1.3. Нүктелік симметрияның элементтері және түрленуі
Симметрия өсі. Түрлену: өсті айнала белгілі бір бұрышқа бұрылу α=360°/n, сәйкес келетін симметрия өсі Ln арқылы белгіленеді, n - симметрия өсінің реті деп аталады. 1.5-суретте L2 екінші ретті симметрия өсіне L3 үшінші ретті симметрия өсіне ие фигуралар көрсетілген. Егер фигура 360°/n бұрылу бұрышына қатысты симметриялы болса, онда ол k 360°/n бұрышын жасап Lnk –түрленуі кезінде де өзіне-өзі қайта келетіні анық, мұнда 1<k<n – бүтін сандар. Кристалдық торлардың (трансляциялық симметриясы бар фигуралар) симметриялық өсі тек 2, 3, 4, 6-ретті болып келетіні дәлелденген.
1.5-сурет. Екінші және үшінші ретті симметрия өсі
2.Симметрия жазықтығы. Түрленуі: жазыққа қатысты шағылуы, бұл симметрия элементі σ арқылы белгіленеді. Егер фигураның симметрия жазықтығы да, симметрия өсі де бар болса және симметрия жазықтығы симметрия өсі арқылы өтетін болса, онда осы симметрия жазықтығы Pv арқылы белгіленеді. Ал егер симметрия жазықтығы симметрия өсіне перпендикуляр болса, онда бұл элементті Ph арқылы белгілейміз.
1.6-сурет. Симметрия жазықтығы
3.Қандай да бір нүктеге қатысты инверсия (симметрия центрі)- i әрпімен белгіленеді, сәйкес нүкте инверсия центрі деп аталады. Инверсия ортасы - ол симметрияның ортасы арқылы жүргізілген кез-келген түзу, фигура центрінің екі жағынан фигураның бірдей нүктелерені бірдей қашықтықтарда кездестіретін фигураның ішінде орналасқан ерекше нүкте.
Симметрия ортасындағы симметриялық түрлену - ол нүктедегі айналық шағылу.
4. Ретті инверсиялы-бұрылу өсi. Түрленуі: біртіндеп өсті айнала 360/n бұрышын жасап бұрылуы және жазықтықтың перпендикуляр өсiнде шағылу. n - тақ сандар болғанда, инверсиялы-бұрылу өсi симметрия өсіне Ln және оған перпендикуляр симметрия жазықтығына σh келтірілетіндігін көрсетуге болады.
4-ретті инверсиялы-бұрылу өсі бар фигура 1.7-суретте көрсетiлген.
1.7 -сурет. Төртінші ретті айналы-бұрылыс өсі
Lni түрленуін: Lni=Ph·Ln түрінде қарастыруға болады.
Осы теңдеудегі көбейту таңбасы іс-әрекеттің тізбектілігін білдіреді (оңнан солға): бастапқыда екінші көптік (Ln), сосын бірінші (Ph), яғни, бірінші бұрылыс орындалады, ал кейін шағылу жүзеге асады. Фигураның мүмкін болатын симметрия түрленуі неғұрлым көп болса, ол солғұрлым симметриялы болады. Кристалл симметриясы Бравэ торының симметриясынан жоғары бола алмайды(төмен бола алады). Бізде екі фигура болсын делік. Осы әр фигура үшін барлық симметрияның түрленуінің жиынтығын (тобын) табуға болады. Егер осы түрлену жиынтықтары бірдей болса, онда фигуралардың симметриялары да бірдей болады дейміз.
1.4.Бөлім. Топтар теориясы. Топтарды анықтау
{A,B,C,D...} элементтер жиыны болсын және бұл жиын келесі қасиеттерге ие делік:
1. Жиын элементтері үшін көбейтінді (композиция) ұғымы анықталған, яғни, кез-келген екі элементтер A және B үшін сәйкесінше осы жиынның үшінші элементі қойылады: A·B=C (толықтық қасиеті). Көбейтінді ретке байланысты, яғни коммутативті емес;
2. Кез-келген A үшін A·E=A қасиетіне ие жиын элементі Е бар (бірлік қасиеті). Басқаша айтқанда, осы жиында бірліктің (бірлік элементтер) болуын постулаттайды.
3. Кез-келген A элементі үшін осы жиында A–1 деп белгіленетін элемент бар және ол үшін: A·A–1=1 теңдігі орындалады. Бұл шарт кері элементтің бар болатындығын көрсетеді.
4. Көбейту ассоциативті: (A·B)·C=A·(B·C) болуы керек.
5. Бүтін сандар жиыны сандардың көбейту операциясына қатысты топтарды құра алмайды – кері элемент A–1 жоқ. Нақты сандар жиыны да арифметикалық көбейтуге қатысты топтарды құра алмайды, өйткені нөл үшін кері элемент жоқ. Нақты және бүтін сандар қосу операцияларына қатысты топтарды құра алады, мұндай жағдайда E=0, A–1=–A.
Теорема: Нақты бір фигураның барлық симметриясының түрлену жиыны, яғни фигура өзіне өзі қайта келетін жағдайдағы түрлену жиыны топтарды құрады. Осы топтың екі элементтерінің композициясы (көбейтіндісі) симметрияның түрленуінің тізбектей қолданысы болып табылады: A·B көбейтіндісі дегеніміз, бірінші болып B түрленуі орындалады, ал кейін A түрленуі орындалады дегенді білдіреді.
Дәлелденуі. Жиын фигураның барлық симметриясының түрленулерін қамтитындығынан толыққандық қасиеті шығады. Жеке элемент – түрленулердің (ұқсас түрленулер, E арқылы белгіленеді) болмауы; кері элемент — кері түрлену. Көбейтудің ассоциативтілігін дәлелдеуге болады.