3. Методы Рунге-Кутта третьего порядка точности ( )

Этот метод получается в том случаи, когда . Тогда в общей формуле методов Рунге-Кутта (5) имеется восемь неизвестных численных параметров из группы параметров , и для нахождения которых поступают описанным в предыдущем пункте способом.

При этом для нахождения искомых параметров возникает нелинейная система из 6 уравнений, обладающая бесчисленным множеством решений. И при этом удаётся приравнять слагаемые, содержащие до 3-го порядка включительно, так что соответствующие правила Рунге-Кутта будут иметь локальную погрешность .

Одно из возможных решений упомянутой системы приводит к следующему методу Рунге-Кутта третьего порядка точности: (14), где

, , .

Переходя к обозначению , из формулы (14) можно получить расчётную формулу.

4. Методы Рунге-Кутта четвёртого порядка точности ( )

Этот метод получается в том случаи, когда . Тогда в общей формуле методов Рунге-Кутта (5) имеется 13 неизвестных численных параметров из группы параметров , и . Так же как и раньше, для нахождения указанных параметров, выписываем разложение левой и правой частей, соответствующей формулы (5), в ряд Тейлора по степеням . За счёт выбора параметров удаётся обнулить коэффициенты при слагаемых содержащих , , , так что полученные приближённые формулы будут иметь локальную погрешность . Для нахождения числовых значений параметров возникает нелинейная система, содержащая 11 уравнений. Одно из возможных решений этой системы приводит к следующему методу Рунге-Кутта четвёртого порядка точности: (15), где

, , , .

Кроме того, линейная комбинация величин в формуле (15) является аналогом квадратурной формулы Симпсона для приближённого вычисления интеграла в формуле (3).

Переходя к обозначению , можно выписать расчётные формулы соответствующих методов Рунге-Кутта.

Данный метод Рунге-Кутта четвёртого порядка точности (15) наиболее часто используется на практике.

Замечание. При методы Рунге-Кутта, как правило, не употребляются.

Многошаговые методы решения задачи Коши для ОДУ. Экстраполяционный метод Адамса

Пусть на отрезке поставлена задача Коши для ОДУ 1-го порядка:

, (1), (2). Разобьём отрезок на равных частей с шагом точками , где . Запишем общую формулу, лежащую в основе всех численных методов решения задачи Коши (1), (2): (3).

Зафиксируем целое число такое, что и предположим, что нам известно значение решения задачи Коши (1), (2) в точках:

Основная идея экстраполяционного метода Адамса состоит в приближённой замене подынтегральной функции в формуле (3) её интерполяционным многочленом, построенным по -му предыдущему узлу. Так как узлы равноотстоящие, а промежуток , на котором приближается функция , расположен справа от таблицы узлов: , то в качестве интерполяционного многочлена, целесообразно взять интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования назад. Поскольку узлы интерполяции расположены за пределами промежутка , то мы имеем дело с экстраполированием.

Выполним в формуле (3) замену переменных в подынтегральной функции: и перейдём от промежутка к промежутку , тогда : (4), где

целое, фиксированное число .

Представим подынтегральную функцию в формуле (4) в виде суммы её интерполяционного многочлена и остаточного члена: (5) где ; , , .

, .

Подставим формулу (5) под знак интеграла в формулу (4) и проведём необходимые интегрирования по переменной :

(6), где , , (7).

Формула (6) является явной и многошаговой ( -шаговой). Расчёт в этой формуле начинается с , то есть формула (6) требует предварительного знания значений искомого решения в точках .

Займёмся оценкой остаточного члена . Рассмотрим формулу (7). Поскольку на промежутке функция не меняет свой знак, то в предположении о непрерывности -й производной на с использованием теоремы о среднем значении можно записать: . Если обозначить через , тогда для остаточного члена справедлива следующая оценка погрешности: (8).

То есть, очевидно, что локальная погрешность формулы (6) на частичном промежутке : для достаточно малых ,а глобальная погрешность формулы (6) на интервале : .

Поскольку формула (6) является -шаговой, то отсюда следует вывод: всякий -шаговый экстраполяционный метод Адамса имеет на промежутке наивысший порядок точности равный .

Отбрасывая локальную погрешность в формуле (6) и переходя к обозначению , получаем следующую расчётную формулу -шагового экстраполяционного метод Адамса:

(9), где .

Начальная таблица значений должна быть найдена заранее, возможно, любым из одношаговых явных методов того же порядка точности. Например, можно заранее отыскать эти точки методом Рунге-Кутта.

Замечание. Экстраполяционный метод Адамса относится к классу многошаговых численных методов.

Достоинства многошаговых численных методов состоят в том, что:

1. Они позволяют управлять точностью вычислений, привлекая точки всё более удалённые от данной;

2. При переходе от точки к точке в формуле (9) необходимо вычислить лишь одно новое значение функции , в то время как в одношаговом методе при переходе к новой точке приходится вычислять несколько значений функции (например, в методе Рунге-Кутта четвёртого порядка точности – 4 новых значения функции ).

В то же время, многошаговые методы имеют следующие недостатки:

1. Необходимо постоянно хранить информацию о решении в -й предыдущих точках;

2. Требуется нахождение начала таблицы значений искомого решения при помощи других методов, что нарушает единообразие вычислительного процесса;

3. Многошаговые методы чувствительны к изменению шага , то есть не позволяют изменять величину шага.

Частные случаи экстраполяционного метода Адамса: