Параметрический способ уравнивания. Оценка точности.59
Параметрический способ уравнивания. Оценка точности.
Схема параметрического способа.
1. Даны измерения, их СКП, координаты исходных пунктов. СКП измерений нужны для вычисления веса.
2. Приближённое вычисление параметров X˚.
3. Вычисление матриц А и L, где А – матрица коэффициентов параметрических уравнений, L – свободные члены уравнений поправок.
4. Составление нормальных уравнений и вычисление δX при их решении.
5. Вычисление поправок и уравненных значений параметров.
6. Оценка точности результатов измерения.
В параметрическом способе решают систему уравнений
. (1)
Число уравнений – N, число параметров – t.
t=k – в нивелирных сетях;
t=2k – в плановых сетях;
t=3k – в пространственных сетях.
V – неизвестный вектор поправок в измерения;
А – матрица коэффициентов параметрических уравнений поправок;
δX – неизвестные поправки в приближённое значение параметров.
L=φ(X˚)-Т – свободный член параметрического уравнения. Чем грубее X˚, тем больше L.
Т – вектор измерений.
φ(X˚) – функция измерений.
Т. к. N≥t, т. е. уравнений больше, чем неизвестных, задача поиска δX неоднозначна. При этом составляем условие МНК VTPV=min. Для этого переходят к нормальным уравнениям. Для этого умножаем формулу (1) слева на ATP.
(2)
Согласно лемме Гаусса ATPV=0. ATPА=N – матрица коэффициентов нормальных уравнений. ATPL=B – свободные члены нормальных уравнений.
N δX+В=0 – система нормальных уравнений.
δX= -N-1В.
В параметрическом способе решается задача на абсолютный экстремум и поэтому этот способ в несколько раз проще коррелатного, т. к. методика уравнивания не зависит от сложности построения геодезической сети. Иначе говоря любая сложная сеть уравнивается также просто, как и простая.
Трудным вопросом здесь является выбор параметров. В нивелирных сетях параметрами являются отметки в определяемых пунктах, число параметров равно числу определяемых пунктов. В плановых сетях в качестве параметров применяются координаты определяемых пунктов. Следовательно, число параметров равно удвоенному числу определяемых пунктов.
Ход параметрического способа уравнивания (полигонометрия).
1)Возникает ли задача уравнивания?
Задача уравнивания возникает, так как присутствуют избыточные измерения.
2)Назначаем параметры.
|
|
|
|
|
|
3)Выражаем измерения через параметры.
|
|
4) Перейдем к уравнениям поправок
5)Вычислим
коэффициенты
и
:
Составим
матрицу
.
7)Составим уравнение
поправок и преобразуем его.
— лемма Гаусса;
— матрица нормальных уравнений;
— матрица свободных членов нормального
уравнения;
— диагональная матрица весов измерений.
8)Матрицу весов получаем следующим образом. Веса разделяем на веса углов и веса длин секций.
9)Получим нормальное
уравнение параметров в матричном виде:
10)Расписав нормальное уравнение параметров как систему, получим:
11) Находим V
12)Вычисляем уравненные значения:
13)Выполняем контроль:
1) Должна выполняться лемма Гаусса
2) Сумма поправок в углы должна уничтожать угловую невязку
3) Вычисления по уравненным значениям не должны давать невязку
Оценка точности
1) Вычисление погрешности единицы веса:
2)
3)Вычислим среднюю квадратическую ошибку положения пунктов:
4) Получение матрицы
обратных весов координат
,
где
— вектор частных производных от
оцениваемой функции. Оценим сторону
S2-3:
Вычислим ошибку стороны:
ms=