Пример 3

Даны 2 параллельных временных ряда. Необходимо определить, имеется ли между этими показателями корреляционная зависимость.

t	0	1	2	3	4	5	6
xt	2,2	2,8	3,2	3,6	4,1	4,8	5,3
yt	4,8	5,6	6,2	6,6	7,3	8,1	8,8

Решение

1. а) Построим график:

Т. е. имеет место практически линейная зависимость от времени для каждого из показателей x_t и y_t.

б) Определим непосредственную корреляцию между этими показателями: r_xy = 0,9989 .

На самом деле это, возможно, говорит лишь об одинаковых и достаточно выраженных тенденциях, то есть почти о корреляции между t и t, но не о корреляции между x и y. О том же говорят и коэффициенты корреляции:

xt	2,2	2,8	3,2	3,6	4,1	4,8
xt+1	2,8	3,2	3,6	4,1	4,8	5,3

yt	4,8	5,6	6,2	6,6	7,3	8,1
yt+1	5,6	6,2	6,6	7,3	8,1	8,8

Непосредственная зависимость:

в) Для того, чтобы определить корреляцию между x и y, необходимо устранить тенденции. Для этого определим тренды:

,

Теперь вычислим разности:

t	0	1	2	3	4	5	6
xt	2,2	2,8	3,2	3,6	4,1	4,8	5,3
	2,21	2,707	3,20	3,7	4,20	4,69	5,190
	-0,01	0,09	-0,03	-0,10	-0,096	0,11	0,011
yt	4,8	5,6	6,2	6,6	7,3	8,1	8,8
	4,83	5,48	6,12	6,77	7,42	8,06	8,71
	-0,03	0,12	0,075	-0,171	-0,118	0,03	0,09

Определим зависимости и :

При этом автокорреляция остатков:

,

т. е. при данном числе данных автокорреляция практически незначима.

Таким образом, между x и y имеется определенная и достаточно сильная зависимость:

.

Однако в данном случае очень невелики диапазоны изменения.

2. Можно было для устранения тренда использовать также метод последовательных разностей.

Применим этот метод в данном случае:

t	0	1	2	3	4	5	6
xt	2,2	2,8	3,2	3,6	4,1	4,8	5,3
	-	0,6	0,4	0,4	0,5	0,7	0,5
yt	4,8	5,6	6,2	6,6	7,3	8,1	8,8
	-	0,8	0,6	0,4	0,7	0,8	0,7

Определим коэффициенты автокорреляции для разностей:

	0,6 (4)	0,4 (1,5)	0,4 (1,5)	0,5 (3)	0,7 (5)	0,5
	0,4 (1,5) (6,25)	0,4 (1,5) (0)	0,5 (3,5) (4)	0,7 (5) (4)	0,5 (3,5) (2,25)
	0,8 (4,5)	0,6 (2)	0,4 (1)	0,7 (3)	0,8 (4,5)	0,7
	0,6 (2) (2,25)	0,4 (1) (1)	0,7 (3,5) (6,25)	0,8 (5) (4)	0,7 (3,5) (1)

Таким образом, автокорреляция между разностями отсутствует.

Определим зависимость между и .

- достаточно высокий коэффициент корреляции (как и в предыдущем случае).

Регрессионная зависимость:

Т. е. при изменении прироста на 1 единицу прирост y изменяется на 1,073 единицы (т. е. почти тот же прирост). Здесь также малы изменения переменных.

д) Кроме рассмотренных способов, существует еще один метод исключения тенденции, а именно, метод оснований на включении в модель регрессии по временным рядам фактора времени.

В данном случае строится модель вида:

, где параметры ищутся методом наименьших квадратов.

При этом , то есть описание очень хорошее. Это говорит о достаточно высокой зависимости y_t от x_t. Изменения x_t на 1 единицу приведут к увеличению y_t на 1,126 единицы – то же самое, что и в предыдущих случаях, но здесь еще дана и поправка на время, т. е. y_t зависит как x_t1, так и от t. Данный метод в отличие от рассмотренных ранее, позволяет учесть всю информацию, содержащуюся в исходных данных, кроме того, здесь значительные изменения x и y. Представленные примеры показывают специфичность анализа взаимосвязи показателей, поставляющих временные ряды.

Проверим модель на адекватность:

t	0	1	2	3	4	5	6
xt	2,2	2,8	3,2	3,6	4,1	4,8	5,3
yt	4,8	5,6	6,2	6,6	7,3	8,1	8,8
	4,82	5,58	6,12	6,66	7,31	8,187	8,725
	-0,021	0,0155	0,077	-0,06	-0,011	-0,0873	0,0747

(незначима).

Приложение: необходимость логического анализа.

Если логический анализ показывает, что функция существенно зависит от , причем при , то можно построить зависимость от в виде:

(при этом не должно быть лага).

И тогда нужно знать лишь зависимость от t и от t.

В рассматриваемом случае имеем:

t	0	1	2	3	4	5	6
	2,2	2,8	3,2	3,6	4,1	4,8	5,3
	4,8	5,6	6,2	6,6	7,3	8,1	8,8
	2,182	2	1,9375	1,833	1,78	1,6875	1,692

При этом:

	2,211	2,707	3,203	3,6999	4,196	4,693	5,189
	2,1145	2,034	1,953	1,873	1,793	1,712	1,6318
	-0,0107	0,9286	-0,00357	-0,1	-0,096	0,107	0,0107
	0,0675	-0,034	-0,0161	-0,04	-0,0127	-0,02475	0,0602

Сумма по = 0,000021

Сумма по = 0,0000144

	4,674	5,506	6,258	6,931	7,523	8,035	8,468
	0,125	0,093	-0,058	-0,33	-0,223	0,065	0,35

Т. е. достаточно хорошее приближение.

При этом коэффициент хорошо интерпретируется. Например, если - объем продаж в натуральном выражении, а - доходы от продажи данного товара, то - средняя цена продаж, зависящая в свою очередь от множества факторов.