2.7. Нелинейная регрессия. Виды моделей нелинейной регрессии

В общем случае нелинейная регрессионная модель имеет вид в частном случае

Всегда желательно нелинейную регрессию свести к линейной регрессии. Это можно сделать по-разному.

Во-первых, различают 2 класса нелинейной регрессии по отношению к линейной регрессии:

• регрессии, нелинейные относительно факторов, но линейные по параметрам:

заменим

и получим

• регрессии, нелинейные по параметрам, но внутренне линейные:

• регрессии, нелинейные по параметрам и внутренне нелинейные:

В последнем случае такую модель можно привести к линейной модели, во-первых, путем ее разложения в ряд Тейлора, т. е. путем преобразования в полином; во-вторых, путем кусочно-линейной аппроксимации, т.е. путем использования моделей с переменной структурой:

Основной проблемой при таком подходе является выбор отрезков зависимости с постоянными параметрами.

При уменьшении величины отрезков возрастает точность модели, но в то же время уменьшается число наблюдений, попадающих в эти интервалы. Тем самым возникает задача выбора числа и величины отрезков, постоянства параметров. По сути это задача кластерного анализа – какие точки считать близкими.

Другим подходом является использование скользящих трендовых отрезков (скользящих трендов).

Можно, разумеется, подбирать параметры нелинейной регрессии непосредственно. Однако это сделать сложно, т.к. во-первых, построение линейных моделей поддерживается статистическими пакетами программ (STATGRAPHICS, STATISTICA, STADIA и др.), а нелинейные модели не поддерживаются ввиду их бесконечного разнообразия.

Во-вторых, необходимо всегда проверять выполнение предпосылок МНК, что достаточно трудоемко. По этим причинам всегда стараются свести нелинейную модель к линейной.

2.8. Оценка качества регрессионной модели в целом

Под качеством регрессионной модели понимается значимость модели в целом и её параметров, а также ошибка моделирования.

Для оценки качества модели в целом используется коэффициент детерминации, который в общем случае определяется как

где - общая дисперсия результатного признака,

- остаточная дисперсия,

- дисперсия объясняющей части общей дисперсии.

Чем ближе к 1, тем выше качество регрессионной модели.

В случае линейной регрессии:

где - определитель матрицы парных коэффициентов корреляции,

- определитель матрицы межфакторной корреляции.

Для двухфакторной модели

Другим способом оценки качества регрессионной модели в целом является использование F-критерия Фишера, определяемого как

Тем самым величина F-критерия связана с коэффициентом детерминации, а именно

где m – число параметров при переменной х, в линейной модели совпадает с числом включенных в модель факторов;

n – число наблюдений.

Для двухфакторной (парной) модели

Значение полученного фактического F-критерия сравнивается с табличным значением на уровне α = 0,05, и если , то модель в целом считается значимой (существенной).