Методы решения граничных (краевых) задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)

Постановка задачи. Классификация методов решения

В приложениях дифференциальных уравнений часто встречаются задачи, в которых дополнительные условия, присоединяемые к дифференциальному уравнению, устанавливают связь между значениями функции и её производных не в одной точке (как в задаче Коши), а в нескольких точках отрезка, на котором отыскивается решение. Такие задачи для дифференциальных уравнений называются многоточечными. Рассмотрим математическую постановку многоточечных задач.

Пусть на задано ОДУ -го порядка: , (1). Пусть на имеются точек: и задано соотношений связывающих значения искомой функции и её производных в этих точках до -го порядка включительно: , , (2), где – известные, непрерывные функции своих аргументов ; ( ) – известные величины, константы; – искомая функция.

Задача нахождения решения уравнения (1) удовлетворяющего дополнительным условиям (2) называется -точечной задачей для уравнения (1). В частности, если , то (1), (2) является задачей Коши.

Если , то и (1), (2) называется краевой (граничной) задачей для уравнения (1).

Теория граничных задач и методы их решения значительно сложнее теории и методов решения задачи Коши для ОДУ. В дальнейшем, если не оговорено противное, будем предполагать, что решение рассматриваемой граничной задачи существует, единственно и имеет достаточное количество непрерывных производных.

Граничные задачи для ОДУ бывают линейными и нелинейными, однородными и неоднородными.

Определение. Граничная задача называется линейной, если линейно и ОДУ (1) и дополнительные условия (линейно по переменным ) и нелинейной в противном случае.

Определение. Граничная задача называется однородной, если однородно и ОДУ (1) и дополнительные условия, иначе – неоднородной.

Однородная граничная задача всегда имеет тривиальное решение и проблема состоит в том, чтобы найти её нетривиальное решение.

Точное решение граничных задач удаётся получить лишь в крайне редких частных случаях, поэтому важное значение имеют приближённые методы решения таких задач.

Все приближённые методы решения граничных задач для ОДУ делятся на 3 группы:

1. аналитические методы – позволяют получить приближённое решение в аналитическом виде (в виде функции): метод коллокаций, метод Галеркина, метод наименьших квадратов (МНК), метод моментов и другие;

2. численные методы – позволяют получить приближённое решение лишь в ряде фиксированных точек отрезка: метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод граничных элементов и другие;

3. численно-аналитические методы – комбинируют идею численных и аналитических методов: метод редукции линейной краевой задачи (ЛКЗ) к двум задачам Коши, метод функции Грина и другие.

{ Самостоятельно законспектировать темы: «Метод коллокаций», «Метод редукции линейной краевой задачи (ЛКЗ) к двум задачам Коши»}

Метод конечных разностей (метод сеток)

Это численный метод решения краевых задач для ОДУ. Он является наиболее универсальным методом из всех существующих методов решения (применим и для линейных и для нелинейных, многомерных краевых задач).

Метод конечных разностей состоит в сведении краевой задачи для ОДУ к решению некоторой конечной системы алгебраических уравнений.

Рассмотрим на линейную краевую задачу для ОДУ второго порядка: (1) при граничных условиях (2), (3), где

– известные, непрерывные на функции; – известные константы такие, что и одновременно не равны нулю: , .

Разобьём на равных (для простоты) частей точками , , :

Совокупность всех точек называется сеткой на , а каждая из точек в отдельности – узлом сетки.

Будем искать приближённое значение функции лишь в узлах сетки, то есть .

С этой целью рассмотрим уравнение (1) во внутренних узлах сетки и подставляя в уравнение (1) получаем: (4).

Поставим задачу выразить значения и через значения самой функции в точках сетки. Для этого воспользуемся разложением функции в ряд Тейлора в окрестности точек : (5).

Если теперь в формулу (5) подставить и , то можно получить следующие соотношения:

(6), (7).

Если в (6) и (7) отбросить малую величину , то получим приближённое выражение для , которые называются правая разностная производная и левая разностная производная функции в точке . Эти приближённые выражения имеют точность порядка . Аналогично, можно получить следующее соотношение из формулы (5): (8).

Если отбросить , то получим симметричную (центральную) разностную производную первого порядка для функции , которая является более точной по сравнению с правой и левой разностными производными.

Далее из формулы (5) может быть получена следующая формула: (9).

Отбрасывая , получаем приближённое выражение для (разностную производную второго порядка для функции в точке ).

Заменим теперь в уравнении (4) производные и их конечно-разностными отношениями по формулам (8) и (9):

.

Умножим равенство на , приведём подобные и сгруппируем: .

Отбрасывая в последнем равенстве погрешность и переходя к обозначению , получаем следующее уравнение справедливое для внутренних точек сетки:

(10).

Формула (10) – разностный аналог дифференциального уравнения (1), записанный в точках сетки.

Аналогично построим разностные аналоги граничных условий (2) и (3): , заменим в этой формуле конечно-разностным соотношением по формуле (6): .

Приведём подобные: .

Отбрасывая в последнем равенстве погрешность и переходя к обозначению , получаем: (11).

Формула (11) – разностный аналог граничного условия (2) на левом конце промежутка.

, заменим в этой формуле конечно-разностным соотношением по формуле (7): .

Приведём подобные: .

Отбрасывая в последнем равенстве погрешность и переходя к обозначению , получаем: (12).

Формула (12) – разностный аналог граничного условия (3) на правом конце промежутка.

Соотношения (11), (10), (12) в указанной последовательности образуют СЛАУ относительно приближённых значений искомой функции в точках сетки. Эта СЛАУ обладает матрицей специального (трёхдиагонального) вида:

(13).

Данная СЛАУ имеет уравнение и неизвестную.

Для решения СЛАУ с трёхдиагональной матрицей наиболее эффективный и экономичный метод разностной прогонки.

Замечание. Разностная краевая задача (11), (10), (12) аппроксимирует исходную краевую задачу (2), (1), (3) с суммарной погрешностью .

Можно доказать, что при некоторых условиях гарантированно диагональное преобладание в матрице системы и, следовательно, её решение существует и единственно.

Метод разностной прогонки

Это прямой метод решения СЛАУ с трёхдиагональной матрицей. Он представляет собой специальную схему классического метода Гаусса (исключения неизвестных).

Рассмотрим систему конечно-разностных уравнений (11), (10), (12), полученную в результате применения метода конечных разностей к решению линейной краевой задачи (1) – (3).

Рассмотрим уравнения (10) для каждого и предположим, что для указанных номеров коэффициенты при , то есть . Разделим каждое из уравнений (10) на этот коэффициент и получим:

(14), где

; ; .

Заметим, что уравнения (14) при каждом фиксированном содержат лишь три последовательных значения искомой функции: .

Рассмотрим теперь граничное условие (11) на левом конце промежутка. Равенство (11) связывает два неизвестных значения и . Выразим из равенства (11) : , предполагая, что и .

Если ввести обозначения: , (15), то уравнение (11) перепишется в виде: (16).

Основная идея метода разностной прогонки состоит в том, чтоб связать и все последующие значения и соотношениями вида (16), то есть как бы «прогнать» граничное условие на левом конце через все неизвестные значения .

Будем требовать, чтобы (17), где , – неизвестные пока коэффициенты.

Поскольку указанное равенство имеет место и при (смотри формулу (16)), то объединив их можно записать: (17`).

Подставим теперь в уравнения (14) вместо его выражение по формуле (17`):

, , .

Сравнивая полученные формулы с формулами (17) замечаем, что: , , (18).

Таким образом, зная исходные значения и из формул (15) можно последовательно отыскать все неизвестные коэффициенты и ( ) по формулам (18). Формулы (18), (15) определяют прямой ход метода разностной прогонки.

Рассмотрим теперь уравнение (12), связывающее два неизвестных значения и . Из формул (17`) получим при : и с помощью этого равенства исключим неизвестную из уравнения (12):

,

,

(19).

Вычислив значение по формуле (19) можно затем по формуле (17`) последовательно определить интересующие нас значения: .

Процесс нахождения приближённых значений искомого решения по формулам (19), (17`) носит название обратного хода метода разностной прогонки.

Замечание. В теории численных методов доказано, что если знаменатели в формулах (15), (18), (19) не обращаются в ноль для , а в матрице коэффициентов системы (11), (10), (12) имеет место диагональное преобладание, то метод разностной прогонки обладает корректным и вычислительно-устойчивым алгоритмом.

Метод Бубнова-Галёркина решения граничных задач для ОДУ

Это аналитический метод решения линейных краевых задач для ОДУ.

Пусть на отрезке задана линейная краевая задача для ОДУ второго порядка: (1) при граничных условиях (2), (3), где

– известные, непрерывные на функции; – искомая на функция; – известные константы такие, что , .

Приближённое решение задачи (1)-(3) будем искать в следующем виде: (4), где

– числовые коэффициенты, подлежащие определению;

– натуральный параметр, который выбирается из соображений точности;

– некоторые известные, так называемые, базисные функции, обладающие свойствами:

1. – линейно независимые ;

2. непрерывны на вместе со своими производными до второго порядка включительно (если подставить в уравнение (1), то необходима её непрерывность);

3. удовлетворяют граничным условиям (2), (3);

4. представляют собой первые функций некоторой полной системы функций в классе на отрезке .

Замечание. Пространство (класс) функций – это пространство интегрируемых с квадратом по Лебегу функций на : , . В этом пространстве можно определить скалярное произведение двух функций и по правилам: , . И определить понятие нормы элементов пространства: .

Определение. Система функций называется полной, если существует такой обобщённый многочлен , что .

Не трудно видеть, что функция вида (4) благодаря свойству 3 базисных функций будет удовлетворять граничным условиям (2) и (3) в силу их линейности.

Для того чтобы функция была точным решением ДУ (1) необходимо и достаточно, чтоб невязка этого уравнения на .

То есть, если обозначить через (линейный дифференциальный оператор): , то – точное решение ДУ (1), тогда и только тогда, когда . Требование равенства нулю невязки уравнения (1) эквивалентно требованию ортогональности этой невязки всем функциям бесконечно полной в системы. То есть (5) .

Поскольку мы имеем только степеней свободы ( неизвестных параметров ), то мы можем удовлетворить лишь первых равенств формул (5), поэтому функция вида (4) будет лишь приближённым решением исходной задачи (1)-(3): (6).

Подставим в формулу (6) вместо его выражение по формуле (4): .

Поскольку – линейный оператор (он является аддитивным и однородным), то мы можем записать: .

Воспользовавшись свойствами скалярного произведения, получаем: (7).

Обозначим , , .

Таким образом, равенство (7) представляет собой СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов .

Запишем скалярные произведения в смысле метрики пространства : , , .

Таким образом, решив СЛАУ (7) любым известным методом и подставив полученные решения в формулу (4) найдём приближённое решение исходной граничной задачи.

Замечание. В теории метода Бубнова-Галёркина доказано, что при достаточно большом значении параметра определитель СЛАУ (7) отличен от нуля, то есть она обладает единственным решением.

{ Самостоятельно законспектировать тему: «Применение методов Ритца и Галёркина к ОДУ», Балашова «Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений» стр. 87-90}

Метод стрельбы

Это метод относится к классу численно-аналитических методов решения краевых задач для систем ОДУ.

Рассмотрим линейную краевую задачу для системы ОДУ первого порядка:

(1), где ;

(2), (3).

Здесь функции – известные непрерывные функции на ; – искомые функции на ; – известные константы, такие что , .

Основная идея метода стрельбы для решения краевой задачи (1)-(3) состоит в сведении исходной задачи к решению задачи Коши для исходной системы (1).

Проанализируем граничные условия (2) на левом конце промежутка. Если , то зададим произвольное значение и выразим из условия (2) значение . Таким образом, получаем следующие начальные условия для исходной системы уравнений (1):

(4), или

(5).

Таким образом, решив задачу Коши для системы уравнений (1) с начальными условиями (4) (либо (5)), получаем её решение , , зависящее от значения параметра (решение задачи Коши (1), (4) или (1), (5)).

Величину подбираем из требований, чтобы полученные решения задачи Коши (1), (4) или (1), (5) удовлетворяли граничному условию на правом конце промежутка.

Подставим найденное решение в граничное условие (3) и обозначим через невязку этого граничного условия: . Понятно, что , вообще говоря, поскольку оно было выбрано произвольно. Если окажется, что , то найденное решение , задачи Коши (1), (4) или (1), (5) является искомым решением исходной граничной задачи (1)-(3).

Поставим задачу отыскать значения , такие что . Другими словами, требуется решить уравнение (6).

Поскольку начальные условия (4) или (5) зависят от параметра линейно и исходная система уравнений (1) также линейна, то и решение , задачи Коши (1), (4) или (1), (5) также линейно зависит от параметра . То есть функция – линейная функция по .

Как известно, линейная функция однозначно определяется двумя своими значениями, поэтому зададим два произвольных значения параметра : и . Решим соответственно две задачи Коши вида (1), (4) или (1), (5) и отыщем соответственные значения и .

Геометрически это выглядит так:

Абсцисса точки пересечения функции с осью и есть интересующее нас значение .

Запишем уравнение прямой , проходящей через две точки: , . Из этого уравнения найдём интересующее нас значение при котором :

(7). Решив ещё раз задачу Коши (1), (4) или (1), (5) при значении , получаем искомое решение , исходной краевой задачи (1)-(3).

Замечание. В зависимости от того, каким методом (численным или аналитическим) решается задача Коши (1), (4) или (1), (5), решение исходной краевой задачи будет получено в численном или аналитическом виде.

Рассмотрим применение метода стрельбы к решению нелинейной краевой задачи для системы ОДУ первого порядка. Пусть на задана следующая система двух ДУ первого порядка:

(8), ,

где возможно некие нелинейные функции от и .

При граничных условиях: (9), (10),

где – известные непрерывные функции на среди которых, по крайней мере одна является нелинейной функцией своих аргументов; – известные константы; – искомые функции на .

Рассмотрим первое из граничных условий и предположим (для определённости), что такова, что равенство (9) может быть разрешено относительно .

Тогда зададим произвольное значение и из уравнения (9) найдём соответствующее значение:

(11).

Таким образом, получили начальные условия на левом конце промежутка для системы уравнений (8).

Решим задачу Коши (8), (11) и найдём её решение, зависящее от выбранного параметра : , .

Величину определим из требований, чтоб найденное решение задачи Коши удовлетворяло граничному условию (10).

Обозначим через невязку граничного условия (10) при решении задачи Коши (8), (11): .

Поставим задачу решить нелинейное уравнение (12).

Наиболее простым методом приближённого решения уравнения (12) является метод половинного деления. Для применения этого метода необходимо найти хотя бы одно значение , при котором обращается в ноль. Для этого выполняются, так называемые, «пробные выстрелы». То есть задаётся ряд значений и вычисляются соответствующие значения невязок до тех пор, пока не встретятся такие значения , что: (функция меняет свой знак). Тогда, уточнив с нужной точностью на промежутке корень нелинейного уравнения (12), найдём его приближённое значение , полученное методом половинного деления.

Решив ещё раз задачу Коши (8), (11) при значении найдём искомое приближённое решение , исходной краевой задачи (8)-(10).

73