По дисциплине «Высшая геодезия»

1. Оценка точности функции от результатов измерений.

Оценка точности функции от результатов измерений.

Оценку точности функций результатов геодезических измерений, точность которых характеризуется заданными средними квадратическими ошибками, вычисленными по результатам эксперимента.

Функция вида

Для определения погрешности этой функции берут частные производные и умножают на вектор ошибок

– это дисперсия D_Y.

Фундаментальная теорема переноса ошибок имеет вид:

где - корреляционная матрица, – матрица производных функций .

Эта формула применяется при оценке функций.

Если оценивается несколько функций, то матрица f будет являться матрицей Якоби (используем формулу ).

Получим ковариационную матрицу, диагональные элементы которой соответствуют дисперсии, корень из дисперсии будет соответствовать СКО функций.

2. Обработка одной многократно измеренной равноточной величины.

Обработка одной многократно измеренной равноточной величины

Наличие избыточных (п–1) измерений при многократных измерениях одной величины, приводит к неоднозначным результатам с одной стороны, а с другой позволяет провести контроль и выполнить оценку точности на основе статистических методов. Таким образом, задача оценивания результатов многократно измеренной величины сводится к оценке количественной стороны (оценка математического ожидания) и качественной (оценка меры разброса). При этом, обычно используют как точечные, так и интервальные оценки. Следует иметь ввиду, что, по сути задачи – наличие неопределенности в результатах измерений, – предпочтительнее интервальная оценка. Но ее качество очень зависит от точности знания закона распределения погрешностей измерений и числа измерений.

Итак, величина измерена nраз, оценка МО равна среднеарифметическому.

Или по другому, наилучшей оценкой для математического ожидания будет так называемая простая арифметическая средина

х = [х]/n,

а для дисперсии одного измерения — квадрат средней квадратической ошибки (формула Бесселя)

m² = [v²]/(n—1),

где v_i= x_i— — отклонения от простой арифметической средины

Погрешности оценки МО и дисперсии.

Для

Для

Строим доверительный интервал.

где – это оценка значения, t – вероятностный коэффициент, – погрешность этой оценки (ТМОГИ Большаков стр. 98)

3. Обработка одной многократно измеренной не равноточной величины.

Обработка одной многократно измеренной не равноточной величины

4. Уравнительные вычисления. Общие положения.

Уравнительные вычисления, общие положения.

Задача уравнивания возникает только при наличии избыточных измерений и ошибок измерений (ошибки измерений есть всегда).

В геодезической практике число выполненных измерений n всегда больше числа тех измерений к, которые следовало бы сделать, чтобы получить искомые величины (необходимые неизвестные). Измерения, которых было бы достаточно для определения этих неизвестных, назовем необходимыми. Разность г = n — к называется числом избы-

определяются неоднозначно и зависят от того, по каким измерениям они вычисляются. Задача уравнивания и заключается в том, чтобы, используя все измерения, получить однозначно все неизвестные.

Получение наиболее надежных значений этих величин и их оценка точности составляют задачу так называемых уравнительных вычислений (уравнивания). Уравнивание выполняют по методу наименьших квадратов (м. н. к.), согласно которому смеренные величины получают поправки V_I, удовлетворяющие условию [pv²]=min, где p_I — вес измерений.

Существуют два основных способа уравнивания: параметрический и коррелатный (ранее они назывались со ответственно способами посредственных и условных уравнений). В первом способе из решения так называемых нормальных уравнений получают непосредственно уравненные значения искомых величин — параметров, а во втором — сначала вспомогательные множители — так называемые коррелаты, а затем искомые величины n их функции. Оба способа уравнивания приводят к одинаковым результатам, но часто обладают различной трудоемкостью при решении одной и той же задачи. Так, например, при уравнивании полигонометрического хода, имеющего 10 определенных пунктов, параметрическим способом придется совместно решать 20 уравнений, а при коррелатном способе, как мы видели выше, всего 3. Следует, однако, иметь в виду, что число совместно решаемых уравнений, если задача решается на ЭВМ, не является определяющим критерием выбора того или иного способа уравнивания. Нужно учитывать также простоту составления исходных уравнений.

Кроме указанных двух способов уравнивания, существуют и так

называемые комбинированные способы, сочетающие достоинства одного и другого.