее важные альтернативы,
либо приняты меры по их обнаружению и
устранению
2)
во многих случаях «диктаторский»
принцип бывает приемлемым (оптимизация
по главному критерию из нескольких
критериев, единственно возможный
принцип «единоначалия» в армии
3)
переход (в случае возможности) к
использованию единой числовой, а не
порядковых индивидуальных шкал
предпочтений может вообще аннулировать
проблему нетранзитивности
4)
в реальных ситуациях мажоритарные
правила применяются в комбинации с
другими правилами, так что образовав
коалицию, группы субъектов могут
блокировать действия голосования
Рис.7.8.
+
+
+
4
: 5
+
-
+
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
-
+
8
: 19
-
-
-
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Р
2
: 1
Хотя с каждой альтернативой х связано одно и тоже множество исходов У, для разных альтернатив одинаковые исходы имеют разное значение. В случае дискретного набора альтернатив и исходов такую ситуацию можно изобразить с помощью матрицы на рис. 7.10. В этой матрице все возможные исходы образуют вектор у = (у1, …, уm), числа qij выражают оценку ситуации, когда сделан выбор альтернативы хi и реализовался исход уj. В разных случаях числа qij могут иметь различный смысл: иногда это «выигрыши», «потери», «платежи», иногда в литературе встречаются и другие названия.
Х/У
у1
у2
…
уj
…
уm
х1
q11
q12
q1j
q1m
…
…
…
…
…
…
…
…
qim
qij
qi1
хi
…
…
…
…
qi2
…
…
…
…
qnj
qn2
хn
…
…
…
qnm
qn1
Рис. 7.10.
Если все строки qi = (qi1 …, qim) при любых i одинаковы, то проблемы выбора между альтернативами нет. Если же строки матрицы различны, то возникает вопрос, какую альтернативу предпочесть, не зная заранее какой из исходов реализуется. Аналогично в случае непрерывных множеств Х и У ситуация описывается с помощью задаваемых на этих множествах функции q(х, у), х Х, у У с соответствующей постановкой вопроса о выборе х.
Один класс задач называется «играми против природы», в них считается, что исходы у1, …, уm есть возможные «состояния природы». Желательность каждой альтернативы хi зависит от того, каково состояние природы, но узнать какое оно сможем лишь после того, как сделаем выбор. Второй класс задач предполагает, что исходы У – это множество альтернатив, на котором выбор осуществляет второй игрок, который, в отличии от бесстрастной Природы, преследует свои интересы, отличные от интересов первого игрока. При этом матрица Q = qij , характеризующая оценки ситуаций игроком, выбирающим х, уже не достаточна для описания всей игры и необходимо задать матрицу U = uij , описывающую игру с позиций второго игрока. Задание Х, У, Q и U называется нормальной формой игры.
Расхождения между матрицами Q и U определяет степень антагонизма игроков. Если qij + uij = const для всех i и j, то соперничество называется строгим. В случае qij + uij = 0 имеем игру с нулевой суммой.
Самый распространенный критерий выбора «наименьший из зол» - максиминный критерий. В каждой из строк матрицы платежей находится наименьший выигрыш min qij, который характеризует гарантированный выигрыш в самом худшем случае и считается оценкой альтернативы хi. Теперь находится альтернатива х*, обеспечивающую наибольшее значение этой оценки: х* = arg maxi minj qij. Эта альтернатива и называется оптимальной по максимальному критерию.
Поскольку часто платежную матрицу определяют не через выигрыш, а через проигрыш, тот же принцип приводит к минимаксному критерию. Минимасный критерий весьма осторожный и пессимистический, поэтому предлагаются и другие критерии: критерий минимаксного сожаления (Сэвидж), для этого по платежной матрице Q вычисляется «матрица сожалений» S, элементы которой определяются как sij = qij – mini qij, и минимаксный критерий применяется к матрице S : х* = arg mini maxj sij.
Дальнейшее ослабление пессимистической оценки альтернатив дает критерий пессимизма-оптимизма (Гурвица), который сводится к взвешенной комбинации наилучшего и наихудшего исходов. За оценку альтернативы хi в критерии Гурвица принимается величина
g(xi) = a mini qij + (1-a) maxj qij, 0 a 1.
Показатель а называется показателем пессимизма-оптимизма (при а = 1 имеем максиминный критерий); оптимальная альтернатива есть х* = arg maxi (хi).
Если имеется игра с множеством Х и У, строгим соперничеством сторон и с нулевой суммой, то это делает достаточным рассмотрение лишь одной функции платежей q(х,у), которую один игрок старается максимизировать по х, а другой минимизировать по у. В тех случаях, когда достигается равенство, удовлетворяющее одновременно двух игроков, то точка равновесия называется седловой, отход от которой не выгоден обеим сторонам.