Тема 9: дисперсійний аналіз
ІНФОРМАЦІЯ
Для статистичної оцінки взаємозв’язків між явищами та їх істотності при невеликій кількості спостережень застосовують дисперсійний аналіз.
Дисперсійний аналіз – це метод оцінки впливу одного чи кількох факторів, що одночасно діють на певну результативну ознаку. Його застосовують під час статистичної обробки даних, одержаних внаслідок експерименту або спостереження, для виявлення впливу окремих факторів та їх взаємодії на рівень показників ефективності виробництва. Такий аналіз дає змогу кількісно характеризувати вплив на результативну ознаку різних факторів, навіть тих, які не виражаються числом, а належать до атрибутивних ознак. При цьому атрибутивні ознаки можна вивчати разом з кількісними.
Суть дисперсійного аналізу полягає в розподілі загальної варіації досліджуваної ознаки на систематичну і випадкову (залишкову) і в порівнянні систематичної варіації з випадковою.
Обсяг варіації результативної ознаки в дисперсійному комплексі визначають сумами квадратів відхилень загальною, між груповою та залишковою. Діленням відповідної суми варіації на кількість ступенів свободи встановлюють загальну, міжгрупову і залишкову дисперсію.
Варіація ознаки формується під дією різних чинників, серед яких, можна виділити випадкові та систематичні. Отже, варіація може бути випадковою, зумовленою дією випадкових причин, та систематичною – внаслідок дії постійних чинників. Визначити кожну з них та їхню роль у загальній варіації можна за допомогою дисперсійного аналізу.
Загальна дисперсія:
.
Групова (часткова) дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи від середньої арифметичної відповідної групи:
.
Середня з групових дисперсій:
.
Міжгрупова дисперсія дорівнює середньому
квадрату відхилень групових середніх
від загальної середньої
:
- середня кожної окремої групи;
- загальна середня всієї сукупності;
- частоти (ваги).
Між типами дисперсій існує співвідношення:
.
ЗАВДАННЯ 9.1.
Провести дисперсійний аналіз впливу факторів на середній обсяг зібраних овочів у двох бригадах підприємства дисперсійним методом аналізу на основі даних таблиці 9.2.
Визначити вплив основних факторів на середній обсяг зібраних овочів по бригадах.
МЕТОДИКА ВИКОНАННЯ ЗАВДАННЯ
Таблиця 9.1
Вихідні та розрахункові дані для дисперсійного аналізу
Бригада № 1 |
Бригада № 2 |
||||
дні |
Обсяг зібраних овочів, ц. (Х1) |
|
дні |
Обсяг зібраних овочів, ц. (Х2) |
|
1 |
10 |
100 |
1 |
8 |
64 |
2 |
12 |
144 |
2 |
10 |
100 |
3 |
9 |
81 |
3 |
10 |
100 |
4 |
11 |
121 |
4 |
15 |
225 |
5 |
13 |
169 |
5 |
9 |
81 |
Разом |
55 |
615 |
Разом |
52 |
571 |
І. Для визначення групових дисперсій обчислимо середні обсяги виробітку для кожної бригади та в цілому:
ц.
ц.
ІІ. Групова дисперсія:
ІІІ. Загальна дисперсія:
Обчислимо середню з групових дисперсій:
ІV. Міжгрупова дисперсія:
V. Додаванням середньої з групових дисперсій і міжгрупової дістанемо загальну дисперсію:
Загальна дисперсія характеризує загальну варіацію обсягу зібраних овочів всіма працівниками бригади 1 і 2. Вона відображає сумарний вплив усіх можливих чинників: забезпеченість технікою, досвід працівників, погодні умови та інше.
Внутрішньо групові дисперсії вказують на розмір варіації, зумовлені всіма чинниками, окрім досвіду.
Середні із внутрішньогрупових дисперсій характеризує варіацію, зумовлену всіма факторами, але в середньому для всієї сукупності.
Між групова дисперсія характеризує варіацію групових середніх, спричинену різним досвідом працівників у групах.
Таблиця 9.2
Обсяг зібраних овочів двома бригадами підприємства, ц
Варіант |
1 бригада |
2 бригада |
||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
10 |
9 |
8 |
13 |
11 |
13 |
13 |
10 |
9 |
8 |
2 |
11 |
10,5 |
13 |
10 |
12 |
12 |
14 |
10 |
8 |
10 |
3 |
12 |
11 |
14 |
11 |
11 |
10 |
17 |
13 |
11 |
11 |
4 |
13 |
8 |
16 |
10,5 |
13 |
14 |
9 |
14 |
12 |
14 |
5 |
9 |
9,5 |
15 |
11 |
14 |
13 |
10 |
11 |
14 |
15 |
6 |
8 |
8,5 |
10 |
12 |
12 |
10 |
11 |
15 |
15 |
14 |
7 |
12 |
10 |
9 |
14 |
10 |
12 |
13 |
18 |
10 |
10 |
8 |
13 |
12 |
8 |
13 |
11 |
11 |
14 |
10 |
9 |
11 |
9 |
10 |
14 |
11 |
10 |
13 |
10 |
9 |
9,5 |
8 |
13 |
10 |
11 |
13 |
13 |
11 |
10 |
14 |
8 |
8 |
11 |
11 |
11 |
12 |
11 |
10 |
9 |
11 |
12 |
10 |
10 |
12 |
9 |
12 |
14 |
10 |
10 |
8 |
12 |
10 |
11 |
11 |
13 |
10 |
13 |
9 |
9 |
13 |
11 |
14 |
9 |
12 |
12 |
10 |
11 |
14 |
10 |
8,5 |
14 |
12 |
11 |
8 |
10 |
13 |
11 |
8 |
15 |
11 |
10,5 |
11 |
14 |
10 |
9 |
9 |
10 |
10 |
9 |
16 |
13 |
13 |
15 |
15 |
9 |
10 |
10 |
12 |
9 |
8 |
17 |
14 |
12 |
18 |
10 |
8,5 |
11 |
11 |
11 |
8 |
10 |
18 |
17 |
11 |
10 |
9 |
9,5 |
14 |
12 |
10 |
7 |
12 |
19 |
9 |
10 |
9,5 |
8 |
10 |
12 |
13 |
9 |
12 |
14 |
20 |
10 |
9 |
8,5 |
11 |
12 |
11 |
9 |
8 |
13 |
13 |
21 |
11 |
8 |
10 |
12 |
14 |
10 |
8 |
8 |
13 |
11 |
22 |
13 |
10 |
11 |
13 |
10 |
13 |
12 |
13 |
10 |
10 |
23 |
14 |
11 |
12 |
10 |
11 |
11 |
13 |
14 |
11 |
9 |
24 |
9 |
14 |
13 |
11 |
12 |
10 |
10 |
16 |
10 |
8 |
25 |
8 |
15 |
10 |
10 |
10 |
12 |
11 |
15 |
11 |
10 |
26 |
10 |
14 |
12 |
9 |
13 |
14 |
12 |
10 |
12 |
13 |
27 |
11 |
10 |
11 |
8 |
14 |
13 |
14 |
9 |
14 |
12 |
28 |
12 |
11 |
10,5 |
7 |
10 |
11 |
9 |
8 |
13 |
11 |
29 |
10 |
13,5 |
9 |
12 |
12 |
12 |
10 |
11 |
10 |
10 |
30 |
9 |
11,5 |
8 |
13 |
13 |
11 |
11 |
13 |
11 |
9 |